# Matematyka — zadanie 14

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/14
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Trygonometria, planimetria

## Treść

Zadanie 14. (0-1)
Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma
długość 8 (zobacz rysunek).
Wtedy miara α kąta ostrego LKM tego trójkąta spełnia warunek
A. 27
30
α
° <
≤
°
B. 24
27
α
° <
≤
°
C. 21
24
α
° <
≤
°
D. 18
21
α
° <
≤
°
Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma długość 8 (zobacz rysunek). Wtedy miara α kąta ostrego LKM tego trójkąta spełnia warunek A. 27° < α ≤ 30°; B. 24° < α ≤ 27°; C. 21° < α ≤ 24°; D. 18° < α ≤ 21°.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C

**Przedział: \(21^\circ < \alpha \leq 24^\circ\)**

## Sposób 1 - Sinus kąta z definicji (sinus = przeciwległa/przeciwprostokątna)

W trójkącie prostokątnym \(KLM\) kąt prosty leży przy wierzchołku \(M\) (bo \(KL\) jest przeciwprostokątną).

Szukamy kąta \(\alpha = \angle LKM\) przy wierzchołku \(K\).

**Identyfikujemy boki względem kąta \(\alpha\):**
- Bok naprzeciwko \(\alpha\): \(LM = 3\)
- Przeciwprostokątna: \(KL = 8\)

Z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:
\[\sin\alpha = \frac{\text{bok naprzeciwko}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{LM}{KL} = \frac{3}{8} = 0{,}375\]

Teraz sprawdzamy wartości sinusa dla kątów z poszczególnych przedziałów, korzystając z tablicy (karta CKE s. 34) lub wzorów:

| Kąt | Wartość sinusa |
| \(18^\circ\) | \(\approx 0{,}309\) |
| \(21^\circ\) | \(\approx 0{,}358\) |
| \(22^\circ\) | \(\approx 0{,}375\) |
| \(23^\circ\) | \(\approx 0{,}391\) |
| \(24^\circ\) | \(\approx 0{,}407\) |
| \(27^\circ\) | \(\approx 0{,}454\) |

Mamy \(\sin\alpha = 0{,}375\), a sinus jest funkcją rosnącą dla kątów ostrych.

Ponieważ:
\[\sin 21^\circ \approx 0{,}358 < 0{,}375 < 0{,}391 \approx \sin 23^\circ\]

wynika stąd, że \(21^\circ < \alpha < 23^\circ\).

**Zatem \(\alpha\) należy do przedziału \(21^\circ < \alpha \leq 24^\circ\), czyli odpowiedź C.**

## Sposób 2 - Tangens kąta (przez obliczenie drugiej przyprostokątnej)

Wyznaczamy długość boku \(KM\) z twierdzenia Pitagorasa:
\[KM = \sqrt{KL^2 - LM^2} = \sqrt{8^2 - 3^2} = \sqrt{64 - 9} = \sqrt{55}\]

Obliczamy:
\[\sqrt{55} \approx 7{,}416\]

Tangens kąta \(\alpha\) przy wierzchołku \(K\):
\[\operatorname{tg}\alpha = \frac{LM}{KM} = \frac{3}{\sqrt{55}} \approx \frac{3}{7{,}416} \approx 0{,}4045\]

Sprawdzamy w tablicy (karta CKE s. 34):

| Kąt | Wartość tangensa |
| \(21^\circ\) | \(\approx 0{,}384\) |
| \(22^\circ\) | \(\approx 0{,}404\) |
| \(23^\circ\) | \(\approx 0{,}424\) |
| \(24^\circ\) | \(\approx 0{,}445\) |

Ponieważ \(\operatorname{tg}\alpha \approx 0{,}4045\) jest między \(\operatorname{tg}22^\circ\) a \(\operatorname{tg}23^\circ\), mamy:
\[22^\circ < \alpha < 23^\circ\]

Oba sposoby potwierdzają: \(\mathbf{21^\circ < \alpha \leq 24^\circ}\), **odpowiedź C**.

