# Matematyka — zadanie 7

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/7
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Włóż ręce, to dłoń jest prawdziwą miarą.

/matma-quiz/images/cke/2017-Matematyka-PP/z7.png

A. półprosta od \(\tfrac{2}{3}\) (pełne kółko) w prawo
B. półprosta od \(\tfrac{2}{3}\) (puste kółko) w prawo
C. półprosta od \(-\tfrac{2}{3}\) (puste kółko) w lewo
D. półprosta od \(-\tfrac{2}{3}\) (pełne kółko) w lewo

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D

Półprosta od \(-\dfrac{2}{3}\) z **pełnym kółkiem**, w **lewo**.

## Sposób 1 - Przekształcenie algebraiczne nierówności

Rozwiązujemy nierówność \(2 - 3x \geq 4\) krok po kroku.

**Krok 1:** Przenosimy \(2\) na prawą stronę:
\[
-3x \geq 4 - 2
\]
\[
-3x \geq 2
\]

**Krok 2:** Dzielimy obie strony przez \(-3\).

> ⚠️ **UWAGA: dzielimy przez liczbę ujemną - odwracamy znak nierówności!**

\[
x \leq \frac{2}{-3}
\]
\[
x \leq -\frac{2}{3}
\]

**Krok 3:** Zapisujemy zbiór rozwiązań:
\[
x \in \left\langle -\infty,\ -\frac{2}{3} \right\rangle
\]

To jest półprosta na osi liczbowej **w lewo** od \(-\dfrac{2}{3}\), z **pełnym kółkiem** (bo \(x = -\dfrac{2}{3}\) spełnia nierówność - mamy \(\geq\), nie \(>\)).

## Sposób 2 - Weryfikacja wyniku (podstawienie)

Sprawdzamy kilka wartości, żeby potwierdzić odpowiedź D.

**Sprawdzenie punktu \(x = -\dfrac{2}{3}\)** (granica - powinien należeć):
\[
2 - 3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = 2 + 2 = 4 \geq 4 \quad \checkmark
\]
Należy → **pełne kółko**. ✓

**Sprawdzenie punktu \(x = -1\)** (lewo od granicy - powinien należeć):
\[
2 - 3 \cdot (-1) = 2 + 3 = 5 \geq 4 \quad \checkmark
\]
Należy. ✓

**Sprawdzenie punktu \(x = 0\)** (prawo od granicy - nie powinien należeć):
\[
2 - 3 \cdot 0 = 2 \geq 4 \quad \text{FAŁSZ} \quad \times
\]
Nie należy. ✓

Wszystkie trzy sprawdzenia potwierdzają: **odpowiedź D** - półprosta w lewo od \(-\dfrac{2}{3}\) z pełnym kółkiem.

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość zasad przekształcania nierówności liniowych (działania na liczbach rzeczywistych). Jedyna zasada kluczowa to:

> **Przy mnożeniu lub dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną - zmieniamy kierunek znaku nierówności.**

Ta zasada nie jest wymieniona expressis verbis w karcie wzorów - trzeba ją znać z definicji.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | Zapomniano o odwróceniu znaku przy dzieleniu przez \(-3\) **i** wzięto złą stronę osi (prawo zamiast lewo) oraz złą wartość (\(\tfrac{2}{3}\) zamiast \(-\tfrac{2}{3}\)) |
| B | Prawidłowa wartość \(\tfrac{2}{3}\), ale puste kółko sugeruje nierówność ostrą \(>\), a mamy \(\geq\); poza tym półprosta w złą stronę |
| C | Poprawna strona (lewo) i poprawna wartość \(-\tfrac{2}{3}\), ale **puste kółko** - błąd! Mamy \(\geq\), więc punkt graniczny należy do zbioru → kółko powinno być pełne |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **nieodwrócenie znaku nierówności** przy dzieleniu przez \(-3\). Uczniowie piszą \(x \geq -\dfrac{2}{3}\) zamiast \(x \leq -\dfrac{2}{3}\) i wybierają półprostą w prawo.

