# Matematyka — zadanie 8

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/8
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Zadanie 8. (0-1)
Równanie (
)(
)
2
2
4
4
0
x x
x
z niewiadomą x
A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
D. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Równanie x(x^2-4)(x^2+4) = 0 z niewiadomą x A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczby rzeczywistych. B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. D. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C

Równanie ma **dokładnie trzy rozwiązania** w zbiorze liczb rzeczywistych.

## Sposób 1 - Iloczyn czynników

Korzystamy z faktu, że **iloczyn czynników równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników równa się zero**.

Mamy trzy czynniki:

\[x(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0\]

Rozpatrujemy każdy czynnik osobno:

**Czynnik 1:** \(x = 0\)

\[x = 0 \checkmark\]

**Czynnik 2:** \(x^2 - 4 = 0\)

\[x^2 = 4\]
\[x = \sqrt{4} \quad \text{lub} \quad x = -\sqrt{4}\]
\[x = 2 \quad \text{lub} \quad x = -2 \checkmark\]

**Czynnik 3:** \(x^2 + 4 = 0\)

\[x^2 = -4\]

Kwadrat liczby rzeczywistej jest **zawsze nieujemny**, więc \(x^2 \geq 0\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\). Zatem \(x^2 = -4\) nie ma rozwiązań rzeczywistych. ✗

**Zbiór rozwiązań:**

\[x \in \{-2, \; 0, \; 2\}\]

Mamy dokładnie **3 rozwiązania** rzeczywiste.

## Sposób 2 - Rozkład na czynniki i wzory skróconego mnożenia

Zauważamy, że \(x^2 - 4\) możemy rozłożyć korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:

\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\]

Zatem:

\[x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\]

Równanie przyjmuje postać:

\[x(x-2)(x+2)(x^2+4) = 0\]

Teraz mamy **cztery czynniki liniowe lub kwadratowe**. Przyrównujemy każdy do zera:

| Czynnik | Równanie | Rozwiązania |
| \(x\) | \(x = 0\) | \(x = 0\) |
| \(x - 2\) | \(x - 2 = 0\) | \(x = 2\) |
| \(x + 2\) | \(x + 2 = 0\) | \(x = -2\) |
| \(x^2 + 4\) | \(x^2 = -4\) | brak (w \(\mathbb{R}\)) |

Wynik pokrywa się z poprzednim: **dokładnie 3 rozwiązania rzeczywiste**: \(x \in \{-2, 0, 2\}\).

## Wzory z karty CKE

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:
\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 do rozkładu \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\).

W pozostałej części zadania nie potrzeba szczególnych wzorów z karty - wystarczy znajomość własności liczb rzeczywistych (\(x^2 \geq 0\)) oraz zasada, że iloczyn równa się zero ⟺ jeden z czynników równa się zero.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń błędnie zakłada, że \(x^2 + 4 = 0\) blokuje wszystkie rozwiązania, albo myli się przy calnościowym rozkładzie |
| B | Uczeń rozwiązuje tylko \(x^2 - 4 = 0\) i dostaje \(x = \pm 2\), zapominając o czynniku \(x = 0\) |
| D | Uczeń liczy łączny stopień wielomianu (5. stopień!) i zakłada, że musi być 5 rozwiązań rzeczywistych - **błąd**: wielomian 5. stopnia może mieć od 1 do 5 rozwiązań rzeczywistych |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Wielomian stopnia \(n\) ma **co najwyżej** \(n\) pierwiastków rzeczywistych - nie dokładnie \(n\). Część pierwiastków może być zespolona (tu: \(x^2 + 4 = 0\) daje dwa pierwiastki zespolone \(x = \pm 2i\)).

> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o czynniku \(x\) - uczeń skupia się na rozkładzie \(x^2 - 4\) i pomija najprostsze rozwiązanie \(x = 0\).

> ⚠️ **Uwaga:** \(x^2 + 4 \geq 4 > 0\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\) - ten czynnik nigdy nie będzie zerem, więc **nie wnosi żadnego rozwiązania rzeczywistego**.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Iloczyn = 0 ⇔ co najmniej jeden czynnik = 0
Trzy czynniki: \(x\), \(x^2 - 4\), \(x^2 + 4\).

**Czynnik 1:** \(x = 0\) → rozwiązanie: \(x = 0\).
**Czynnik 2:** \(x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2\) - dwa rozwiązania.
**Czynnik 3:** \(x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4\) - **brak** rozwiązań rzeczywistych (kwadrat nie jest ujemny).

Łącznie: \(x \in \{-2, 0, 2\}\) - **3 rozwiązania rzeczywiste**.

### Sposób 2 - Rozkład iloczynowy
\[x(x-2)(x+2)(x^2+4) = 0.\]
Czynniki liniowe dają pierwiastki \(0, 2, -2\). Czynnik \(x^2+4\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. Brak rozwiązań** - zaniedbanie pierwszego czynnika.
- **B. Dwa** - pominięcie \(x = 0\) lub pominięcie drugiego pierwiastka z \(x^2 = 4\).
- **D. Pięć** - ktoś błędnie uznał \(x^2 + 4 = 0\) za mające dwa pierwiastki.

**Pamiętaj:** \(x^2 + c\) (dla \(c > 0\)) **nigdy** nie zeruje się w liczbach rzeczywistych.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1: Rozwiązanie równania przez rozkład na czynniki
Rozważmy równanie:
\[x(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0\]
Rozkładamy na czynniki:
\[x(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) = 0\]
Aby równanie było spełnione, przynajmniej jeden z czynników musi być równy zero. Zatem:
\[x = 0 \quad \text{lub} \quad x - 2 = 0 \quad \text{lub} \quad x + 2 = 0 \quad \text{lub} \quad x^2 + 4 = 0\]
Rozwiązujemy te równania:
* \(x = 0\)
* \(x = 2\)
* \(x = -2\)
* \(x^2 = -4\) => \(x = \pm \sqrt{-4} = \pm 2i\) (rozwiązania zespolone, nie liczone w zbiorze liczb rzeczywistych)

Zatem, w zbiorze liczb rzeczywistych mamy 4 rozwiązania: \(x = 0\), \(x = 2\), \(x = -2\). W zadaniu pytano o liczbę rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, a więc odpowiedź to 4, co jest równoważne 3 w kolejności.

📖 Karta wzorów: s.7, Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7

### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego
Równanie \(x(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0\) można zapisać jako:
\[x(x^4 - 16) = 0\]
\[x^5 - 16x = 0\]
\[x(x^4 - 16) = 0\]
Rozwiązujemy równanie \(x^4 - 16 = 0\), co daje \(x^4 = 16\). Zatem \(x = \pm 2\) (pierwiastki rzeczywiste) oraz \(x = \pm 2i\) (pierwiastki zespolone).
Ponieważ nas interesują rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych, to \(x = 2\) i \(x = -2\) są rozwiązaniami. Dodatkowo, \(x = 0\) jest rozwiązaniem z pierwszego kroku.

📖 Karta wzorów: s.7-9, Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), strona 9

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.** Jest 3 rozwiązania rzeczywiste (0, 2, -2).
* **B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.** Jest 4 rozwiązania rzeczywiste (0, 2, -2).
* **D. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.** Jest 4 rozwiązania rzeczywiste (0, 2, -2).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/8)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F8)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia.
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_