# Matematyka — zadanie 16 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/16 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 16. (0-1) Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek 111 α β ° . Wynika stąd, że A. 74 α = ° B. 76 α = ° C. 70 α = ° D. 72 α = ° Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L, M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KML (zobacz rysunek), których miary α i β spełniają warunek α + β = 111°. Wynika stąd, że A. α = 74°; B. α = 76°; C. α = 70°; D. α = 72°. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A - \(\alpha = 74^\circ\) ## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym **Kluczowe spostrzeżenie:** Oba kąty opierają się na tym samym łuku \(KL\). - \(\alpha = \angle KSL\) - to **kąt środkowy** (wierzchołek w środku okręgu \(S\)) - \(\beta = \angle KML\) - to **kąt wpisany** (wierzchołek \(M\) leży na okręgu) Z twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku: \[\alpha = 2\beta\] (Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.) **Podstawiamy do warunku z zadania:** \[\alpha + \beta = 111^\circ\] \[2\beta + \beta = 111^\circ\] \[3\beta = 111^\circ\] \[\beta = 37^\circ\] **Wyznaczamy \(\alpha\):** \[\alpha = 2\beta = 2 \cdot 37^\circ = \boxed{74^\circ}\] ## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie Sprawdzamy, czy odpowiedź \(\alpha = 74^\circ\) jest spójna z warunkiem zadania. Jeśli \(\alpha = 74^\circ\), to z zależności \(\alpha = 2\beta\): \[\beta = \frac{\alpha}{2} = \frac{74^\circ}{2} = 37^\circ\] Sprawdzamy warunek: \[\alpha + \beta = 74^\circ + 37^\circ = 111^\circ \checkmark\] Warunek jest spełniony - odpowiedź A jest poprawna. ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym: > Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Oznacza to: \[\angle\text{środkowy} = 2 \cdot \angle\text{wpisany}\] To jest najważniejszy wzór użyty w tym zadaniu. Znajdziesz go w sekcji o kole, przy opisie kątów wpisanych. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi | | B | Przyjęto \(\beta = 2\alpha\) (zamiana ról kąta środkowego i wpisanego). Wtedy \(\alpha + 2\alpha = 111^\circ\), \(\alpha = 37^\circ\) - to jest \(\beta\), nie \(\alpha\) | | C | Błędnie założono \(\alpha = \beta\) (kąty równe), wtedy \(2\alpha = 111^\circ\), \(\alpha = 55{,}5^\circ\) - nie wychodzi okrągła liczba, więc uczeń "zaokrągla" do 70° | | D | Podobny błąd jak w C - zgadywanie zamiast stosowania twierdzenia. Różnica \(\alpha - \beta = 2 \cdot 37° - 37° = 37°\), nie 35° | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zamiana: kąt wpisany = 2 × środkowy (odwrotnie). Zapamiętaj: środkowy jest WIĘKSZY, bo bliżej centrum. > ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie działa tylko wtedy, gdy oba kąty opierają się na tym **samym łuku** i wierzchołek kąta wpisanego leży po **tej samej stronie cięciwy** co środek - sprawdź rysunek w zadaniu! > ⚠️ **Uwaga:** \(\alpha + \beta = 111^\circ\) to nie jest suma kątów trójkąta ani inna standardowa zależność - nie stosuj tu wzorów z trójkąta. Jedyna zależność to \(\alpha = 2\beta\) z twierdzenia o kącie środkowym. **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1 - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym Kąt \(\alpha = \angle KSL\) to **kąt środkowy** oparty na łuku \(KL\). Kąt \(\beta = \angle KML\) to **kąt wpisany** oparty na tym samym łuku. Twierdzenie (karta wzorów, Planimetria): kąt środkowy = 2 × kąt wpisany oparty na tym samym łuku: \[\alpha = 2\beta.\] Podstawiamy do warunku \(\alpha + \beta = 111^\circ\): \[2\beta + \beta = 111^\circ \Rightarrow 3\beta = 111^\circ \Rightarrow \beta = 37^\circ\] \[\alpha = 2\cdot 37^\circ = 74^\circ.