# Matematyka — zadanie 9 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/9 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2017 (podstawowa) - rok: 2017 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Funkcje, funkcja liniowa ## Treść Zadanie 9. (0-1) Miejscem zerowym funkcji liniowej ( ) ( ) 3 1 12 f x x jest liczba A. 3 4 B. 2 3 1 C. 4 3 1 D. 3 12 2 3 x 2 3 x 2 3 x 2 3 x MMA_1P BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) MMA_1P Miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=√3(x+1)-12 jest liczba A. √3-4, B. -2√3+1, C. 4√3-1, D. -√3+12. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: C - \(4\sqrt{3} - 1\) ## Sposób 1 - Przyrównanie do zera i rozwiązanie równania Miejsce zerowe funkcji to \(x\), dla którego \(f(x) = 0\). Przyrównujemy: \[f(x) = 0\] \[\sqrt{3}(x+1) - 12 = 0\] Przenosimy \(-12\) na drugą stronę: \[\sqrt{3}(x+1) = 12\] Dzielimy obie strony przez \(\sqrt{3}\): \[x + 1 = \frac{12}{\sqrt{3}}\] Racjonalizujemy mianownik (mnożymy licznik i mianownik przez \(\sqrt{3}\)): \[x + 1 = \frac{12}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\] Odejmujemy 1 od obu stron: \[x = 4\sqrt{3} - 1\] **Odpowiedź: C** ## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie Sprawdzamy, czy \(x = 4\sqrt{3} - 1\) rzeczywiście zeruje funkcję: \[f(4\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3}\bigl((4\sqrt{3} - 1) + 1\bigr) - 12\] \[= \sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} - 12\] \[= 4 \cdot 3 - 12\] \[= 12 - 12 = 0 \checkmark\] **Wynik potwierdzony.** ## Wzory z karty CKE W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego (to \(x\) taki, że \(f(x)=0\)) i podstawowe działania algebraiczne (racjonalizacja mianownika: mnożenie przez \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | A | \(\sqrt{3} - 4\) - wynik z błędną kolejnością: uczeń liczy \(\frac{\sqrt{3}}{12} \cdot \) lub odejmuje zamiast dzielić, kończąc na \(\sqrt{3} - 4\) przez pomieszanie kroków | | B | \(-2\sqrt{3} + 1\) - błąd znaku: uczeń przenosi \(+1\) na drugą stronę ze złym znakiem, otrzymując \(x + 1 = -4\sqrt{3}\), a stąd \(x = -4\sqrt{3} - 1\) lub miesza kolejność operacji; ta odpowiedź pojawia się przy błędnym podzieleniu \(-12\) przez \(\sqrt{3} \cdot 6\) | | D | \(-\sqrt{3} + 12\) - uczeń **nie dzieli przez \(\sqrt{3}\)**, tylko "odrywa" \(\sqrt{3}\) i liczy \(x + 1 = 12 - \sqrt{3}\), zapominając że \(\sqrt{3}\) mnoży całe wyrażenie \((x+1)\) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Racjonalizacja mianownika - \(\frac{12}{\sqrt{3}}\) NIE upraszcza się do \(\frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\) przez "usunięcie pierwiastka", lecz przez mnożenie licznika **i** mianownika przez \(\sqrt{3}\). Nie wolno skrócić samego \(\sqrt{3}\) bez tego kroku. > ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kolejność: najpierw **dodajemy/odejmujemy** stałą (tu: \(+12\)), **potem** dzielimy przez współczynnik przy \((x+1)\). Odwrotna kolejność też da wynik, ale ryzyko błędu rośnie. > ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\), nie \(\sqrt{3}\) - to klasyczna pułapka przy upraszczaniu wyrażeń z pierwiastkami. **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1 - Rozwiązanie \(f(x) = 0\) \[\sqrt{3}(x+1) - 12 = 0\] \[\sqrt{3}(x+1) = 12\] \[x + 1 = \dfrac{12}{\sqrt{3}} = \dfrac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\] \[x = 4\sqrt{3} - 1.\] ### Sposób 2 - Usuwanie niewymierności od razu Mnożymy mianownik \(\sqrt{3}\) przez \(\sqrt{3}/\sqrt{3}\): \[x+1 = \dfrac{12}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\] \[x = 4\sqrt{3} - 1.\] ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(\sqrt{3} - 4\)** - ktoś podzielił \(12\) przez \(\sqrt{3}\) i otrzymał zły wynik, potem pomylił znak. - **B. \(-2\sqrt{3}+1\)** - błędne podzielenie lub zły znak. - **D. \(-\sqrt{3}+12\)** - nie wyznaczono miejsca zerowego poprawnie; to być może część procesu. **Sprawdzenie:** \(f(4\sqrt{3}-1) = \sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3} - 12 = 12 - 12 = 0\) ✓. **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1: Użycie wzoru na pierwiastek kwadratowy i rozwiązanie równania 1. **Rozpoznanie funkcji:** Funkcja f(x) = 3(x + 1) - 12 jest funkcją liniową. Miejscem zerowym funkcji jest wartość x, dla której f(x) = 0. 2. **Rozwiązanie równania:** * 3(x + 1) - 12 = 0 * 3x + 3 - 12 = 0 * 3x - 9 = 0 * 3x = 9 * x = 3 3. **Podanie odpowiedzi:** Zatem miejscem zerowym funkcji jest liczba 3. 📖 Karta wzorów: Potęgi, strona 3 ### Sposób 2: Rozwinięcie wyrażenia i uproszczenie 1. **Rozwinięcie wyrażenia:** * 3(x + 1) - 12 = 3x + 3 - 12 = 3x - 9 2. **Rozwiązanie równania:** * 3x - 9 = 0 * 3x = 9 * x = 3 3. **Podanie odpowiedzi:** Zatem miejscem zerowym funkcji jest liczba 3. 📖 Karta wzorów: Silnia, strona 1 (w kontekście obliczania pierwiastka z 81) ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **A. \(3 - 4\)**: Jest to po prostu wynik odejmowania liczb, a nie rozwiązanie równania. * **B. \(-2\sqrt{3} + 1\)**: Jest to wyrażenie algebraiczne, które nie jest miejscem zerowym funkcji. * **D. \(- 3 +12\)**: Jest to po prostu wynik dodawania liczb, a nie rozwiązanie równania. **Dodatkowe wyjaśnienie:** Zadanie polega na znalezieniu wartości x, dla której wartość funkcji f(x) jest równa zero. Funkcja f(x) = 3(x + 1) - 12 to funkcja liniowa. Aby znaleźć miejsce zerowe, należy ustawić f(x) = 0 i rozwiązać to równanie. W tym przypadku, po uproszczeniu, otrzymujemy 3x - 9 = 0, a rozwiązaniem jest x = 3. Ważne jest, aby pamiętać o kolejności operacji i prawidłowym rozwiązywaniu równań liniowych. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** C _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/9) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp%2Fzad%2F9) ## Podobne zadania - [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (4 pkt) Równanie postaci 9 160 9 5 ⋅ F C ( ) C , ustala zależność między temperaturą, wyrażoną w stopniach Celsjusza oraz Fahrenheita ( ) F a) Oblicz - [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę o 3 od niej mniejszą. a. Podaj wzór funkcji f b. Zbada - [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Jeżeli x 1= 2, x 2 = 3 i x 3= -1 są miejscami zerowymi wielomianu d cx bx ax x W 2 3 ) ( , gdzie 0 ≠ a oraz 2 ) 4 ( W , to współczynnik a moż - [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (0-2) W chwili początkowej (𝑡= 0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80 °C. Temperatura w pokoju (tempe _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_