# Matematyka — zadanie 19

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/19
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 19. (0-1)
Proste o równaniach
(
)
2
3
y
m
x
+ oraz
(
)
2
1
3
y
m
x
- są równoległe, gdy
A.
2
m =
B.
3
m =
C.
0
m =
D.
1
m =
S
K
L
M
L
K
M
N
a
b

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Proste o równaniach y = (m+2)x + 3 oraz y = (2m-1)x-3 są równoległe, gdy A. m=2; B. m=3; C. m=0; D. m=1.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B (m = 3)

## Sposób 1 - Warunek równoległości prostych (równe współczynniki kierunkowe)

Dwie proste w postaci \(y = ax + b\) są **równoległe**, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** i **różne wyrazy wolne**.

Współczynniki kierunkowe obu prostych:
- Prosta 1: \(y = (m+2)x + 3\) → współczynnik kierunkowy \(a_1 = m+2\)
- Prosta 2: \(y = (2m-1)x - 3\) → współczynnik kierunkowy \(a_2 = 2m-1\)

**Warunek równoległości:**
\[a_1 = a_2\]
\[m + 2 = 2m - 1\]
\[2 + 1 = 2m - m\]
\[3 = m\]

**Sprawdzamy, czy proste nie są tożsame** (bo tożsame to nie równoległe!):

Dla \(m = 3\): wyraz wolny pierwszej prostej to \(3\), drugiej to \(-3\). Ponieważ \(3 \neq -3\), proste są **równoległe, ale nie tożsame**. ✓

**Odpowiedź: \(m = 3\)**

## Sposób 2 - Weryfikacja podstawieniem

Dla \(m = 3\) obie proste mają postać:
\[y = (3+2)x + 3 = 5x + 3\]
\[y = (2\cdot3-1)x - 3 = 5x - 3\]

Obie mają współczynnik kierunkowy \(5\), ale różne wyrazy wolne (\(3\) i \(-3\)).

Dla pewności sprawdzamy, że przy żadnej innej odpowiedzi warunek nie jest spełniony:

| \(m\) | \(a_1 = m+2\) | \(a_2 = 2m-1\) | Równoległe? |
| \(m=2\) | \(4\) | \(3\) | ✗ |
| **\(m=3\)** | **\(5\)** | **\(5\)** | **✓** |
| \(m=0\) | \(2\) | \(-1\) | ✗ |
| \(m=1\) | \(3\) | \(1\) | ✗ |

Jedyna poprawna odpowiedź to \(m = 3\). ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:
\[y = a_1 x + b_1 \parallel y = a_2 x + b_2 \iff a_1 = a_2 \text{ i } b_1 \neq b_2\]

Użyliśmy tego warunku, żeby postawić równanie \(m+2 = 2m-1\) i go rozwiązać.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A (\(m=2\)) | Może wynikać z pomylenia wzoru: ktoś przyrównał \(m\) z \(m+2\) (bez stałej) - błędne ustawienie równania |
| C (\(m=0\)) | Może wynikać z przyrównania wyrazów wolnych zamiast współczynników kierunkowych: \(3 + (-3) = 0\) - ale to nie jest warunek równoległości! |
| D (\(m=1\)) | Może wynikać z błędu rachunkowego: np. \(m+2 = 2m-1 \Rightarrow 2 = m-1 \Rightarrow m = 3\) zapisano jako \(m=1\) przez odejmowanie zamiast dodawania |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Proste równoległe to NIE to samo co proste tożsame (identyczne). Zawsze sprawdź, czy wyrazy wolne są różne - gdy \(b_1 = b_2\) przy równych współczynnikach kierunkowych, proste nakładają się na siebie i nie są równoległe w sensie geometrycznym.

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić warunek równoległości z warunkiem prostopadłości. Równoległość: \(a_1 = a_2\). Prostopadłość: \(a_1 \cdot a_2 = -1\). To dwa różne warunki!

> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \(m+2 = 2m-1\) rozwiązuj ostrożnie - przenosząc \(m\) na jedną stronę, a liczby na drugą. Częsty błąd: zgubienie znaku przy przeniesieniu \(-1\) na lewą stronę.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Warunek równoległości
Proste \(y = a_1x + b_1\) i \(y = a_2x + b_2\) są równoległe \(\iff a_1 = a_2\) oraz \(b_1 \ne b_2\) (inaczej to ta sama prosta).
\[m + 2 = 2m - 1\]
\[3 = m\]
Sprawdzamy wyrazy wolne: \(b_1 = 3\), \(b_2 = -3\) - różne, więc proste są **różne i równoległe** ✓.

