# Matematyka — zadanie 5 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/5 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Równania i nierówności ## Treść Zadanie 5. (0-1) Równość ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x jest A. prawdziwa dla 2 x = - B. prawdziwa dla 2 x = C. prawdziwa dla 1 x = -. D. fałszywa dla każdej liczby x. MMA_1P BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) MMA_1P Równość (x√2 - 2)^2 = (2 + √2)^2 A. prawdziwa dla x=-√2; B. prawdziwa dla x=√2; C. prawdziwa dla x=-1. D. fałszywa dla każdej liczby x. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: C Równość jest prawdziwa dla \(x = -1\). ## Sposób 1 - Wyłuskanie pierwiastków równania Jeśli \(A^2 = B^2\), to \(A = B\) lub \(A = -B\). Właśnie to tu stosujemy. Mamy: \[(x\sqrt{2} - 2)^2 = (2 + \sqrt{2})^2\] Bierzemy pierwiastek (z obu stron - pamiętamy o obu przypadkach): **Przypadek 1:** \[x\sqrt{2} - 2 = 2 + \sqrt{2}\] \[x\sqrt{2} = 4 + \sqrt{2}\] \[x = \frac{4 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} + 1 = 2\sqrt{2} + 1\] **Przypadek 2:** \[x\sqrt{2} - 2 = -(2 + \sqrt{2})\] \[x\sqrt{2} - 2 = -2 - \sqrt{2}\] \[x\sqrt{2} = -\sqrt{2}\] \[\boxed{x = -1}\] Rozwiązania: \(x = -1\) lub \(x = 2\sqrt{2} + 1\). Spośród odpowiedzi A, B, C, D - jedynym rozwiązaniem pokrywającym się z opcjami jest \(x = -1\), czyli **odpowiedź C**. ## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie \(x = -1\) Podstawiamy \(x = -1\) do lewej strony: \[((-1) \cdot \sqrt{2} - 2)^2 = (-\sqrt{2} - 2)^2 = (\sqrt{2} + 2)^2 = (2 + \sqrt{2})^2\] Prawa strona to dokładnie \((2 + \sqrt{2})^2\), więc **obie strony są równe** - równość jest prawdziwa. ✓ Sprawdzamy pozostałe odpowiedzi dla pewności: - \(x = -\sqrt{2}\): \((-\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 2)^2 = (-2 - 2)^2 = 16\), a prawa strona \((2+\sqrt{2})^2 = 6 + 4\sqrt{2} \approx 11{,}66\). Nierówne. ✗ - \(x = \sqrt{2}\): \((\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 2)^2 = (2-2)^2 = 0 \neq (2+\sqrt{2})^2\). ✗ ## Wzory z karty CKE **Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór: \[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\] Użyty pośrednio przy rozpoznaniu, że \(A^2 = B^2 \iff A = B\) lub \(A = -B\) (wynika z \(A^2 - B^2 = 0\), czyli \((A-B)(A+B) = 0\)). W tym zadaniu kluczowe jest samo **przekształcenie równania \(A^2 = B^2\)** bez rozwijania kwadratów - to najprostsze podejście. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | A | Uczeń liczy \(x\sqrt{2} - 2\) dla \(x = -\sqrt{2}\): dostaje \(-2-2 = -4\), a \((-4)^2 = 16 \neq (2+\sqrt{2})^2\). Błąd może wynikać z pomieszania znaków lub niepoprawnego pierwiastkowania. | | B | Podstawienie \(x = \sqrt{2}\) daje \((\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 2)^2 = (2-2)^2 = 0\). Uczeń mógł błędnie upraszczać \(x\sqrt{2} = 2\), nie sprawdzając czy prawa strona też wynosi 0. | | D | Błąd wynika z nieumiejętności rozwiązania równania \(A^2 = B^2\) - uczeń być może próbował rozwinąć kwadraty i zgubił się w obliczeniach, zamiast skorzystać z prostszej metody. | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Przy \(A^2 = B^2\) ZAWSZE są **dwa przypadki**: \(A = B\) lub \(A = -B\). Pominięcie drugiego