## Wzory z karty CKE

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja sinusa i tangensa w trójkącie prostokątnym:
\[\sin\alpha = \frac{\text{przeciwległa}}{c}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{przeciwległa}}{\text{przyległa}}\]
Użyliśmy tych definicji bezpośrednio do wyznaczenia wartości \(\sin\alpha = \frac{3}{8}\) i \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{3}{\sqrt{55}}\).

**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:
\[a^2 + b^2 = c^2\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do obliczenia \(KM = \sqrt{55}\).

**Dział 17 (Tablica wartości, s. 34)** - wartości funkcji trygonometrycznych co \(1^\circ\); kluczowe przy określeniu, w jakim przedziale leży \(\alpha\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| **A** | \(\sin\alpha = \frac{3}{8} = 0{,}375\), co odpowiada ok. \(22^\circ\) - uczeń mógł mylnie odczytać tablicę lub pomylić zakresy |
| **B** | Wynik \(22^\circ\) leży w przedziale \(21^\circ < \alpha \leq 24^\circ\), ale uczeń mógł błędnie zakwalifikować go do \((24^\circ, 27^\circ]\) lub odwrócić nierówności |
| **D** | Powstaje, gdy ktoś pomyli, który kąt liczy - np. policzy kąt \(\angle KLM\) zamiast \(\angle LKM\), lub odwróci stosunek: \(\sin\alpha = \frac{8}{3}\) (co jest niemożliwe, ale typowy błąd "bok/bok") |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić, który bok jest "naprzeciwko" kąta \(\alpha\). Kąt \(\alpha\) jest przy \(K\), więc naprzeciwko niego leży \(LM = 3\), a nie \(KM\)!

> ⚠️ **Uwaga:** Sinus jest rosnący dla kątów \(0^\circ\) do \(90^\circ\) - im większy kąt, tym większy sinus. Pilnuj kierunku nierówności przy odczycie z tablicy.

> ⚠️ **Uwaga:** Tablicę trygonometryczną (s. 34 karty CKE) masz na egzaminie - nie musisz pamiętać dokładnych wartości co \(1^\circ\). Wystarczy sprawdzić kilka wartości i porównać z obliczonym \(\sin\alpha = 0{,}375\).

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Funkcja sinus + tablice
W trójkącie prostokątnym \(KLM\) z kątem prostym przy \(M\), kąt ostry \(\alpha\) jest przy \(K\). Przyprostokątna \(LM=3\) jest **naprzeciw** kąta \(\alpha\), przeciwprostokątna \(KL=8\).
\[\sin\alpha = \tfrac{LM}{KL} = \tfrac{3}{8} = 0{,}375.\]
Z tablic: \(\sin 21^\circ \approx 0{,}358\), \(\sin 22^\circ \approx 0{,}375\), \(\sin 24^\circ \approx 0{,}407\).
Zatem \(\alpha \approx 22^\circ\), czyli \(21^\circ < \alpha \le 24^\circ\).

### Sposób 2 - Odrzucanie przez granice
Sprawdzamy \(\sin\) dla punktów brzegowych:
- \(\sin 18^\circ \approx 0{,}309\) → \(0{,}375 > 0{,}309\), więc \(\alpha > 18^\circ\) ✓ (ale to mało precyzyjne)
- \(\sin 21^\circ \approx 0{,}358\) → \(0{,}375 > 0{,}358\), więc \(\alpha > 21^\circ\) → odrzucamy D.
- \(\sin 24^\circ \approx 0{,}407\) → \(0{,}375 < 0{,}407\), więc \(\alpha < 24^\circ\) → odrzucamy B i A (A bo tam też \(\alpha > 27^\circ\)).

Pozostaje **C**.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A, B.** Ktoś użył \(\cos\alpha = \tfrac{3}{8}\) (myląc który bok jest naprzeciw) → \(\alpha \approx 68^\circ\), albo złą tablicę.
- **D.** Niedokładne odczytanie z tablic lub pomylenie wartości \(\sin\).

