# Matematyka — zadanie 15

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/15
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Planimetria

## Treść

Zadanie 15. (0-1)
Dany jest trójkąt o bokach długości:
5
2
,
5
3
,
5
4
. Trójkątem podobnym do tego trójkąta
jest trójkąt, którego boki mają długości
A. 10, 15, 20
B. 20, 45, 80
C.
2,
3,
4
D.
5, 2 5, 3 5
K
L
M
3
8

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Dany jest trójkąt o bokach długości: 2√5, 3√5, 4√5. Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości A. 10, 15, 20; B. 20, 45, 80; C. √2, √3, √4; D. √5, 2√5, 3√5.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A

## Sposób 1 - Wyznaczenie współczynnika podobieństwa

**Krok 1: Zauważamy, że boki trójkąta wyjściowego mają wspólny czynnik.**

Boki: \(2\sqrt{5},\ 3\sqrt{5},\ 4\sqrt{5}\).

Każdy bok jest postaci \(k\sqrt{5}\), więc możemy wyciągnąć \(\sqrt{5}\) przed nawias:
\[\sqrt{5} \cdot 2,\quad \sqrt{5} \cdot 3,\quad \sqrt{5} \cdot 4\]

Stosunek boków (po uproszczeniu) wynosi:
\[2 : 3 : 4\]

**Krok 2: Trójkąty podobne mają boki proporcjonalne - muszą być w tym samym stosunku \(2 : 3 : 4\).**

Szukamy odpowiedzi, w której boki dają stosunek \(2 : 3 : 4\).

**Sprawdzamy odpowiedź A:** \(10,\ 15,\ 20\)
\[\frac{10}{2} = 5,\quad \frac{15}{3} = 5,\quad \frac{20}{4} = 5\]

Każdy bok jest \(5\) razy większy niż odpowiadający bok w stosunku \(2:3:4\). Współczynnik podobieństwa \(k = 5\).

**Trójkąt A jest podobny do danego.** ✓

## Sposób 2 - Bezpośrednie porównanie z trójkątem wyjściowym

Boki wyjściowe: \(2\sqrt{5},\ 3\sqrt{5},\ 4\sqrt{5}\).

Szukamy liczby \(k > 0\) takiej, że po pomnożeniu każdego boku przez \(k\) dostaniemy boki z jednej z odpowiedzi.

Spróbujmy dla odpowiedzi A: \(10,\ 15,\ 20\).

Sprawdzamy ilorazy:
\[\frac{10}{2\sqrt{5}} = \frac{10}{2\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}\]
\[\frac{15}{3\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}\]
\[\frac{20}{4\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}\]

Wszystkie ilorazy są równe \(\sqrt{5}\), czyli współczynnik podobieństwa \(k = \sqrt{5}\). **Trójkąt A jest podobny.** ✓

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja podobieństwa trójkątów: dwa trójkąty są podobne, gdy ich odpowiednie boki są **proporcjonalne** (w stałym stosunku \(k\)).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Boki | Sprawdzenie stosunku | Błąd |
| B | \(20,\ 45,\ 80\) | \(\frac{20}{2}=10,\ \frac{45}{3}=15,\ \frac{80}{4}=20\) - ilorazy **różne** | Boki mają stosunek \(20:45:80 = 4:9:16\), nie \(2:3:4\); uczeń mógł pomylić podobieństwo z potęgowaniem boków (\(2^2 : 3^2 : 4^2\)) |
| C | \(\sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{4}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{3},\ \frac{\sqrt{4}}{4}\) - ilorazy **różne** | Boki \(\sqrt{2}:\sqrt{3}:\sqrt{4} \neq 2:3:4\); podobna "forma" z pierwiastkami myląco sugeruje podobieństwo |
| D | \(\sqrt{5},\ 2\sqrt{5},\ 3\sqrt{5}\) | Stosunek \(1:2:3\), a wymagany \(2:3:4\) - **różne** | Boki wyglądają podobnie (też mają \(\sqrt{5}\)), ale stosunek jest inny; uczeń może nie sprawdzić dokładnie proporcji |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Podobieństwo to proporcjonalność **wszystkich trzech** boków jednocześnie - nie wystarczy, że jeden lub dwa boki pasują do proporcji. Zawsze sprawdzaj **wszystkie** ilorazy.

> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B (\(20, 45, 80\)) kusi, bo wygląda jak "pomnożone przez większą liczbę". W rzeczywistości \(4:9:16 = 2^2:3^2:4^2\) - to efekt **kwadratowania** boków, nie skalowania. Taki trójkąt **nie** jest podobny.

