# Matematyka — zadanie 17

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/17
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Planimetria

## Treść

Zadanie 17. (0-1)
Dany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości KL
a
, MN
b
,
a > b . Kąt KLM ma miarę
°
60 . Długość ramienia LM tego trapezu jest równa
A.
b
a -
B.
(
)
b
a -
2
C.
b
a
2
1
D.
2
b
a +
Dany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości |KL| = a, |MN| = b, a > b. Kąt KLM ma miarę 60°. Długość ramienia LM tego trapezu jest równa A. a-b; B. 2(a-b); C. a + 1/2b; D. a+b/2.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B - \(2(a-b)\)

## Sposób 1 - Trójkąt prostokątny z rzutu na podstawę

**Rysunek sytuacyjny.** Trapez prostokątny KLMN: podstawa \(KL = a\) (dolna), \(MN = b\) (górna), kąt prosty przy \(N\) (ramię \(KN \perp KL\)). Szukamy długości ramienia \(LM\).

**Krok 1 - opuszczamy prostopadłą z M na KL.**

Niech \(P\) będzie stopą prostopadłej z \(M\) na prostą \(KL\). Ponieważ \(MN \parallel KL\) i \(|MN| = b\), punkt \(P\) leży między \(K\) a \(L\), w odległości \(b\) od \(K\). Stąd:

\[|LP| = |KL| - |KP| = a - b\]

**Krok 2 - kąt w trójkącie prostokątnym LPM.**

Trójkąt \(LPM\) jest prostokątny (kąt prosty przy \(P\), bo \(MP \perp KL\)). Kąt przy \(L\) to właśnie \(\angle KLM = 60°\) (K, P, L są współliniowe - P leży między K a L, więc kierunek do P i do K jest ten sam).

\[
\cos 60° = \frac{|LP|}{|LM|} = \frac{a-b}{|LM|}
\]

**Krok 3 - wyznaczamy \(|LM|\).**

\[
\frac{1}{2} = \frac{a-b}{|LM|}
\]

\[
\boxed{|LM| = 2(a-b)}
\]

## Sposób 2 - Weryfikacja przez wysokość trapezu

Sprawdzamy spójność: wyznaczamy wysokość \(h\) i kontrolujemy, czy układ jest geometrycznie poprawny.

Z trójkąta prostokątnego \(LPM\), kąt przy \(P = 90°\), kąt przy \(L = 60°\):

\[
h = |MP| = |LM| \cdot \sin 60° = 2(a-b) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = (a-b)\sqrt{3}
\]

Sprawdzenie twierdzeniem Pitagorasa:

\[
|LM|^2 = |LP|^2 + |MP|^2 = (a-b)^2 + 3(a-b)^2 = 4(a-b)^2
\]

\[
|LM| = 2(a-b) \checkmark
\]

Wynik zgodny - odpowiedź **B** jest poprawna.

## Wzory z karty CKE

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja cosinusa w trójkącie prostokątnym:

\[\cos\alpha = \frac{\text{przyprostokątna przyległa}}{\text{przeciwprostokątna}}\]

W naszym przypadku: \(\cos 60° = \frac{a-b}{|LM|}\), co dało nam \(|LM| = \frac{a-b}{\cos 60°} = \frac{a-b}{\frac{1}{2}} = 2(a-b)\).

Tablica wartości (s. 14): \(\cos 60° = \dfrac{1}{2}\) - wartość kluczowa w tym zadaniu.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A | \(a - b\) - policzono \(\|LP\|\) (rzut na podstawę), ale zapomniano podzielić przez \(\cos 60°\); wzięto rzut zamiast ramienia |
| C | \(a + \frac{1}{2}b\) - błędne dodawanie zamiast odejmowania; mylenie długości podstaw |
| D | \(\frac{a+b}{2}\) - stosowanie wzoru na medianę trapezu zamiast trygonometrii; mediana trapezu nie ma tu związku z \(|LM|\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \(\angle KLM = 60°\) to kąt między **podstawą** a **ramieniem**, nie kąt wewnętrzny trapezu przy górnej podstawie! W trapezach prostokątnych łatwo się pomylić, który kąt jest "przy której podstawie".

> ⚠️ **Uwaga:** W trapezach prostokątnych kąty przy dłuższej podstawie sumują się z kątami przy krótszej do \(180°\) po każdej stronie - przy nodze prostopadłej (tu \(KN\)) mamy \(90°\), a kąt \(\angle KLM = 60°\), więc kąt \(\angle NML = 180° - 60° = 120°\). Nie mylić tych kątów.

> ⚠️ **Uwaga:** \(\cos 60° = \dfrac{1}{2}\), a **nie** \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)! Ten błąd (zamiana \(\sin 60°\) z \(\cos 60°\)) jest jednym z najczęstszych na maturze - dałby \(|LM| = \dfrac{2(a-b)}{\sqrt{3}}\), czyli odpowiedź spoza listy.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny z rzutu M na KL
W trapezie prostokątnym KLMN ramię NK jest prostopadłe do podstaw KL i MN. Rzutuję M na KL, oznaczam rzut jako \(P\). Wtedy:
- \(|KP| = |MN| = b\) (bo NM i KP są równe jako "prostokąt" NMPK)
- \(|PL| = a - b\)
- \(|MP|\) to wysokość trapezu, prostopadła do KL.