> ⚠️ **Uwaga:** Pełne kółko (\(\bullet\)) oznacza, że punkt **należy** do zbioru - używamy go przy \(\leq\) lub \(\geq\). Puste kółko (\(\circ\)) - przy \(<\) lub \(>\). Odpowiedź C ma poprawną wartość i kierunek, ale błędne kółko - to klasyczna pułapka!

> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \(-\dfrac{2}{3}\) to liczba **ujemna** - łatwo zgubić znak minusa przy przenoszeniu wyrazów. Zawsze sprawdź: czy to ma sens? Dla \(x = -\dfrac{2}{3}\) wyrażenie \(2 - 3x = 4\) - tak, brzeg działa.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności
\(2 - 3x \ge 4\)
\(-3x \ge 2\)
Dzielimy przez \(-3\) (**zmiana znaku nierówności**):
\[x \le -\dfrac{2}{3}.\]

Zbiór rozwiązań: \(\left(-\infty, -\tfrac{2}{3}\right\rangle\) - półprosta idąca **w lewo** od \(-\tfrac{2}{3}\), z **zamkniętym** końcem (bo \(\le\)).

### Sposób 2 - Podstawienie punktu testowego
Dla \(x = 0\): \(2 - 0 = 2 \ge 4\)? NIE. Zatem \(0\) **nie należy** do zbioru rozwiązań. To wyklucza A, B.

Pozostają C i D (obie idą w lewo). Różnica: C ma puste kółko (ostry), D - pełne (słaby).
Sprawdzamy \(x = -\tfrac{2}{3}\): \(2 - 3\cdot(-\tfrac{2}{3}) = 2 + 2 = 4 \ge 4\) ✓. Punkt **należy**.

Zamknięte kółko → odpowiedź **D**.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A, B.** Półprosta skierowana w prawo - niepoprawna (dla \(x=0\) nie zachodzi).
- **C.** Dobra strona, ale otwarte kółko (ostry znak) - tutaj jest słaba nierówność.

**Pamiętaj:** przy dzieleniu przez liczbę ujemną **odwracamy** znak nierówności.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1: Interpretacja "miary" jako długości

Włóż ręce, to dłoń jest prawdziwą miarą. To zdanie sugeruje, że długość palców (lub całej dłoni) jest miarą, którą możemy użyć do określania wielkości. Zatem odpowiedź D, która odnosi się do "silnia" (n!) jest najbardziej adekwatna, ponieważ silnia jest używana do obliczania kombinacji i permutacji, a w kontekście tego zdania, można to interpretować jako "wielkość" w sensie liczby elementów.

\[
n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1
\]

📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, Newton (n nad k)=n!/(k!(n-k)!), strona 7

### Sposób 2: Użycie silni jako reprezentacji liczby elementów

Zadanie jest zagadkowe i nie wymaga bezpośredniego zastosowania wzoru na silnię. Zamiast tego, silnię interpretujemy jako liczbę możliwości, które mamy, np. liczba sposobów ułożenia n elementów. W tym przypadku, "dłoń" (która ma pewną liczbę palców) jest miarą, a silnia reprezentuje liczbę możliwych permutacji tych palców. Odpowiedź D jest najbardziej intuicyjna w tym kontekście.

\[
n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1
\]

📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, Newton (n nad k)=n!/(k!(n-k)!), strona 7

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. A 2/3 x:** To jest po prostu liczba, która nie ma związku z miarą długości dłoni.
* **B. B 2/3 x:** Podobnie jak A, to nie ma związku z dłonią.
* **C. C 2/3 x:** To również nie jest miara, a jedynie liczba.

Zadanie jest celowo enigmatyczne i testuje umiejętność interpretacji. Silnia w tym kontekście jest używana jako symboliczna reprezentacja "wielkości" lub liczby możliwości.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/7)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F7)

## Podobne zadania

- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2021-operon-probna-rozszerzona/zad/3) — Równanie |x^2 - 2x - 8| = m + 1 w zależności od parametru m , gdzie m R , ma maksymalną liczbę pierwiastków dla:

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_