# Matematyka — zadanie 11

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/11
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Ciągi, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 11. (0-1)
Dany jest ciąg (
)
n
a
określony wzorem
5
2
6
n
n
a
dla
1
≥
n
. Ciąg ten jest
A. arytmetyczny i jego różnica jest równa
1
3
r = -
B. arytmetyczny i jego różnica jest równa
2
r = -.
C. geometryczny i jego iloraz jest równy
1
3
q = -
D. geometryczny i jego iloraz jest równy
5
6
q =

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n = 5-2n/6 dla n ≥ 1. Ciąg ten jest A. arytmetyczny i jego różnica jest równa r = -1/3. B. arytmetyczny i jego różnica jest równa r = -2. C. geometryczny i jego iloraz jest równy q = -1/3. D. geometryczny i jego iloraz jest równy q = 5/6.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A

Ciąg jest **arytmetyczny** z różnicą \(r = -\dfrac{1}{3}\).

## Sposób 1 - wzór na wyraz ogólny

Ciąg arytmetyczny ma wzór \(a_n = a_1 + (n-1)r\), czyli jest **funkcją liniową** zmiennej \(n\).

Sprawdzamy, czy nasz wzór ma tę postać:

\[a_n = \frac{5 - 2n}{6} = \frac{5}{6} - \frac{2n}{6} = \frac{5}{6} - \frac{1}{3} \cdot n\]

Możemy to przepisać:

\[a_n = -\frac{1}{3} \cdot n + \frac{5}{6}\]

Porównujemy z \(a_n = a_1 + (n-1)r = r \cdot n + (a_1 - r)\):

- współczynnik przy \(n\) to \(r = -\dfrac{1}{3}\)

**Wniosek:** wzór jest funkcją liniową \(n\), więc ciąg jest arytmetyczny z różnicą \(r = -\dfrac{1}{3}\).

## Sposób 2 - sprawdzenie różnicy \(a_{n+1} - a_n\)

Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnica kolejnych wyrazów jest stała.

Liczymy \(a_{n+1} - a_n\):

\[a_{n+1} = \frac{5 - 2(n+1)}{6} = \frac{5 - 2n - 2}{6} = \frac{3 - 2n}{6}\]

\[a_{n+1} - a_n = \frac{3 - 2n}{6} - \frac{5 - 2n}{6} = \frac{(3 - 2n) - (5 - 2n)}{6} = \frac{3 - 2n - 5 + 2n}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\]

Różnica wynosi \(-\dfrac{1}{3}\) i jest **stała** (nie zależy od \(n\)) - ciąg jest arytmetyczny z \(r = -\dfrac{1}{3}\).

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1)r\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 - rozpoznaliśmy liniową strukturę wzoru i odczytaliśmy różnicę jako współczynnik przy \(n\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| B | Ciąg jest arytmetyczny (to prawda!), ale błędnie wyliczono różnicę: wzięto licznik \(-2\) zamiast \(\frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\) - zapomniano podzielić przez mianownik \(6\) |
| C | Ciąg mylnie uznano za geometryczny; dla ciągu geometrycznego iloraz \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) musiałby być stały - sprawdź: \(\frac{a_2}{a_1} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}\), ale \(\frac{a_3}{a_2} = \frac{-1/6}{1/6} = -1\) - iloraz nie jest stały! |
| D | Podobny błąd jak w C - ciąg nie jest geometryczny; \(q = \frac{5}{6}\) to po prostu wartość \(a_1\), nie iloraz |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Gdy widzisz wzór \(a_n = \frac{5-2n}{6}\), nie zapomnij podzielić \(-2\) przez \(6\). Różnica to **cały** współczynnik przy \(n\), czyli \(-\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}\), a nie samo \(-2\).

> ⚠️ **Uwaga:** Aby sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny, musisz zbadać iloraz \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\). Pamiętaj, że dla ciągu geometrycznego **wszystkie wyrazy muszą być tego samego znaku** (lub naprzemiennie, gdy \(q < 0\), ale tu zmiana znaku wskazuje, że iloraz nie jest stały).

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór liniowy względem \(n\), czyli postać \(a_n = An + B\), to **pewnik**, że ciąg jest arytmetyczny z różnicą \(r = A\).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Obliczenie \(a_{n+1}-a_n\)
\[a_{n+1} - a_n = \tfrac{5-2(n+1)}{6} - \tfrac{5-2n}{6} = \tfrac{5-2n-2-5+2n}{6} = \tfrac{-2}{6} = -\tfrac{1}{3}.\]
Różnica jest stała, więc ciąg jest **arytmetyczny** z \(r = -\tfrac{1}{3}\).

