# Matematyka — zadanie 6

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/6
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Zadanie 6. (0-1)
Do zbioru rozwiązań nierówności (
)(
)
4
1
2
0
x
x
>
nie należy liczba
A.
3
B.
1
C. 1
D. 3
Do zbioru rozwiązań nierówności (x^4+1)(2-x) > 0 nie należy liczba A. -3, B. -1, C. 1, D. 3.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D

Liczba \(3\) **nie należy** do zbioru rozwiązań, bo \(3 \geq 2\).

## Sposób 1 - Analiza znaku czynników

Nierówność do rozwiązania:
\[(x^4 + 1)(2 - x) > 0\]

**Krok 1: Zbadaj znak pierwszego czynnika \(x^4 + 1\).**

Dla każdego \(x \in \mathbb{R}\) zachodzi \(x^4 \geq 0\), więc:
\[x^4 + 1 \geq 1 > 0\]

**Wniosek: czynnik \(x^4 + 1\) jest zawsze dodatni - nigdy nie zmienia znaku!**

**Krok 2: Uprość nierówność.**

Skoro \(x^4 + 1 > 0\) zawsze, możemy podzielić obie strony przez ten czynnik (bez zmiany znaku nierówności):
\[(x^4 + 1)(2 - x) > 0 \iff 2 - x > 0\]

**Krok 3: Rozwiąż uproszczoną nierówność.**
\[2 - x > 0 \implies x < 2\]

Zbiór rozwiązań: \(x \in (-\infty, 2)\)

**Sprawdzenie odpowiedzi:**
- \(-3 < 2\) ✓ należy
- \(-1 < 2\) ✓ należy
- \(1 < 2\) ✓ należy
- \(3 \geq 2\) ✗ **nie należy** → **odpowiedź D**

## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

Sprawdzamy każdą odpowiedź bezpośrednio w nierówności \((x^4 + 1)(2 - x) > 0\):

**A: \(x = -3\)**
\[((-3)^4 + 1)(2 - (-3)) = (81 + 1) \cdot 5 = 82 \cdot 5 = 410 > 0\] ✓ należy

**B: \(x = -1\)**
\[((-1)^4 + 1)(2 - (-1)) = (1 + 1) \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6 > 0\] ✓ należy

**C: \(x = 1\)**
\[((1)^4 + 1)(2 - 1) = (1 + 1) \cdot 1 = 2 > 0\] ✓ należy

**D: \(x = 3\)**
\[((3)^4 + 1)(2 - 3) = (81 + 1) \cdot (-1) = 82 \cdot (-1) = -82 < 0\] ✗ **nie należy**

**Odpowiedź D** potwierdzona.

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy własność potęg: \(x^4 \geq 0\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\) (Dział 2, Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) oraz podstawowe operacje na nierównościach.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Liczba | Błąd prowadzący do błędnego wyboru |
| A | \(-3\) | Uczeń myli się przy obliczaniu \((-3)^4\) (pomyłka ze znakiem) i sądzi, że wynik jest ujemny |
| B | \(-1\) | Uczeń nie rozumie, że \((-1)^4 = 1 > 0\), i błędnie ocenia znak czynnika |
| C | \(1\) | Uczeń błędnie sądzi, że \(x^4 + 1\) może być \(0\) lub ujemne dla \(x = 1\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Największa pułapka to nierozpoznanie, że \(x^4 + 1 > 0\) **zawsze**. Uczeń, który próbuje rozwiązać nierówność metodą tabelki znaków, może błędnie uwzględniać miejsca zerowe pierwszego czynnika - a one nie istnieją!

> ⚠️ **Uwaga:** Dla parzystych wykładników (\(x^2, x^4, x^6, \ldots\)) wynik jest zawsze nieujemny. \(x^4 + 1 \geq 1\) - nie ma żadnego \(x\), dla którego ten czynnik jest \(\leq 0\).

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić "nie należy" z "należy" - pytanie jest sformułowane negatywnie! Szukamy liczby, dla której nierówność **NIE jest spełniona**, czyli \(x \geq 2\). Spośród odpowiedzi tylko \(3 \geq 2\).