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1: Użycie twierdzenia Pitagorowego i funkcji trygonometrycznych

Krok 1: Z twierdzenia Pitagorowego w trójkącie KLM mamy:
\[LM^2 + KM^2 = KL^2\]
\[3^2 + KM^2 = 8^2\]
\[9 + KM^2 = 64\]
\[KM^2 = 55\]
\[KM = \sqrt{55}\]
To jest błąd w zadaniu, ponieważ podano, że KM = 3. Zatem, zakładamy, że KM = 3.

Krok 2: Znajdźmy wartość kąta K. W trójkącie KLM, mamy:
\[sin(K) = \frac{KM}{KL} = \frac{3}{8}\]
\[K = arcsin(\frac{3}{8}) \approx 22.02^\circ\]

Krok 3: Obliczmy kąt LKM. Kąt LKM to kąt między KM a KL. Zatem, kąt LKM to \(180^\circ - K - \angle KLM\).
Ponieważ KLM jest trójkątem prostokątnym, \( \angle KLM = 90^\circ\).
\[\angle LKM = 180^\circ - 90^\circ - \arcsin(\frac{3}{8}) \approx 180^\circ - 90^\circ - 22.02^\circ = 67.98^\circ\]
To również nie pasuje do odpowiedzi.

Krok 4: Zauważmy, że zadanie jest źle sformułowane. Jeśli przyjmiemy, że KM = 3 i KL = 8, to \( \sin(K) = \frac{3}{8}\) i \(K \approx 22.02^\circ\). Wtedy kąt LKM to \(180^\circ - 90^\circ - 22.02^\circ = 67.98^\circ\).

Krok 5: Ponieważ zadanie ma na celu sprawdzenie, czy spełniony jest warunek, musimy znaleźć kąt \(\alpha\) taki, że \(21^\circ < \alpha \leq 24^\circ\). To jest sprzeczne z naszym obliczeniem.

### Sposób 2: Użycie twierdzenia cosinusów

Krok 1: Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta KLM:
\[KL^2 = KM^2 + LM^2 - 2 \cdot KM \cdot LM \cdot \cos(\angle KML)\]
\[8^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cos(\angle KML)\]
\[64 = 9 + 9 - 18 \cdot \cos(\angle KML)\]
\[64 = 18 - 18 \cdot \cos(\angle KML)\]
\[46 = -18 \cdot \cos(\angle KML)\]
\[\cos(\angle KML) = -\frac{46}{18} = -\frac{23}{9}\]
Ponieważ wartość cosinusów musi być w przedziale [-1, 1], to jest błąd w zadaniu.

Krok 2: Zauważmy, że zadanie jest źle sformułowane. Z twierdzenia cosinusów nie możemy rozwiązać tego zadania.

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. \(27^{\circ} < \alpha \leq 30^{\circ}\)**: Kąt LKM nie może być większy niż \(30^\circ\) przy założeniu, że trójkąt jest prostokątny i KM=3.
* **B. \(24^{\circ} < \alpha \leq 27^{\circ}\)**: Kąt LKM nie może być większy niż \(27^\circ\) przy założeniu, że trójkąt jest prostokątny i KM=3.
* **D. \(18^{\circ} < \alpha \leq 21^{\circ}\)**: Kąt LKM nie może być mniejszy niż \(18^\circ\) przy założeniu, że trójkąt jest prostokątny i KM=3.

📖 Karta wzorów: s.15 - Pitagoras, strona 15

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/14)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F14)

## Podobne zadania

- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3) — Zadanie 3. (5 pkt) Kąt  jest taki, że 4 cos sin 3     . Oblicz wartość wyrażenia cos sin    Odpowiedź: Poziom rozszerzony 6 Kąt alfa jest taki, że cos a
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Dany jest trójkąt o bokach długości 1, 3 2 , 2. Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku tego trójkąta. Nr czynności 
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-2) Kąt α jest ostry i spełnia warunek 2sin 3cos 4 cos α α α . Oblicz tangens kąta Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 30. 31. Maks. liczba
- [Zadanie 28](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/28) — Zadanie 28. (2 pkt) Kąt α jest ostry i ( ) 2 3 sin cos 2 α α . Oblicz wartość wyrażenia sin cos α α ⋅ Odpowiedź: Poziom podstawowy MMA_1P

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_