# Matematyka — zadanie 20 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/20 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Stereometria ## Treść Zadanie 20. (0-1) Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek). Kąt α , jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek A. ° = 45 α B. ° < < ° 60 45 α C. ° > 60 α D. ° = 60 α Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź NS, a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek). Kąt α, jaki tworzą krawędzie KS i MS, spełnia warunek A. α = 45°; B. 45° < α < 60°; C. α > 60°; D. α = 60°. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: D - \(\alpha = 60°\) ## Sposób 1 - Wektory i iloczyn skalarny **Ustawiamy układ współrzędnych.** Skoro \(NS\) jest wysokością ostrosłupa, oznacza to, że \(NS \perp\) płaszczyzna podstawy i \(N\) jest rzutem wierzchołka \(S\) na podstawę. Przyjmijmy: \[N = (0, 0, 0), \quad K = (4, 0, 0), \quad L = (4, 4, 0), \quad M = (0, 4, 0)\] \[S = (0, 0, 4) \quad \text{(bo } |NS| = 4 \text{ i } NS \perp \text{ podstawa)}\] **Obliczamy wektory** \(\overrightarrow{SK}\) i \(\overrightarrow{SM}\): \[\overrightarrow{SK} = K - S = (4, 0, 0) - (0, 0, 4) = [4, 0, -4]\] \[\overrightarrow{SM} = M - S = (0, 4, 0) - (0, 0, 4) = [0, 4, -4]\] **Iloczyn skalarny:** \[\overrightarrow{SK} \cdot \overrightarrow{SM} = 4 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + (-4)(-4) = 16\] **Długości wektorów:** \[|\overrightarrow{SK}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\] \[|\overrightarrow{SM}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\] **Kąt między krawędziami:** \[\cos\alpha = \frac{\overrightarrow{SK} \cdot \overrightarrow{SM}}{|\overrightarrow{SK}| \cdot |\overrightarrow{SM}|} = \frac{16}{4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}\] \[\cos\alpha = \frac{1}{2} \implies \boxed{\alpha = 60°}\] ## Sposób 2 - Trójkąt KSM i twierdzenie cosinusów (a właściwie: trójkąt równoboczny!) Obliczamy długości wszystkich trzech boków trójkąta \(KSM\): **Krawędź \(KS\):** \[|KS| = \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2}\] **Krawędź \(MS\):** \[|MS| = \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2}\] **Przekątna \(KM\)** (przekątna kwadratu o boku \(4\)): \[|KM| = 4\sqrt{2}\] Wszystkie trzy boki trójkąta \(KSM\) mają tę samą długość \(4\sqrt{2}\) - **trójkąt \(KSM\) jest równoboczny!** W trójkącie równobocznym każdy kąt wynosi \(60°\), więc: \[\boxed{\alpha = 60°}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - długość odcinka: \[|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\] Rozszerzone do 3D jako \(|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}\) - użyte do obliczenia \(|KS|\), \(|MS|\), \(|KM|\). **Dział 11 - wektor i iloczyn skalarny (s. 22-25)**: \[\vec{u} = [u_1, u_2], \quad |\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}\] Iloczyn skalarny i wzór na kąt między wektorami - zastosowane w Sposobie 1. **Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - twierdzenie cosinusów (pomocniczo, do weryfikacji): \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha\] Dla trójkąta równobocznego wprost wynika \(\cos\alpha = \frac{1}{2}\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | **A** \(\alpha = 45°\) | Uczeń myli kąt \(\alpha\) z kątem, jaki \(KS\) tworzy z podstawą, lub błędnie oblicza \(\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\) - np. biorąc zły iloczyn skalarny | | **B** \(45° < \alpha < 60°\) | Wynik oszacowania bez dokładnego rachunku - intuicja "kąt jest między 45° a 60°", ale dokładna wartość właśnie wynosi \(60°\) | | **C** \(\alpha > 60°\) | Błąd przy obliczaniu długości \(KM\) - np. wzięcie \(|KM| = 4\) zamiast \(4\sqrt{2}\), co zaburza proporcje trójkąta | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Słowo "wysokością jest krawędź \(NS\)" oznacza, że \(NS \perp\) podstawa - rzut \(S\) na podstawę to właśnie wierzchołek \(N\). Nie jest to ostrosłup "symetryczny" (prawidłowy)! To kluczowe przy ustawianiu współrzędnych. > ⚠️ **Uwaga:** Przekątna kwadratu o boku \(4\) wynosi \(4\sqrt{2}\), nie \(4\). To właśnie sprawia, że trójkąt \(KSM\) jest równoboczny - piękny wynik zadania. > ⚠️ **Uwaga:** Kąt między krawędziami \(KS\) i \(MS\) to kąt przy wierzchołku \(S\) w trójkącie \(KSM\), nie przy \(K\) ani \(M\). Przy wektorowym podejściu oba wektory muszą wychodzić z tego samego punktu - stąd \(\overrightarrow{SK}\) i \(\overrightarrow{SM}\), a nie odwrotnie. **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1 - Trójkąt KMS jest równoboczny Obliczmy długości trzech krawędzi trójkąta \(KMS\): **\(|KM|\)** - przekątna kwadratu o boku \(4\): \[|KM| = 4\sqrt{2}.\] **\(|KS|\)** - w trójkącie \(KNS\) prostokątnym przy \(N\): \(|KN|=4\), \(|NS|=4\): \[|KS| = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}.\] **\(|MS|\)** - w trójkącie \(MNS\) prostokątnym przy \(N\): \(|MN|=4\), \(|NS|=4\): \[|MS| = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt{2}.\] Wszystkie trzy boki równe \(4\sqrt{2}\) → trójkąt \(KMS\) jest **równoboczny**, więc \(\alpha = 60^\circ\). ### Sposób 2 - Układ współrzędnych Przyjmujemy \(N = (0,0,0)\), \(K = (4,0,0)\), \(L = (4,4,0)\), \(M = (0,4,0)\), \(S = (0,0,4)\). \[\vec{SK} = (4, 0, -4), \quad \vec{SM} = (0, 4, -4)\] \[\cos\alpha = \tfrac{\vec{SK}\circ\vec{SM}}{|\vec{SK}||\vec{SM}|} = \tfrac{0+0+16}{\sqrt{32}\cdot\sqrt{32}} = \tfrac{16}{32} = \tfrac{1}{2}.\] \(\alpha = 60^\circ\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(45^\circ\)** - ktoś pomyślał o kącie między krawędzią a podstawą. - **B. \(45 < \alpha < 60\)** - zgadywanie bez obliczeń. - **C. \(\alpha > 60\)** - intuicja "szerokiego rozwarcia" bez policzenia. **Trik:** zawsze szukaj równoboczności lub podobnych konfiguracji - w bryłach osiowo symetrycznych często się pojawiają. **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1: Użycie twierdzenia cosinusów Krok 1: Zbuduj trójkąt KS M. Wiemy, że KLMN to kwadrat o boku 4, a NS to krawędź o długości 4. Wysokość ostrosłupa to NS, więc wysokość ostrosłupa jest równa 4. Zatem KN = LM = 4. Ponadto, KS i MS to krawędzie ostrosłupa. Krok 2: Zastosuj twierdzenie cosinusów do trójkąta KS M: \[KM^2 = KS^2 + MS^2 - 2 \cdot KS \cdot MS \cdot \cos(\alpha)\] Krok 3: Znajdź długość KM. KM to przekątna kwadratu KLMN, więc KM = 4√2. Krok 4: Podstaw wartości do twierdzenia cosinusów: \[(4\sqrt{2})^2 = KS^2 + MS^2 - 2 \cdot KS \cdot MS \cdot \cos(\alpha)\] \[32 = KS^2 + MS^2 - 2 \cdot KS \cdot MS \cdot \cos(\alpha)\] Krok 5: Zauważ, że w ostrosłupie KLMN, kąt przy wierzchołku S jest równy 90 stopni. Wysokość ostrosłupa NS jest wysokością ostrości. Wysokość ostrości tworzy trójkąt prostokątny z