Trójkąt \(MPL\) jest prostokątny (kąt prosty przy \(P\)), z kątem \(60^\circ\) przy \(L\).
\[\cos 60^\circ = \tfrac{|PL|}{|ML|} \Rightarrow \tfrac{1}{2} = \tfrac{a-b}{|ML|} \Rightarrow |ML| = 2(a-b).\]

### Sposób 2 - Trójkąt o kątach 30-60-90
W trójkącie \(MPL\) kąty to \(90^\circ\), \(60^\circ\), \(30^\circ\). Stosunek boków:
- naprzeciw \(30^\circ\) → \(|PL| = a-b\) (bok krótszy, leży przy kącie \(60^\circ\))
- naprzeciw \(60^\circ\) → wysokość \(= (a-b)\sqrt{3}\)
- naprzeciw \(90^\circ\) → \(|ML| = 2(a-b)\) (przeciwprostokątna, dwa razy bok naprzeciw \(30^\circ\))

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(a-b\)** - to rzut \(|PL|\), **nie** długość ramienia. Ktoś zignorował kąt \(60^\circ\).
- **C. \(a + \tfrac{1}{2}b\)** - wzór nie ma sensu geometrycznego dla tej figury.
- **D. \(\tfrac{a+b}{2}\)** - to długość linii środkowej trapezu, nie ramienia.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1: Użycie twierdzenia sinusów i funkcji trygonometrycznych

1. **Zauważenie kąta:** Mamy kąt \(KLM = 60^\circ\).
2. **Twierdzenie sinusów:** W trójkącie \(KLM\) mamy:
\[ \frac{LM}{\sin(\angle KLM)} = \frac{KL}{\sin(\angle LMN)} \]
Zatem:
\[ \frac{b}{\sin(60^\circ)} = \frac{a}{\sin(\angle LMN)} \]
\[ \sin(\angle LMN) = \frac{a \cdot \sin(60^\circ)}{b} = \frac{a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{b} = \frac{a\sqrt{3}}{2b} \]
3. **Trójkąt \(KLM\):** Ponieważ \(KLMN\) jest trapezem prostokątnym, \(KL\) jest podstawą, a \(MN\) jest drugą podstawą. Kąt \(KLM\) jest ostry, więc trójkąt \(KLM\) jest trójkątem ostrokątnym.
4. **Wyznaczenie kąta LMN:**
\[ \angle LMN = \arcsin\left(\frac{a\sqrt{3}}{2b}\right) \]
5. **Wyznaczenie kąta KMN:**
\[ \angle KMN = 180^\circ - 60^\circ - \arcsin\left(\frac{a\sqrt{3}}{2b}\right) \]
6. **Wyznaczenie długości MN:**
Ponieważ trapez jest prostokątny, \( \angle K = 90^\circ \). Zatem \( \angle KLM = 60^\circ \) i \( \angle LMN = 30^\circ \).
Wtedy \( \sin(\angle LMN) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \).
Zatem:
\[ \frac{a}{\sin(30^\circ)} = \frac{b}{\sin(60^\circ)} \]
\[ \frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} \]
\[ 2a = \frac{2b}{\sqrt{3}} \]
\[ a = \frac{b}{\sqrt{3}} \]
\[ a \approx 0.577b \]
Z treści zadania \( a > b \), więc to się zgadza.

📖 Karta wzorów: s.15 (Pitagoras), strona 15

### Sposób 2: Użycie twierdzenia Pitagorowego i wzoru na pole trapezu

1. **Twierdzenie Pitagorowe w trójkącie \(KLM\):** Ponieważ \(KL\) jest podstawą i \( \angle K = 90^\circ \), mamy:
\[ LM^2 = KL^2 + KM^2 \]
\[ b^2 = a^2 + KM^2 \]
\[ KM^2 = b^2 - a^2 \]
\[ KM = \sqrt{b^2 - a^2} \]
2. **Wzór na pole trapezu:** Pole trapezu \(KLMN\) jest dane wzorem:
\[ P = \frac{1}{2}(KL + MN) \cdot KM \]
\[ P = \frac{1}{2}(a + b) \cdot \sqrt{b^2 - a^2} \]
3. **Obliczenie pola:** Z treści zadania mamy \( KL = a \) i \( MN = b \), a \( a > b \). Wstawiając to do wzoru na pole, otrzymujemy:
\[ P = \frac{1}{2}(a + b) \cdot \sqrt{b^2 - a^2} \]

📖 Karta wzorów: s.15 (Pitagoras), strona 15

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A:** Odpowiedź ta nie uwzględnia kąta \(60^\circ\) i nie wykorzystuje informacji o tym, że trapez jest prostokątny.
* **C:** Odpowiedź ta nie wykorzystuje żadnych wzorów geometrycznych i nie daje konkretnej wartości dla długości ramienia.
* **D:** Odpowiedź ta nie jest poprawna, ponieważ nie uwzględnia kąta \(60^\circ\) i nie wykorzystuje informacji o tym, że trapez jest prostokątny.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/17)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F17)

## Podobne zadania

- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-podstawowa/zad/7) — Zadanie 7. (5 pkt) Szkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem. Wewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z tr
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-4) W trapezie prostokątnym 𝐴𝐵𝐶𝐷 dłuższa podstawa 𝐴𝐵 ma długość 7,5. Krótsza przekątna 𝐴𝐶 ma długość równą 6 i dzieli trapez na dwa trójkąty prost
- [Zadanie 30](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30) — Zadanie 30. (0-4) W trójkącie ABC dane są długości boków 15 AB i 12 AC = oraz 4 5 cosα = , gdzie BAC α =  . Na bokach AB i AC tego trójkąta obrano punkty odpow
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2021-marzec-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/19) — Zadanie 19. (0-3) Na rysunku przedstawiono kwadrat ABCD o polu 400 cm2. Figurę tę podzielono na kwadrat K1 o polu 49 cm2 i kwadrat K2 oraz figurę F (patrz rysun

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_