# Matematyka — zadanie 12

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/12
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 12. (0-1)
Dla ciągu arytmetycznego (
)
na
, określonego dla
1
n ≥, jest spełniony warunek
4
5
6
12
a
a
a
Wtedy
A.
5
4
a =
B.
5
3
a =
C.
5
6
a =
D.
5
5
a =
Dla ciągu arytmetycznego (a_n) określonego dla n≥1, jest spełniony warunek a_4 + a_5 + a_6 = 12. Wtedy A. a_5 = 4; B. a_5 = 3; C. a_5 = 6; D. a_5 = 5.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(a_5 = 4\)

## Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu

W ciągu arytmetycznym trzy kolejne wyrazy \(a_{n-1}, a_n, a_{n+1}\) mają sumę równą \(3a_n\), bo środkowy wyraz jest ich średnią arytmetyczną.

Wprost z definicji ciągu arytmetycznego (różnica \(r\)):
\[a_4 = a_5 - r, \quad a_6 = a_5 + r\]

Podstawiamy do warunku:
\[a_4 + a_5 + a_6 = (a_5 - r) + a_5 + (a_5 + r) = 3a_5\]

Różnica \(r\) się **redukuje**! Zatem:
\[3a_5 = 12\]
\[\boxed{a_5 = 4}\]

## Sposób 2 - Przez pierwszy wyraz i różnicę

Wyrażamy każdy wyraz przez \(a_1\) i różnicę \(r\):
\[a_4 = a_1 + 3r, \quad a_5 = a_1 + 4r, \quad a_6 = a_1 + 5r\]

Sumujemy:
\[(a_1 + 3r) + (a_1 + 4r) + (a_1 + 5r) = 3a_1 + 12r = 12\]

Dzielimy przez 3:
\[a_1 + 4r = 4\]

Ale \(a_1 + 4r\) to dokładnie wzór na \(a_5\)! Zatem:
\[\boxed{a_5 = 4}\]

Nie musimy znać \(a_1\) ani \(r\) - wystarczy ich kombinacja \(a_1 + 4r\).

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1)r\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2, by wyrazić \(a_4, a_5, a_6\) przez \(a_1\) i \(r\).

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność środkowego wyrazu:
\[a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\]
To znaczy, że \(a_{n-1} + a_n + a_{n+1} = 3a_n\). Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B | Uczeń dzieli 12 przez 4 zamiast przez 3 - np. liczy \(\frac{12}{4} = 3\) myląc liczbę wyrazów z indeksem środkowego |
| C | Uczeń sumuje tylko dwa wyrazy: \(a_4 + a_6 = 12\), skąd \(a_5 = 6\) - gubi \(a_5\) z sumy |
| D | Brak typowego błędu obliczeniowego prowadzącego do 5 - może wynikać z błędnego podstawienia \(a_5 = a_1 + 5r\) i pominięcia jednego wyrazu |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowa obserwacja to **redukcja różnicy** - \(r\) znika przy sumowaniu trzech kolejnych wyrazów. Nie potrzebujesz żadnych dodatkowych danych!

> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj wyznaczać \(a_1\) i \(r\) osobno - masz jedno równanie z dwiema niewiadomymi, więc to **niemożliwe**. Ale też zbędne!

> ⚠️ **Uwaga:** Zapamiętaj regułę ogólną: suma \(k\) kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa \(k\) razy wyraz środkowy (gdy \(k\) nieparzyste). Tu \(k=3\), wyraz środkowy to \(a_5\).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Własność ciągu arytmetycznego
W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiadów:
\[a_5 = \tfrac{a_4 + a_6}{2}.\]
Zatem \(a_4 + a_6 = 2a_5\), więc:
\[a_4 + a_5 + a_6 = 2a_5 + a_5 = 3a_5 = 12 \;\Longrightarrow\; a_5 = 4.\]

### Sposób 2 - Wyrażenie przez \(a_1\) i \(r\)
\(a_4 = a_1+3r\), \(a_5 = a_1+4r\), \(a_6 = a_1+5r\).
\[(a_1+3r)+(a_1+4r)+(a_1+5r) = 3a_1 + 12r = 3(a_1+4r) = 3a_5 = 12.\]
Stąd \(a_5 = 4\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(a_5 = 3\)** - ktoś podzielił \(12\) przez \(4\) (myśląc, że są cztery wyrazy).
- **C. \(a_5 = 6\)** - ktoś podzielił \(12\) przez \(2\) (tylko dwóch "sąsiadów").
- **D. \(a_5 = 5\)** - ktoś zapomniał podzielić i dopisał 12 minus coś, albo przyjął inne założenie.

