# Matematyka — zadanie 18

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/18
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, planimetria

## Treść

Zadanie 18. (0-1)
Punkt
(
)
2, 2
K =
jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM, w którym KM
LM
Odcinek MN jest wysokością trójkąta i
(
)
4, 3
N =
. Zatem
A.
(
)
5, 3
L =
B.
(
)
6, 4
L =
C.
(
)
3, 5
L =
D.
(
)
4, 6
L =
Punkt K=(2,2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM, w którym |KM|=|LM|. Odcinek MN jest wysokością trójkąta i N=(4,3). Zatem A. L=(5,3); B. L=(6,4); C. L=(3,5); D. L=(4,6).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B

\(L = (6, 4)\)

## Sposób 1 - Środek odcinka (własność trójkąta równoramiennego)

**Kluczowe spostrzeżenie:** W trójkącie \(KLM\) mamy \(|KM| = |LM|\), czyli ramiona wychodzą z \(M\). Podstawą trójkąta jest odcinek \(KL\). Punkt \(N\) to stopa wysokości opuszczonej z \(M\) na podstawę \(KL\).

**Dlaczego \(N\) jest środkiem \(KL\)?** Wysokość z wierzchołka \(M\) w trójkącie równoramiennym pada prostopadle na podstawę i **bisekuje ją** - to klasyczna własność symetrii. Zatem:

\[N = \text{środek } KL \implies N = \left(\frac{x_K + x_L}{2},\ \frac{y_K + y_L}{2}\right)\]

Podstawiamy \(K = (2, 2)\) i \(N = (4, 3)\):

\[\frac{2 + x_L}{2} = 4 \implies x_L = 6\]

\[\frac{2 + y_L}{2} = 3 \implies y_L = 4\]

**Zatem \(L = (6, 4)\).**

## Sposób 2 - Odbicie punktu \(K\) względem \(N\)

Skoro \(N\) jest środkiem \(KL\), to \(L\) jest **symetrycznym obrazem \(K\) względem \(N\)**. Wektor przesunięcia z \(K\) do \(N\):

\[\vec{KN} = [4-2,\ 3-2] = [2,\ 1]\]

Punkt \(L\) leży dokładnie tyle samo „dalej" za \(N\):

\[L = N + \vec{KN} = (4+2,\ 3+1) = (6,\ 4)\]

**Weryfikacja:** Środek odcinka \(KL\):
\[\left(\frac{2+6}{2},\ \frac{2+4}{2}\right) = (4,\ 3) = N\ \checkmark\]

Wysokość \(MN\) jest prostopadła do \(KL\). Kierunek \(KL\): \([4, 2]\), nachylenie \(\frac{1}{2}\). Nachylenie \(MN\) musi być \(-2\). To jest spełnione dla dowolnego punktu \(M\) na prostej \(y = -2x + 11\) przechodzącej przez \(N\). ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na środek odcinka:
\[x_S = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_S = \frac{y_A + y_B}{2}\]
Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach - wiedząc, że \(N\) jest środkiem \(KL\), wyznaczamy \(L\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| **A** \((5,3)\) | Błędne zastosowanie wzoru na środek: np. \(x_L = N_x + \frac{N_x - K_x}{2} = 4 + 1 = 5\) zamiast \(2N_x - K_x = 6\). Uczeń dodaje tylko połowę odległości zamiast całej. |
| **C** \((3,5)\) | Zamiana osi - obliczono prawidłowo, ale zamieniono współrzędne \(x\) i \(y\) miejscami: \((6, 4) \to (4, 6)\) albo błędna interpretacja, że \(K\) odbijamy względem punktu z zamienionymi składowymi. |
| **D** \((4,6)\) | Zamiana składowych wektora przesunięcia: uczeń liczy \(\vec{KN} = [2, 1]\), ale stosuje go jako \([1, 2]\), więc \(L = (4+0, 2+4) = (4, 6)\). |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, które boki są równe - tu \(|KM| = |LM|\), więc to \(M\) jest wierzchołkiem między ramionami, a podstawą jest \(KL\). Gdyby zamiast tego \(|KL| = |KM|\), sytuacja byłaby zupełnie inna.

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na środek odcinka rozwiązujemy w odwrotnym kierunku - znamy środek \(N\) i jeden koniec \(K\), szukamy drugiego końca \(L\). Tu używamy: \(x_L = 2x_N - x_K\), nie \(x_N = \frac{x_K + x_L}{2}\) (choć to ten sam wzór, tylko przestawiony).

> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość w trójkącie równoramiennym bisekuje podstawę tylko gdy wysokość jest opuszczona z wierzchołka między ramionami (tu \(M\)). Nie należy tej własności stosować do innych wierzchołków.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Wysokość = środkowa w trójkącie równoramiennym
W trójkącie równoramiennym z \(|KM| = |LM|\) wysokość z wierzchołka \(M\) jest równocześnie **środkową** do boku \(KL\). Zatem \(N\) jest środkiem odcinka \(KL\):
\[N = \left(\tfrac{x_K+x_L}{2}, \tfrac{y_K+y_L}{2}\right).\]
Podstawiamy:
\[\tfrac{2+x_L}{2} = 4 \Rightarrow x_L = 6\]
\[\tfrac{2+y_L}{2} = 3 \Rightarrow y_L = 4\]
Stąd \(L = (6, 4)\).

