# Matematyka — zadanie 10

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/10
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Funkcje, funkcja liniowa

## Treść

Zadanie 10. (0-1)
Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej
( )
f x
ax
b
+ , a punkt
(
)
3,
2
M =
należy
do wykresu tej funkcji. Współczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy
A. 1
B.
3
2
C.
2
3
D.
1
Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=ax+b, a punkt M=(3,-2) należy do wykresu tej funkcji. Wspołczynnik a we wzorze tej funkcji jest równy A. 1; B. 3/2; C. -3/2; D. -1.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D

Współczynnik \(a = -1\).

## Sposób 1 - układ równań

Wiemy, że:
- \(1\) jest miejscem zerowym, czyli \(f(1) = 0\)
- punkt \(M = (3, -2)\) należy do wykresu, czyli \(f(3) = -2\)

Podstawiamy do wzoru \(f(x) = ax + b\):

\[f(1) = 0 \implies a \cdot 1 + b = 0 \implies a + b = 0\]

\[f(3) = -2 \implies a \cdot 3 + b = -2 \implies 3a + b = -2\]

Mamy układ równań:
\[\begin{cases} a + b = 0 \\ 3a + b = -2 \end{cases}\]

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego (eliminujemy \(b\)):
\[(3a + b) - (a + b) = -2 - 0\]
\[2a = -2\]
\[\boxed{a = -1}\]

Z pierwszego równania: \(b = -a = 1\), więc \(f(x) = -x + 1\). Sprawdzenie: \(f(1) = 0\) ✓, \(f(3) = -3 + 1 = -2\) ✓

## Sposób 2 - wzór na współczynnik kierunkowy

Skoro \(f(1) = 0\), to mamy dwa punkty na prostej: \((1, 0)\) i \((3, -2)\).

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty to:
\[a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 0}{3 - 1} = \frac{-2}{2} = \boxed{-1}\]

To bezpośrednio daje odpowiedź bez układu równań.

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego i podstawowe własności funkcji liniowej. Wzór na współczynnik kierunkowy \(a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) można powiązać z działem 11 (Geometria analityczna, s. 22-25), gdzie omówione jest równanie kierunkowe prostej \(y = ax + b\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A \((a = 1)\) | Uczeń myśli, że skoro miejsce zerowe to \(x = 1\), to \(a = 1\). Pomylenie miejsca zerowego z wartością współczynnika. |
| B \(\left(a = \frac{3}{2}\right)\) | Błąd znaku lub kolejności odejmowania: \(\frac{-2 - 0}{1 - 3} = \frac{-2}{-2} = 1\) - tu błąd zamienny, albo \(\frac{0-(-2)}{3-1} = \frac{2}{2} = 1\). Wynik \(\frac{3}{2}\) pojawia się gdy ktoś liczy \(\frac{3}{2}\) bez sensu z samych danych \(x=3, y=-2\). |
| C \(\left(a = -\frac{3}{2}\right)\) | Błędny mianownik - np. \(\frac{-2-0}{3-\frac{3}{2}}\) lub pomieszanie \(x_1, y_1\) z samymi współrzędnymi punktu \(M\) bez uwzględnienia miejsca zerowego. |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe \(x_0 = 1\) oznacza \(f(1) = 0\) - to daje punkt \((1, 0)\) na wykresie, NIE to, że \(a = 1\).

> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \(a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) kolejność punktów musi być spójna - jeśli w liczniku bierzesz \(y_2 - y_1\), to w mianowniku musisz brać \(x_2 - x_1\) (te same indeksy!). Zamiana kolejności tylko w jednym miejscu zmienia znak.

> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \(a\) warto zawsze sprawdzić \(b\) i podstawić oba warunki - to zajmuje 10 sekund i eliminuje ryzyko błędu przy odpisywaniu.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Przez układ dwóch równań
Mamy dwa warunki:
- \(f(1) = 0 \Rightarrow a + b = 0\)
- \(f(3) = -2 \Rightarrow 3a + b = -2\)

Odejmujemy pierwsze od drugiego:
\[2a = -2 \Rightarrow a = -1.\]

### Sposób 2 - Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów
Miejsce zerowe \(x=1\) oznacza punkt \((1,0)\). Drugi punkt: \((3,-2)\).
\[a = \tfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \tfrac{-2-0}{3-1} = \tfrac{-2}{2} = -1.\]

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(a=1\)** - dobry wynik z błędem znaku (\(\tfrac{2}{2}\) zamiast \(\tfrac{-2}{2}\)).
- **B. \(a=\tfrac{3}{2}\)** - ktoś przestawił argumenty/wartości: \(\tfrac{3-0}{1-(-2)}\) lub podobny błąd.
- **C. \(a=-\tfrac{3}{2}\)** - ktoś wziął \(\tfrac{0-3}{-2-0}\) lub pomylił punkty.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1: Użycie punktu M i równania prostej

1. **Znamy współrzędne punktu M:** M = (3, -2). To oznacza, że gdy x = 3, to y = -2.
2. **Wzór funkcji liniowej:** f(x) = ax + b
3. **Podstawiamy współrzędne punktu M do wzoru:** f(3) = a * 3 + b = -2
4. **Wyrażamy b w zależności od a:** 3a + b = -2 => b = -2 - 3a
5. **Wykorzystujemy informację, że liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji:** f(1) = a * 1 + b = 0 => a + b = 0
6. **Podstawiamy wyrażenie na b:** a + (-2 - 3a) = 0 => -2a - 2 = 0 => -2a = 2 => a = -1
7. **Obliczamy b:** b = -2 - 3a = -2 - 3*(-1) = -2 + 3 = 1

Zatem funkcja ma postać f(x) = -x + 1. Współczynnik a wynosi -1.

📖 Karta wzorów: **Wzory funkcji** (strona 7)

### Sposób 2: Użycie punktu M i własności miejsc zerowych

1. **Znamy współrzędne punktu M:** M = (3, -2).
2. **Miejscem zerowym jest liczba 1:** f(1) = 0.
3. **Wzór funkcji liniowej:** f(x) = ax + b
4. **Podstawiamy f(1) = 0:** a * 1 + b = 0 => a + b = 0
5. **Wykorzystujemy punkt M:** f(3) = a * 3 + b = -2
6. **Rozwiązujemy układ równań:**
* a + b = 0
* 3a + b = -2
7. **Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:** (3a + b) - (a + b) = -2 - 0 => 2a = -2 => a = -1
8. **Obliczamy b:** b = -a = -(-1) = 1

Zatem funkcja ma postać f(x) = -x + 1. Współczynnik a wynosi -1.

📖 Karta wzorów: **Wzory funkcji** (strona 7)

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. (na zdjęciu)** Nieprawidłowe, ponieważ obliczony współczynnik a wynosi -1, a nie wartość podana na zdjęciu.
* **B. (na zdjęciu)** Nieprawidłowe, ponieważ obliczony współczynnik a wynosi -1, a nie wartość podana na zdjęciu.
* **C. (na zdjęciu)** Nieprawidłowe, ponieważ obliczony współczynnik a wynosi -1, a nie wartość podana na zdjęciu.
* **D. (na zdjęciu)** Prawidłowa, ponieważ obliczony współczynnik a wynosi -1, który odpowiada opcji na zdjęciu.

Wszystkie inne odpowiedzi są błędne, ponieważ nie prowadzą do poprawnego obliczenia współczynnika 'a' w funkcji liniowej. Kluczem do rozwiązania jest wykorzystanie obu informacji: miejsca zerowego i współrzędnych punktu M.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/10)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F10)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2003-styczen-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (4 pkt) Równanie postaci 9 160 9 5 ⋅ F C ( ) C , ustala zależność między temperaturą, wyrażoną w stopniach Celsjusza oraz Fahrenheita ( ) F a) Oblicz
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej iloczyn tej liczby przez liczbę o 3 od niej mniejszą. a. Podaj wzór funkcji f b. Zbada
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/6) — Zadanie 6. (3 pkt) Jeżeli x 1= 2, x 2 = 3 i x 3= -1 są miejscami zerowymi wielomianu d cx bx ax x W 2 3 ) ( , gdzie 0 ≠ a oraz 2 ) 4 ( W , to współczynnik a moż
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (0-2) W chwili początkowej (𝑡= 0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80 °C. Temperatura w pokoju (tempe

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_