### Sposób 2 - Rozpoznanie wzoru postaci \(rn+c\)
\[a_n = \tfrac{5-2n}{6} = -\tfrac{1}{3}n + \tfrac{5}{6}.\]
Ciąg postaci \(a_n = rn + c\) jest arytmetyczny o różnicy \(r = -\tfrac{1}{3}\).

### Sposób 3 - Wypisanie kilku wyrazów
\(a_1 = \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}\), \(a_2 = \tfrac{1}{6}\), \(a_3 = \tfrac{-1}{6}\).
Różnice: \(a_2-a_1 = -\tfrac{2}{6} = -\tfrac{1}{3}\), \(a_3-a_2 = -\tfrac{1}{3}\). Stała różnica ✓.
Iloraz: \(\tfrac{a_2}{a_1} = \tfrac{1/6}{1/2} = \tfrac{1}{3}\), \(\tfrac{a_3}{a_2} = \tfrac{-1/6}{1/6} = -1\). Iloraz się zmienia → **nie** geometryczny.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(r=-2\)** - ktoś zapomniał o mianowniku 6 i wziął tylko współczynnik przy \(n\) z licznika.
- **C. \(q=-\tfrac{1}{3}\)** - ciąg jest arytmetyczny, nie geometryczny; i \(-\tfrac{1}{3}\) to różnica, nie iloraz.
- **D. \(q=\tfrac{5}{6}\)** - ktoś zobaczył "5" i "6" we wzorze i zgadł iloraz.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1: Analiza wzoru na wyraz ciągu arytmetycznego

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to: \(a_n = a_1 + (n-1)r\), gdzie \(a_1\) to pierwszy wyraz, a \(r\) to różnica.

W naszym przypadku mamy \(a_n = 6\) dla \(n \geq 1\). Zatem:

\(6 = a_1 + (n-1)r\)

Ponieważ \(n\) może przyjmować dowolną wartość większą lub równą 1, spróbujmy przypisać \(n=1\). Wtedy:

\(6 = a_1 + (1-1)r\)
\(6 = a_1 + 0\)
\(a_1 = 6\)

Teraz, gdy znamy \(a_1\), możemy podstawić to do równania:

\(6 = 6 + (n-1)r\)
\(0 = (n-1)r\)

Aby to równanie było prawdziwe dla wszystkich \(n \geq 1\), musi być \(r=0\). Wtedy ciąg jest stały, a każdy wyraz jest równy 6. Zatem ciąg jest arytmetyczny z różnicą \(r=0\).

📖 Karta wzorów: s.9, strona 9

### Sposób 2: Analiza wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego

Wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego to: \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\). Ponieważ \(a_n = 6\) dla \(n \geq 1\), możemy użyć tego wzoru, aby znaleźć sumę. Na przykład, dla \(n=1\), \(S_1 = \frac{1}{2}(a_1 + a_1) = a_1 = 6\). Dla \(n=2\), \(S_2 = \frac{2}{2}(a_1 + a_2) = a_1 + a_2 = 6 + 6 = 12\). Ponieważ \(a_2 = a_1 + r\), to \(a_2 = 6 + r\). Zatem \(6 + r + 6 = 12\), co daje \(r = 0\). Zatem ciąg jest arytmetyczny z różnicą \(r=0\).

📖 Karta wzorów: s.9, strona 9

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **B. \(arytmetyczny i jego różnica jest równa r = -2 . 1\)**: Jeśli \(r = -2\), to \(a_n = a_1 + (n-1)(-2)\). Wtedy \(a_1 = 6\) i \(a_2 = 6 + (2-1)(-2) = 6 - 2 = 4\). To nie jest ciąg, w którym \(a_n = 6\) dla wszystkich \(n \geq 1\).
* **C. \(geometryczny i jego iloraz jest równy q = - . 3 - 5\)**: Jeśli \(q = -3/5\), to \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\). Wtedy \(a_1 = 6\) i \(a_2 = 6 \cdot (-3/5) = -3.6\), co jest sprzeczne z założeniem, że \(a_n = 6\) dla \(n \geq 1\).
* **D. geometryczny i jego iloraz jest równy q = . 6**: Podobnie jak w punkcie C, to nie jest ciąg geometryczny.

Podsumowując, jedynym prawidłowym rozwiązaniem jest ciąg arytmetyczny z różnicą r=0.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/11)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F11)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Nieskończony ciąg liczbowy ( ) n a jest określony wzorem 1 2 n a n , 1, 2, 3, n a) Oblicz, ile wyrazów ciągu ( ) n a jest mniejszych od 1,975
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na , gdzie 1 n ≥. Wiadomo, że dla każdego 1 n ≥ suma n początkowych wyrazów 1 2 n n S a a a wyraża się wzorem
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_