# Matematyka — zadanie 1

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/1
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Liczby rzeczywiste, logarytmy

## Treść

Zadanie 1. (0-1)
Liczba
4
log
6
log
2
3
3
jest równa
A. 4
B. 2
C.
2
log
2
3
D.
8
log3
Liczba 2log_3 6 - log_3 4 jest równa A. 4, B. 2, C. 2log_3 2, D. log_3 8.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B (2)

## Sposób 1 - Własności logarytmów krok po kroku

Upraszczamy wyrażenie \(2\log_3 6 - \log_3 4\) korzystając ze wzorów na logarytm potęgi i różnicy.

**Krok 1:** Używamy wzoru \(r \cdot \log_a x = \log_a x^r\), żeby "wciągnąć" współczynnik 2 do środka:
\[2\log_3 6 = \log_3 6^2 = \log_3 36\]

**Krok 2:** Teraz mamy różnicę dwóch logarytmów o tej samej podstawie. Używamy wzoru \(\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}\):
\[\log_3 36 - \log_3 4 = \log_3 \frac{36}{4} = \log_3 9\]

**Krok 3:** Obliczamy \(\log_3 9\). Pytamy się: "3 do jakiej potęgi daje 9?"
\[3^2 = 9 \implies \log_3 9 = 2\]

**Wynik: \(\log_3 9 = \mathbf{2}\)**

## Sposób 2 - Rozłożenie 6 na czynniki

Zamiast od razu wciągać dwójkę, rozkładamy logarytm sumy na składniki.

**Krok 1:** Rozkładamy \(\log_3 6 = \log_3(2 \cdot 3) = \log_3 2 + \log_3 3 = \log_3 2 + 1\)

**Krok 2:** Podstawiamy do wyrażenia:
\[2\log_3 6 - \log_3 4 = 2(\log_3 2 + 1) - \log_3 4\]
\[= 2\log_3 2 + 2 - \log_3 4\]

**Krok 3:** Upraszczamy \(\log_3 4 = \log_3 2^2 = 2\log_3 2\):
\[= 2\log_3 2 + 2 - 2\log_3 2\]
\[= 2\]

**Wynik: \(\mathbf{2}\)** ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**

Użyliśmy trzech własności logarytmów:

1. Logarytm potęgi:
\[\log_a x^r = r \cdot \log_a x\]
Użyliśmy w Sposobie 1 (krok 1) i Sposobie 2 (krok 3) - "wciąganie" lub "wyciąganie" współczynnika.

2. Logarytm ilorazu:
\[\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\]
Użyliśmy w Sposobie 1 (krok 2) - scalenie różnicy w jeden logarytm.

3. Logarytm iloczynu:
\[\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y\]
Użyliśmy w Sposobie 2 (krok 1) - rozkład \(\log_3 6\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A (4) | Uczeń liczy \(2 \cdot \log_3 6 - \log_3 4\) błędnie jako \(\log_3(2 \cdot 6 - 4) = \log_3 8\) albo myli \(\log_3 81 = 4\) po innych pomyłkach rachunkowych |
| C (\(2\log_3 2\)) | Uczeń poprawnie dochodzi do \(2\log_3 2 + 2 - 2\log_3 2\), ale **zapomina uprościć** i zostawia \(2\log_3 2\) zamiast obliczyć, że człony z \(\log_3 2\) się zerują - zostaje samo \(2\) |
| D (\(\log_3 8\)) | Uczeń stosuje wzór \(\log x - \log y = \log(x-y)\) zamiast \(\log\frac{x}{y}\), albo błędnie liczy \(\log_3 36 - \log_3 4 = \log_3(36-4) = \log_3 32\) lub po prostu myli działania na logarytmach z działaniami na liczbach |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Logarytm różnicy to **NIE** różnica logarytmów! \(\log_a(x - y) \neq \log_a x - \log_a y\). Różnica logarytmów to logarytm **ilorazu**: \(\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}\).

> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik przed logarytmem \(r \cdot \log_a x\) wchodzi do środka jako **wykładnik**: \(\log_a x^r\). Nie mnożymy przez argument, tylko potęgujemy argument!

> ⚠️ **Uwaga:** Po zastosowaniu wzorów zawsze sprawdź, czy nie możesz wyliczyć konkretnej wartości. \(\log_3 9 = 2\) bo \(3^2 = 9\) - nie zostawiaj logarytmu, jeśli możesz go policzyć!