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Analiza znaku czynników
Zauważamy: \(x^4 \ge 0\) dla każdego \(x\), więc \(x^4 + 1 \ge 1 > 0\) **zawsze**.

Zatem znak iloczynu zależy wyłącznie od znaku \(2 - x\):
\[(x^4+1)(2-x) > 0 \iff 2-x > 0 \iff x < 2.\]

Zbiór rozwiązań: \(x \in (-\infty, 2)\).

### Sposób 2 - Sprawdzenie każdej liczby
- \(x = -3\): \((81+1)(2-(-3)) = 82\cdot 5 = 410 > 0\) ✓ należy
- \(x = -1\): \((1+1)(2+1) = 2\cdot 3 = 6 > 0\) ✓ należy
- \(x = 1\): \((1+1)(2-1) = 2\cdot 1 = 2 > 0\) ✓ należy
- \(x = 3\): \((81+1)(2-3) = 82\cdot(-1) = -82 < 0\) ✗ **nie należy**

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A, B, C.** Wszystkie są mniejsze od 2, więc spełniają nierówność.

**Kluczowe:** wyrażenia typu \(x^{\text{parz}} + c\) (dla \(c > 0\)) są zawsze dodatnie - znak iloczynu zależy tylko od drugiego czynnika.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1: Rozwiązanie nierówności za pomocą znaków przed nawiasami

1. **Rozkładamy nierówność:**
\[(x^4 + 1)(2 - x) > 0\]

2. **Analizujemy znaki:** Aby nierówność była spełniona, iloczyn musi być dodatni. Oznacza to, że oba czynniki muszą być dodatnie lub oba czynniki muszą być ujemne.

* **Przypadek 1: Oba czynniki są dodatnie**
\[x^4 + 1 > 0 \quad \text{i} \quad 2 - x > 0\]
Ponieważ \(x^4 + 1\) zawsze jest większe od zera (dla każdego x rzeczywistego), to ten przypadek jest zawsze spełniony.
\[2 - x > 0 \Rightarrow x < 2\]

* **Przypadek 2: Oba czynniki są ujemne**
\[x^4 + 1 < 0 \quad \text{i} \quad 2 - x < 0\]
Ponieważ \(x^4 + 1\) zawsze jest większe od zera, to ten przypadek nigdy nie może być spełniony.

3. **Zatem, rozwiązaniem nierówności jest:**
\[x < 2\]

4. **Sprawdzamy, czy liczba 3 spełnia warunek:**
\[3 < 2\] - to jest fałsz.

### Sposób 2: Rozwiązanie nierówności za pomocą punktów przecięcia z osią x

1. **Znajdujemy pierwiastki:**
\[(x^4 + 1)(2 - x) = 0\]
Rozwiązujemy:
* \(x^4 + 1 = 0\) => \(x^4 = -1\). Nie ma rozwiązań rzeczywistych, ponieważ \(x^4\) zawsze jest nieujemne.
* \(2 - x = 0\) => \(x = 2\)

2. **Tworzymy przedział:**
Ponieważ \(x^4 + 1\) nigdy nie jest równe 0 dla liczb rzeczywistych, to istotny jest tylko czynnik \(2 - x\).

3. **Analizujemy znaki:**
* Dla \(x < 2\), \(2 - x > 0\)
* Dla \(x > 2\), \(2 - x < 0\)

4. **Zatem, nierówność jest spełniona, gdy:**
\[x < 2\]

5. **Sprawdzamy, czy liczba 3 spełnia warunek:**
\[3 < 2\] - to jest fałsz.

📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²)

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. -3:** \-3 < 2 jest prawdą, więc -3 należy do zbioru rozwiązań.
* **B. -1:** \-1 < 2 jest prawdą, więc -1 należy do zbioru rozwiązań.
* **C. 1:** 1 < 2 jest prawdą, więc 1 należy do zbioru rozwiązań.
* **D. 3:** 3 < 2 jest fałszem, więc 3 nie należy do zbioru rozwiązań. To jest poprawna odpowiedź.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/6)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F6)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia.
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_