**Zapamiętaj:** suma trzech kolejnych wyrazów arytmetycznego = 3× środkowy wyraz. To trik ratujący czas.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1: Użycie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego
W zadaniu podano, że \(a_4 + a_5 + a_6 = 12\). Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego to:
\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)r)\]
Możemy również użyć tego faktu, aby obliczyć \(a_4 + a_5 + a_6\). Zauważmy, że \(a_4, a_5, a_6\) to 3 ostatnie wyrazy ciągu arytmetycznego. Możemy użyć wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: \(a_n = a_1 + (n-1)r\). Zatem:
* \(a_4 = a_1 + 3r\)
* \(a_5 = a_1 + 4r\)
* \(a_6 = a_1 + 5r\)

Dodając te wyrażenia otrzymujemy:
\[a_4 + a_5 + a_6 = 3a_1 + 12r = 12\]
\[a_1 + 4r = 4\]
Zatem \(a_1 = 4 - 4r\).

📖 Karta wzorów: s.9, strona 4 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)

### Sposób 2: Użycie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego z wykorzystaniem sumy n wyrazów
Możemy również użyć wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego, ale w nieco inny sposób. Wzór ten to:
\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]
W naszym przypadku, \(a_4 + a_5 + a_6\) to suma 3 ostatnich wyrazów. Możemy również to wyrazić jako sumę 6 pierwszych wyrazów pomniejszoną o 3 pierwsze. Zatem:
\[a_4 + a_5 + a_6 = S_6 - S_3\]
Wzór na \(S_6\) to:
\[S_6 = \frac{6}{2}(2a_1 + (6-1)r) = 3(2a_1 + 5r) = 6a_1 + 15r\]
Wzór na \(S_3\) to:
\[S_3 = \frac{3}{2}(2a_1 + (3-1)r) = \frac{3}{2}(2a_1 + 2r) = 3a_1 + 3r\]
Zatem:
\[a_4 + a_5 + a_6 = (6a_1 + 15r) - (3a_1 + 3r) = 3a_1 + 12r = 12\]
\[3a_1 + 12r = 12\]
\[a_1 + 4r = 4\]
\[a_1 = 4 - 4r\]

📖 Karta wzorów: s.9, strona 4 - Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2;

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **B:** Nie wykorzystuje żadnego wzoru na ciąg arytmetyczny.
* **C:** Podobnie jak B, nie wykorzystuje wzoru na ciąg arytmetyczny.
* **D:** Ta odpowiedź również nie jest poprawna, ponieważ nie prowadzi do rozwiązania zadania.

Podsumowując, oba sposoby prowadzą do tego samego równania: \(a_1 + 4r = 4\), co jest równoważne \(a_1 = 4 - 4r\). To pozwala nam znaleźć wartość \(a_1\) i \(r\), a następnie sprawdzić, czy spełniają one warunki zadania.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/12)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F12)

## Podobne zadania

- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/12) — Zadanie 12. (0-1) Dla ciągu arytmetycznego ( ) na , określonego dla 1 n ≥, jest spełniony warunek 4 5 6 12 a a a Wtedy A. 5 4 a = B. 5 3 a = C. 5 6 a = D. 5 5 a
- [Zadanie 14](https://matura.lol/question/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14) — Zadanie 14. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na określony wzorem 1 2 16 na n ⋅ dla każdej liczby całkowitej 1 n ≥. Różnica r tego ciągu jest równa A. 16 r 
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2011-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13) — Zadanie 13. (1 pkt) Ciąg arytmetyczny ( ) na jest określony wzorem 1 2 - = n an dla 1 ≥ n . Różnica tego ciągu jest równa A. 1 B. 1 C. 2 D. 3 y x 1 1 2 3 4 0 2 
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-mma-p1-1p-184/zad/13) — Zadanie 13. (0-1) Ciąg arytmetyczny , określony dla 1 n ≥, spełnia warunek 3 4 5 15 a a a Wtedy A. 4 5 a = B. 4 6 a = C. 4 3 a = D. 4 4 a = Ciąg arytmetyczny (a

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_