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Własności logarytmu (potęga + różnica)
Korzystamy z dwóch wzorów z karty wzorów (Dział 1, s. 4):
\[n\log_a x = \log_a x^n, \qquad \log_a x - \log_a y = \log_a \tfrac{x}{y}\]
Wtedy:
\[2\log_3 6 - \log_3 4 = \log_3 6^2 - \log_3 4 = \log_3 36 - \log_3 4 = \log_3 \tfrac{36}{4} = \log_3 9 = 2.\]

### Sposób 2 - Rozbicie \(\log_3 6\)
\[2\log_3 6 = 2\log_3(2\cdot 3) = 2(\log_3 2 + \log_3 3) = 2\log_3 2 + 2\]
\[\log_3 4 = \log_3 2^2 = 2\log_3 2\]
\[2\log_3 6 - \log_3 4 = 2\log_3 2 + 2 - 2\log_3 2 = 2.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. 4** - wynik \(2\cdot\log_3 6 \cdot (-\log_3 4)\) jako mnożenie; błędne zastosowanie praw logarytmów.
- **C. \(2\log_3 2\)** - pułapka: ktoś zapisał \(\log_3\tfrac{6^2}{4\cdot 3}\) albo pomylił 2 wyłączone z logarytmu.
- **D. \(\log_3 8\)** - ktoś pomylił \(2\log_3 6 = \log_3 12\), a potem \(\log_3 12 - \log_3 4 = \log_3 3 = 1\), ale zapisał 8.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1: Użycie logarytmu o podstawie 3
Rozwińmy wyrażenie \(2 \log_3 6 - \log_3 4\). Zgodnie z właściwością logarytmów, możemy to przekształcić na:
\[ \log_3 6^2 - \log_3 4 = \log_3 36 - \log_3 4 \]
Teraz, używając właściwości logarytmów, możemy zredukować logarytm z ilorazu do logarytmu różnicy:
\[ \log_3 \frac{36}{4} = \log_3 9 \]
Wiemy, że \(9 = 3^2\), więc:
\[ \log_3 3^2 = 2 \]

📖 Karta wzorów: Logarytmy: \(\log_a(b)=c \leftrightarrow a^c=b\), strona 6

### Sposób 2: Użycie wzoru na logarytm iloczynu i ilorazu
Rozwińmy wyrażenie \(2 \log_3 6 - \log_3 4\). Zgodnie z właściwością logarytmów, możemy to przekształcić na:
\[ 2 \log_3 6 - \log_3 4 = \log_3 6^2 - \log_3 4 = \log_3 36 - \log_3 4 \]
Zgodnie z właściwością logarytmów, logarytm iloczynu można zapisać jako sumę logarytmów:
\[ \log_3 36 - \log_3 4 = \log_3 (6 \cdot 6) - \log_3 4 = \log_3 (6 \cdot 6) - \log_3 4 \]
Znowu, używając właściwości logarytmów, możemy zredukować logarytm z ilorazu do logarytmu różnicy:
\[ \log_3 36 - \log_3 4 = \log_3 \frac{36}{4} = \log_3 9 \]
Wiemy, że \(9 = 3^2\), więc:
\[ \log_3 3^2 = 2 \]

📖 Karta wzorów: Logarytmy: \(\log(xy)=logx+logy\), strona 6

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **A. 4:** Wynik nie jest równy 4.
* **C. 2log₃ 2:** To jest nieprawidłowe, ponieważ nie wykorzystuje właściwości logarytmów w celu uproszczenia wyrażenia.
* **D. (na zdjęciu - nie podano)** Ta odpowiedź nie jest podana na zdjęciu.

Podsumowując, prawidłową odpowiedzią jest 2, ponieważ \(2 \log_3 6 - \log_3 4 = \log_3 36 - \log_3 4 = \log_3 \frac{36}{4} = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/1)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F1)

## Podobne zadania

- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/21) — Zadanie 21. (0-3) Pani Maria w 2015 roku łącznie zarobiła 43 740 zł. W każdym miesiącu od stycznia do września włącznie otrzymywała pensję tej samej wysokości. 
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Niech 4 log7 a Wyznacz 49 log 2 w zależności od a. Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 3
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b określamy liczby aDb i a∗b w następujący sposób: aDb = liczba nie mniejsza spośród liczb a i b, a∗b =
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/2) — Zadanie 2. (0-2) Pensja pana X jest o 50% wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o 40% niższa od średniej krajowej. Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_