\] ### Sposób 2 - Sprawdzenie wariantów Z zależności \(\alpha = 2\beta\) mamy \(\alpha + \tfrac{\alpha}{2} = 111^\circ\), czyli \(\tfrac{3\alpha}{2} = 111^\circ\), stąd \(\alpha = 74^\circ\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **B. \(76^\circ\)** - ktoś źle obliczył \(\tfrac{2}{3}\cdot 111^\circ\) - trochę w górę. - **C. \(70^\circ\)** - ktoś podzielił \(111^\circ - 35^\circ\) z niepoprawnym \(\beta\). - **D. \(72^\circ\)** - jeśli ktoś przyjmie \(\alpha = \beta\) i podzieli \(111:2 \approx 55{,}5\) trudno zrekonstruować, ale to błąd pomijający relację \(\alpha = 2\beta\). **Kluczowa zasada:** kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest **dwukrotnie większy** od kąta wpisanego. **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1: Użycie kątów wpisanych i środkowych 1. **Zrozumienie relacji między kątami:** Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego, który opiera się na tym samym łuku. 2. **Kąt KSL:** Kąt KSL jest kątem wpisanym, który opiera się na łuku KL. Zatem, ⱼKSL = 1/2 * (kąt środkowy oparty na tym samym łuku, np. kąt SOK) 3. **Kąt KML:** Kąt KML jest kątem wpisanym opartym na łuku KL. Zatem, ⱼKML = 1/2 * (kąt środkowy oparty na tym samym łuku, np. kąt MOL) 4. **Wyznaczenie miary kąta środkowego:** Mamy \( \alpha + \beta = 111^{\circ} \). Ponieważ \( \alpha \) i \( \beta \) to miary kątów wpisanych opartych na tym samym łuku, to kąt środkowy oparty na tym samym łuku musi mieć miarę \( \alpha + \beta = 111^{\circ} \). 5. **Wyznaczenie miary kąta KSL:** Kąt KSL to kąt wpisany, który jest połową kąta środkowego. Zatem \( \alpha = \frac{1}{2} * 111^{\circ} = 55.5^{\circ} \). 6. **Wyznaczenie miary kąta KML:** Podobnie, \( \beta = \frac{1}{2} * 111^{\circ} = 55.5^{\circ} \). 7. **Wybór odpowiedzi:** Zatem, \( \alpha = 55.5^{\circ} \), a \( \beta = 55.5^{\circ} \) 📖 Karta wzorów: s.13, strona 13 (Relacja między kątami wpisanymi i środkowymi) ### Sposób 2: Użycie własności kątów przyległych 1. **Zrozumienie własności kątów przyległych:** Kąty przyległe sumują się do 180 stopni. 2. **Wyznaczenie kąta KSM:** Kąt KSM jest przyległy do kąta KSL, więc \( \angle KSM = 180^{\circ} - \alpha \). 3. **Wyznaczenie kąta LSM:** Kąt LSM jest przyległy do kąta KML, więc \( \angle LSM = 180^{\circ} - \beta \). 4. **Wyznaczenie kąta KLM:** Kąt KLM to kąt wpisany oparty na łuku KL. 5. **Wyznaczenie kąta SML:** Kąt SML to kąt wpisany oparty na łuku KL. 6. **Wyznaczenie kąta KSM i LSM:** Mamy \( \alpha + \beta = 111^{\circ} \). Zatem \( \angle KSM = 180^{\circ} - 111^{\circ} = 69^{\circ} \) oraz \( \angle LSM = 180^{\circ} - 111^{\circ} = 69^{\circ} \). 7. **Wyznaczenie miary kąta KSL:** Kąt KSL to kąt wpisany, który jest połową kąta środkowego. Zatem \( \alpha = 69^{\circ} \). 8. **Wyznaczenie miary kąta KML:** Podobnie, \( \beta = 69^{\circ} \). 9. **Wybór odpowiedzi:** Zatem, \( \alpha = 69^{\circ} \), a \( \beta = 69^{\circ} \) 📖 Karta wzorów: s.13, strona 13 (Relacja między kątami wpisanych i środkowymi) ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **B. \(\alpha = 76^{\circ}\):** Wynika to z błędnego obliczenia kątów środkowych. * **C. \(\alpha = 70^{\circ}\):** Wynika to z błędnego obliczenia kątów środkowych. * **D. \(\alpha = 72^{\circ}\):** Wynika to z błędnego obliczenia kątów środkowych. W obu sposobach, kąt środkowy oparty na łuku KL ma miarę 111 stopni, a kąty wpisane KSL i KML mają miary 55.5 stopni każda. Odpowiedź A jest poprawna, ponieważ miary kątów wpisanych i środkowych są równoważne. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** A _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/16) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F16) ## Podobne zadania - [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/12) — Zadanie 12. (0-1) Bok 𝐴𝐷 równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma długość 6, a przekątna 𝐵𝐷 prostopadła do tego boku ma długość 8 (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właści - [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/16) — Zadanie 16. (0-1) Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 oraz 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑆. Odcinek 𝐵𝐷 jest średnicą tego okręgu oraz |∡𝐴𝐵𝐷| = 18°. Punkt 𝐷 leży na krótszym łu - [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/18) — Zadanie 18. (0-1) Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 oraz 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑆. Odcinek 𝐵𝐷 jest średnicą tego okręgu oraz |∡𝐴𝐵𝐷| = 18°. Punkt 𝐷 leży na krótszym łu - [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/18) — Zadanie 18. (0-1) Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 oraz 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂. Punkt 𝐵 leży na krótszym łuku 𝐴𝐶. Kąt 𝐶𝐷𝐴 ma miarę 50°, a kąt 𝐶𝑂𝐵 ma miarę 30° (zob _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_