# Matematyka — zadanie 33

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/33
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, prawdopodobieństwo

## Treść

Zadanie 33. (0-2)
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od
40 i podzielna przez 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
32.
33.
Maks. liczba pkt
5
2
Uzyskana liczba pkt

MMA_1P
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(\dfrac{1}{9}\)

## Sposób 1 - Zliczanie wprost

**Krok 1: Przestrzeń zdarzeń elementarnych**

Zbiór wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych to:
\[10, 11, 12, \ldots, 99\]
\[|\Omega| = 99 - 10 + 1 = 90\]

**Krok 2: Zdarzenie sprzyjające**

Szukamy liczb dwucyfrowych spełniających OBA warunki jednocześnie:
- mniejsze od \(40\), czyli należące do \(\{10, 11, \ldots, 39\}\)
- podzielne przez \(3\)

Wypisuję je po kolei:
\[12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39\]

**Weryfikacja każdej:** \(12 = 3 \cdot 4\), \(15 = 3 \cdot 5\), , \(39 = 3 \cdot 13\) ✓

\[|A| = 10\]

**Krok 3: Prawdopodobieństwo**

\[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{10}{90} = \frac{1}{9}\]

## Sposób 2 - Ciąg arytmetyczny

Liczby dwucyfrowe podzielne przez \(3\) i mniejsze od \(40\) tworzą **ciąg arytmetyczny** o różnicy \(r = 3\):
\[a_1 = 12, \quad a_n = 39\]

Liczba wyrazów tego ciągu:
\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \implies 39 = 12 + (n-1) \cdot 3\]
\[27 = (n-1) \cdot 3 \implies n - 1 = 9 \implies n = 10\]

Stąd \(|A| = 10\), a prawdopodobieństwo:
\[P(A) = \frac{10}{90} = \boxed{\frac{1}{9}}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:
\[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\]
Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio: podzieliliśmy liczbę zdarzeń sprzyjających przez moc przestrzeni zdarzeń.

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1)r\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia liczby elementów sprzyjających.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Liczby naturalne dwucyfrowe zaczynają się od **10**, nie od **1**! Jeśli ktoś przyjmie \(|\Omega| = 99\), dostanie błędny wynik \(\frac{10}{99}\).

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „mniejsza od 40" oznacza \(< 40\), czyli **39 należy**, ale **40 już nie**. Nie mylić z „nie większa niż 40".

> ⚠️ **Uwaga:** Przy wypisywaniu liczb podzielnych przez 3 łatwo pominąć pierwszą (12) lub ostatnią (39) - sprawdź zawsze, czy obydwa krańce spełniają oba warunki.

**Odpowiedź: \(P(A) = \dfrac{1}{9}\)**

### Sposób 1 - Liczenie zdarzeń sprzyjających
**Krok 1 - \(|\Omega|\):** liczby dwucyfrowe to \(\{10, 11, \ldots, 99\}\), czyli \(90\) liczb.

**Krok 2 - zdarzenia sprzyjające:** liczby dwucyfrowe \(\ge 10\) i \(< 40\) podzielne przez \(3\):
\[12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39.\]
Razem: \(|A| = 10\).

**Krok 3 - prawdopodobieństwo:**
\[P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|} = \dfrac{10}{90} = \dfrac{1}{9}.\]

Sprawdzamy nieskracalność: \(\gcd(1, 9) = 1\) ✓.

### Sposób 2 - Ciąg arytmetyczny
Liczby dwucyfrowe podzielne przez 3 mniejsze od 40: pierwsza \(12 = 3\cdot 4\), ostatnia \(39 = 3\cdot 13\). Liczba wyrazów: \(13 - 4 + 1 = 10\).
\[P(A) = \dfrac{10}{90} = \dfrac{1}{9}.\]

**Odpowiedź:** \(P = \dfrac{1}{9}\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/33)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F33)

## Podobne zadania

- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (4 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń: a) A - w każdym rzucie wyp
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (4 pkt) Rzucamy pięć razy symetryczną kostką sześcienną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że „jedynka” wypadnie co najmniej
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (0-3) Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe 1 4 .
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) W pojemniku jest siedem kul: pięć kul białych i dwie kule czarne. Z tego pojemnika losujemy jednocześnie dwie kule bez zwracania. Następnie - z

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_