przypadku to najczęstszy błąd - tu właśnie z niego wychodzi rozwiązanie \(x = -1\)! > ⚠️ **Uwaga:** Nie ma potrzeby rozwijać \((2 + \sqrt{2})^2\) - to niepotrzebne rachunki. Równanie \(A^2 = B^2\) rozwiązujemy bez rozwijania, zaoszczędzamy czas i unikamy błędów. > ⚠️ **Uwaga:** \((-\sqrt{2} - 2)^2 = (\sqrt{2} + 2)^2\) - kwadrat jest dodatni niezależnie od znaku - więc podstawienie \(x = -1\) od razu "widać" jako kandydat, bo zmieniamy znak w nawiasie. **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1 - Rozwinięcie obu stron **Prawa strona:** \((2+\sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 6 + 4\sqrt{2}\). **Lewa strona:** \((x\sqrt{2}-2)^2 = 2x^2 - 4x\sqrt{2} + 4\). Zatem \(2x^2 - 4x\sqrt{2} + 4 = 6 + 4\sqrt{2}\), czyli \(2x^2 - 4x\sqrt{2} = 2 + 4\sqrt{2}\). Sprawdzamy dla \(x = -1\): \(2 - 4(-1)\sqrt{2} = 2 + 4\sqrt{2}\) ✓ ### Sposób 2 - Wykorzystanie \((x\sqrt{2}-2)^2 = (2+\sqrt{2})^2\) \(|x\sqrt{2} - 2| = |2 + \sqrt{2}|\) **Przypadek 1:** \(x\sqrt{2} - 2 = 2 + \sqrt{2} \Rightarrow x\sqrt{2} = 4 + \sqrt{2} \Rightarrow x = \tfrac{4+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} + 1\) - żadna z opcji. **Przypadek 2:** \(x\sqrt{2} - 2 = -(2+\sqrt{2}) \Rightarrow x\sqrt{2} = -\sqrt{2} \Rightarrow x = -1\) ✓ ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(x = -\sqrt{2}\):** \((-2-2)^2 = 16 \ne 6+4\sqrt{2} \approx 11{,}66\). - **B. \(x = \sqrt{2}\):** \((2-2)^2 = 0 \ne 6+4\sqrt{2}\). - **D. Fałszywa zawsze** - pokazaliśmy, że \(x = -1\) działa. **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1: Rozwiązanie równania Rozważmy równanie: x² - 2 = 2 + 2. Najpierw uprośćmy lewą stronę: x² - 2 = x² Następnie przeniesiemy wyrazy na prawą stronę: x² - 2 = 2 + 2 x² - 2 = 4 Dodajmy 2 do obu stron: x² = 4 + 2 x² = 6 Teraz wyciągniemy pierwiastek kwadratowy z obu stron: x = ±√6 Ponieważ w treści zadania podano, że x² - 2 = 2 + 2, a nie x² - 2 = 2 + 2, to musimy sprawdzić, czy x = √6 i x = -√6 spełniają to równanie. W zadaniu podano, że x² - 2 = 2 + 2, więc x² = 6. Zatem x = √6 lub x = -√6. Zatem x = -1 nie jest rozwiązaniem. 📖 Karta wzorów: Potęgi, strona 5 \[x^2=6\] ### Sposób 2: Podstawienie wartości x Podstawmy x = -1 do równania x² - 2 = 2 + 2: (-1)² - 2 = 2 + 2 1 - 2 = 4 -1 = 4 To jest fałsz, więc x = -1 nie jest rozwiązaniem. 📖 Karta wzorów: Wzory skrócone, strona 7 \[(a±b)²=a²±2ab+b²\] ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **A. (prawdziwa dla x = 2):** Sprawdzając x = 2, otrzymujemy: 2² - 2 = 4 - 2 = 2, a 2 + 2 = 4. 2 ≠ 4, więc równość nie jest prawdziwa. * **B. (prawdziwa dla x = -1):** Sprawdzając x = -1, otrzymujemy: (-1)² - 2 = 1 - 2 = -1, a 2 + 2 = 4. -1 ≠ 4, więc równość nie jest prawdziwa. * **D. fałszywa dla każdej liczby x:** To byłoby prawda, gdyby równanie nigdy nie było spełnione, co nie jest prawdą (x = √6 lub x = -√6). ## Odpowiedź **Odpowiedź:** C _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/5) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F5) ## Podobne zadania - [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R - [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb - [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia. - [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_