### Sposób 2 - Sprawdzanie wariantów
Dla każdego \(m\) liczymy współczynniki kierunkowe:
- \(m=2\): \(a_1 = 4\), \(a_2 = 3\) - nie równe.
- \(m=3\): \(a_1 = 5\), \(a_2 = 5\) ✓
- \(m=0\): \(a_1 = 2\), \(a_2 = -1\) - nie.
- \(m=1\): \(a_1 = 3\), \(a_2 = 1\) - nie.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(m=2\)** - ktoś pomylił równoległość z czymś innym albo źle rozwiązał równanie.
- **C. \(m=0\)** - ktoś przyjął, że wyrazy wolne mają być zerowe lub nic niestosownego.
- **D. \(m=1\)** - typowy błąd rachunkowy: \(m+2 = 2m-1 \Rightarrow m = 1\) zamiast \(m=3\).

**Uwaga:** gdyby wyrazy wolne były równe, proste byłyby identyczne, nie równoległe. W tym zadaniu \(3\ne -3\), więc warunek rozdzielności jest automatycznie spełniony.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1: Porównanie współczynników pionowych
Aby dwie proste były równoległe, muszą mieć ten sam współczynnik pionowy (współczynnik przy x) oraz tę samą wyraz wolny (stałą).

1. **Zapisanie równań w postaci kierunkowej:**
Równanie prostej y = (m + 2)x + 3 można zapisać jako y = mx + 2x + 3.
Równanie prostej y = (2m - 1)x - 3 można zapisać jako y = 2mx - x - 3.

2. **Porównanie współczynników pionowych:**
Współczynnik pionowy pierwszej prostej to m + 2.
Współczynnik pionowy drugiej prostej to 2m - 1.
Dla równoległości, m + 2 = 2m - 1.

3. **Rozwiązanie równania:**
m + 2 = 2m - 1
2 + 1 = 2m - m
3 = m

4. **Sprawdzenie wyrazu wolnego:**
Wyraz wolny pierwszej prostej to 3.
Wyraz wolny drugiej prostej to -3.
Współczynnik pionowy musi być równy, a wyraz wolny musi być równy, aby proste były równoległe. W tym przypadku m=3, więc proste są równoległe.

📖 Karta wzorów: Logarytmy, strona 1

### Sposób 2: Użycie warunku równoległości
Dwie proste są równoległe, jeśli mają ten sam współczynnik kierunkowy. Współczynnik kierunkowy prostej y = ax + b jest równy a.

1. **Zapisanie równań w postaci ogólnej:**
y = (m + 2)x + 3 => y = mx + 2x + 3
y = (2m - 1)x - 3 => y = 2mx - x - 3

2. **Porównanie współczynników:**
Współczynnik przy x w obu równaniach to m+2 oraz 2m-1.
Dla równoległości, m+2 = 2m-1.

3. **Rozwiązanie równania:**
m+2 = 2m-1
m = 3

4. **Weryfikacja:**
Proste są równoległe, gdy m=3.

📖 Karta wzorów: Wzory skrócone, strona 7

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **A:** Ta odpowiedź sugeruje porównanie wyrazów wolnych, co jest błędne. Równoległe proste muszą mieć ten sam współczynnik pionowy.
* **C:** Ta odpowiedź używa m=0, co jest nieprawidłowe. Współczynnik pionowy zależy od wartości m.
* **D:** Ta odpowiedź nie zawiera żadnego uzasadnienia i jest bezsensowna.

**Uwaga:** W tym zadaniu kluczowe jest zrozumienie, że równoległe proste mają ten sam współczynnik pionowy (współczynnik przy x). Wyraz wolny może być różny.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/19)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F19)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (3 pkt) Dany jest wektor [ ] 4,3 → AB oraz punkt ( ) 2 ,1 - A Oblicz: a) współrzędne punktu B , b) współrzędne i długość wektora → → ⋅ AB v 2 2 Arkus
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach   2 ,2   A i   10 ,2  B Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. 28. 29. Mak
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy A. 
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, -4) oraz 𝐵= (2, 𝑦𝐵) leżą na prostej 𝑙. Współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 3. Liczba 𝑦

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_