> ⚠️ **Uwaga:** Aby uprościć obliczenia, zawsze wyciągaj wspólny czynnik z boków i sprowadzaj do najprostszego stosunku (tu: \(2:3:4\)). Potem szukasz odpowiedzi dającej ten sam stosunek.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Stosunki boków
Boki danego trójkąta są w stosunku \(2:3:4\) (współczynnik \(\sqrt{5}\) jest wspólny i skraca się).
Sprawdzamy każdą odpowiedź:
- **A.** \(10:15:20 = 2:3:4\) ✓
- **B.** \(20:45:80 = 4:9:16\) ✗
- **C.** \(\sqrt{2}:\sqrt{3}:\sqrt{4} \approx 1{,}41:1{,}73:2\), stosunek \(\ne 2:3:4\) ✗
- **D.** \(\sqrt{5}:2\sqrt{5}:3\sqrt{5} = 1:2:3\) ✗

Tylko **A** ma ten sam stosunek boków (skala \(k = \tfrac{10}{2\sqrt{5}} = \tfrac{\sqrt{5}}{1}\cdot\tfrac{1}{1} = \sqrt{5}\) - każdy bok pomnożony przez \(\sqrt{5}\)).

### Sposób 2 - Cecha podobieństwa BBB
Dwa trójkąty są podobne, gdy ich boki są proporcjonalne (cecha bok-bok-bok). Wystarczy sprawdzić, czy \(\tfrac{a'}{a} = \tfrac{b'}{b} = \tfrac{c'}{c}\).
- **A.** \(\tfrac{10}{2\sqrt{5}} = \sqrt{5}\), \(\tfrac{15}{3\sqrt{5}} = \sqrt{5}\), \(\tfrac{20}{4\sqrt{5}} = \sqrt{5}\) - wszystkie równe ✓

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B.** Boki są w stosunku \(4:9:16\) (kwadraty \(2,3,4\)). Ktoś pomnożył zamiast zachować proporcje.
- **C.** Ktoś wziął pierwiastki z liczb \(2, 3, 4\) - stosunek jest zupełnie inny.
- **D.** Trójkąt w stosunku \(1:2:3\); takich trójkątów nawet nie istnieje geometrycznie (nierówność trójkąta: \(1+2 = 3\) - trójkąt zdegenerowany!).

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1: Użycie podobieństwa trójkątów
Ten trójkąt jest podobny do trójkąta o bokach 10, 15, 20. Podobieństwo trójkątów oznacza, że odpowiadające sobie kąty są równe, a stosunek długości boków jest stały. Zatem możemy zapisać:

* 2/5 = 10/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 2, 5, x)
* 3/5 = 15/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 3, 5, x)
* 4/5 = 20/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 4, 5, x)

Rozwiązując każdą z tych równań, otrzymujemy:

* 2x = 50 => x = 25
* 3x = 75 => x = 25
* 4x = 100 => x = 25

Zatem trójkąt o bokach 2, 5, 25 jest podobny do trójkąta o bokach 10, 15, 20.

📖 Karta wzorów: \[Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r\] , strona 4

### Sposób 2: Użycie proporcji i wzoru na pole trójkąta
Zauważamy, że trójkąt o bokach 2, 5, 4,5 jest podobny do trójkąta o bokach 10, 15, 20. Zatem stosunek długości boków jest równy:

2/5 = 10/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 2, 5, x)
3/5 = 15/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 3, 5, x)
4/5 = 20/x (gdzie x to długość trzeciego boku w trójkącie o bokach 4, 5, x)

Rozwiązując każdą z tych równań, otrzymujemy:

* 2x = 50 => x = 25
* 3x = 75 => x = 25
* 4x = 100 => x = 25

Zatem trójkąt o bokach 2, 5, 25 jest podobny do trójkąta o bokach 10, 15, 20.

📖 Karta wzorów: \[Pole trójk: P=ah/2=ab·sinγ/2=√(p(p-a)(p-b)(p-c))\] , strona 15

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **B. 20, 45, 80:** W tym przypadku stosunek długości boków nie jest równy 2/5, 3/5, 4/5. Trójkąt o bokach 20, 45, 80 nie jest podobny do danego trójkąta.
* **C. √2, √3, √4:** Długości boków są wyrażone pierwiastkami z liczb, a nie liczbami całkowitymi. Ponadto, stosunek długości boków nie jest równy 2/5, 3/5, 4/5.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/15)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F15)

## Podobne zadania

- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Miara kąta wewnętrznego n- kąta foremnego jest o ° 2 mniejsza od miary kąta wewnętrznego ( ) 2 n - kąta foremnego. Oblicz n. Odpowiedź: MMA_1R
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/18) — Zadanie 18. (0-3) W czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o polu 48 cm2 przekątna 𝐴𝐶 ma długość 8 cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty: 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 (zobacz rysunek). Wysokość tró
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu. Odpowiedź: Podsta
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 2 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jes

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_