### Sposób 2 - Wektor KN i jego podwojenie
\(L\) jest symetryczny do \(K\) względem \(N\). Wektor \(\vec{KN} = N - K = (4-2, 3-2) = (2, 1)\).
\(L = N + \vec{KN} = (4+2, 3+1) = (6, 4)\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \((5,3)\)** - ktoś dodał tylko różnicę \(x\)-ową, zapomniał podwoić.
- **C. \((3,5)\)** - zamiana współrzędnych \(x\) i \(y\).
- **D. \((4,6)\)** - ktoś podstawił \(N\) jako \(L\) lub zamienił osie.

**Kluczowe:** w trójkącie równoramiennym wysokość z wierzchołka symetrii jest też osią symetrii, środkową i dwusieczną - wszystko naraz.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1: Użycie Twierdzenia o Występnym Wzroście i Twierdzenia Pitagorowego

1. **Zrozumienie zadania:** Mamy trójkąt równoramienny KLM, gdzie KM = LM. MN jest wysokością opuszczoną z wierzchołka M na podstawę KL. Wiemy, że KM = LM i |KM| = |LM| = 6. Mamy również współrzędne punktu N (4, 3).

2. **Znalezienie współrzędnych punktu L:** Ponieważ MN jest wysokością, to MN jest prostopadła do KL. Punkt N dzieli KL na odcinki takie, że |KN| = |LN|. Ponieważ |KM| = 6, a K = (2, 2) i N = (4, 3), obliczmy długość KN:
\[KN = \sqrt{(4-2)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\]
Zatem |LN| = \(\sqrt{5}\). Ponieważ L leży na prostej KL, a N jest punktem na KL, to współrzędne L są takie, że |LN| = \(\sqrt{5}\). Zauważmy, że L leży na prostej łączącej K i N. Możemy znaleźć współrzędne L, korzystając z twierdzenia o trzech prostych. L leży na prostej KL i na prostej łączącej K i N. Współrzędne L to (6, 4).

3. **Zastosowanie Twierdzenia o Występnym Wzroście:** Ponieważ MN jest wysokością trójkąta równoramiennego, to MN dzieli KL na odcinki takie, że |KN| = |LN|. Zatem, |KN| = \(\sqrt{5}\) i |LN| = \(\sqrt{5}\).

4. **Zastosowanie Twierdzenia Pitagorowego:** W trójkącie MKL, MN jest wysokością, a KL jest podstawą. Możemy obliczyć długość KM:
\[KM^2 = KL^2 + LM^2 - 2 * KL * LM * cos(\angle KLM)\]
Ponieważ KM = LM, to:
\[KM^2 = KL^2 + KM^2 - 2 * KL * KM * cos(\angle KLM)\]
\[0 = KL^2 - 2 * KL * KM * cos(\angle KLM)\]
\[2 * KL * KM * cos(\angle KLM) = KL^2\]
\[cos(\angle KLM) = \frac{2 * KL}{KL * KM} = \frac{2}{KM}\]

5. **Wzory z karty wzorów:**
* Twierdzenie Pitagorowe: \(a² + b² = c²\), strona 15
* Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4

### Sposób 2: Wykorzystanie Odległości i Współrzędnych

1. **Znalezienie współrzędnych punktu L:** Znamy współrzędne K(2, 2) i N(4, 3). Wiemy, że |KN| = \(\sqrt{5}\). Ponieważ KL jest podstawą trójkąta równoramiennego, a N jest jej środkiem, to współrzędne L będą takie, że |LN| = \(\sqrt{5}\). Zauważmy, że L leży na prostej łączącej K i N. Możemy znaleźć współrzędne L, korzystając z twierdzenia o trzech prostych. L leży na prostej KL i na prostej łączącej K i N. Współrzędne L to (6, 4).

2. **Sprawdzenie warunków trójkąta równoramiennego:** Sprawdźmy, czy trójkąt KLM jest równoramienny, tzn. czy KM = LM. Obliczamy odległości KM i LM:
\[KM = \sqrt{(6-2)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]
\[LM = \sqrt{(6-2)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]
Zatem KM = LM, co potwierdza, że trójkąt KLM jest trójkątem równoramiennym.

3. **Wzory z karty wzorów:**
* Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. L = (5, 3):** Sprawdźmy, czy |KN| = \(\sqrt{(5-2)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}\), co nie jest równe \(\sqrt{5}\).
* **C. L = (3, 5):** Sprawdźmy, czy |KN| = \(\sqrt{(3-2)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}\), co nie jest równe \(\sqrt{5}\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/18)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F18)

## Podobne zadania

- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (7 pkt) Środek okręgu przechodzącego przez punkty ( ) 1, 4 A = i ( ) 6, 3 B = - leży na osi Ox. a) Wyznacz równanie tego okręgu. b) Wyznacz równanie 
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Prosta 𝑘 o równaniu 𝑥+ 𝑦-9 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 1 4 𝑥2 -3 2 𝑥+ 1 4 w punktach 𝐴 oraz 𝐵. Pierwsza współrzędna punktu 𝐴 jest licz
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (6 pkt) Punkt ( 2,5) A = - jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego , ABC w którym AC BC Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC jest zaw
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-5) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-4, -2) i 𝐵= (-2, 10) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzcho

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_