każdym z wierzchołków podstawy. Zatem, KS i MS są krawędziami ostrosłupa. Ponieważ NS jest wysokością ostrości, to NS jest wysokością trójkąta KS M. Ponadto, NS = 4. Krok 6: Zauważ, że w trójkącie NSK, NS = 4 i NK = 4. Zatem trójkąt NSK jest trójkątem równoramiennym prostokątnym, gdzie kąt przy wierzchołku K wynosi 90 stopni. Zatem kąt NSK jest równy 90 stopni. Analogicznie, w trójkącie NSM, NS = 4 i NM = 4. Zatem trójkąt NSM jest trójkątem równoramiennym prostokątnym, gdzie kąt przy wierzchołku M wynosi 90 stopni. Zatem kąt NSM jest równy 90 stopni. Krok 7: Ponieważ NSK i NSM są trójkątami prostokątnymi, to kąt α jest kątem między krawędziami KS i MS. Zauważ, że kąt przy wierzchołku S jest kątem α. W trójkącie KS M, mamy: \[32 = KS^2 + MS^2 - 2 \cdot KS \cdot MS \cdot \cos(\alpha)\] Ponieważ KS i MS są krawędziami ostrosłupa, to KS = MS. Zatem: \[32 = 2KS^2 - 2KS^2 \cdot \cos(\alpha)\] \[32 = 2KS^2(1 - \cos(\alpha))\] \[16 = KS^2(1 - \cos(\alpha))\] Krok 8: W trójkącie NSK, NS = 4 i NK = 4, a kąt NSK = 90 stopni. Z twierdzenia Pitagorasa: \[NS^2 + NK^2 = SK^2\] \[4^2 + 4^2 = SK^2\] \[16 + 16 = SK^2\] \[SK^2 = 32\] \[SK = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\] Ponieważ KS = MS, to KS = MS = $4\sqrt{2}$. Zatem: \[16 = (4\sqrt{2})^2(1 - \cos(\alpha))\] \[16 = 32(1 - \cos(\alpha))\] \[\frac{16}{32} = 1 - \cos(\alpha)\] \[\frac{1}{2} = 1 - \cos(\alpha)\] \[\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\] \[\alpha = 60^{\circ}\] 📖 Karta wzorów: Twierdzenie cosinusów (strona 15) ### Sposób 2: Wykorzystanie symetrii i kątów prostych Krok 1: Zauważ, że ostrosłup KLMN jest symetryczny względem osi przechodzącej przez środek kwadratu KLMN i wierzchołek S. Ponieważ NS jest wysokością ostrosłupa, to NS jest wysokością ostrości. Wysokość ostrości dzieli kwadrat KLMN na dwie połowy. Krok 2: Zauważ, że trójkąt NSK jest trójkątem prostokątnym, gdzie NS = 4 i NK = 4. Zatem SK = $\sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$. Krok 3: Podobnie, trójkąt NSM jest trójkątem prostokątnym, gdzie NS = 4 i NM = 4. Zatem SM = $\sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$. Krok 4: Ponieważ KS = SM = $4\sqrt{2}$, a NS = 4, to trójkąty KS N i SM N są trójkątami równoramiennymi prostokątnymi. Kąt α jest kątem między krawędziami KS i MS. Zauważ, że kąt α jest równy 60 stopni. Krok 5: Zauważ, że kąt między krawędziami KS i MS jest równy 60 stopni. Zatem $\alpha = 60^{\circ}$. 📖 Karta wzorów: Twierdzenie cosinusów (strona 15) ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **A. $\alpha = 45^{\circ}$**: Nieprawda. Obliczenia prowadzą do $\alpha = 60^{\circ}$. * **B. $45^{\circ} < \alpha < 60^{\circ}$**: Nieprawda. Obliczenia prowadzą do $\alpha = 60^{\circ}$. * **C. $\alpha > 60^{\circ}$**: Nieprawda. Obliczenia prowadzą do $\alpha = 60^{\circ}$. * **E. $\alpha = 60^{\circ}$**: Prawda. Użycie twierdzenia cosinusów i analizy geometryczna prowadzi do wniosku, że kąt α wynosi 60 stopni. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** D _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/20) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F20) ## Podobne zadania - [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/13) — Zadanie 13. (0-5) Dany jest graniastosłup prosty 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o podstawie prostokątnej 𝐴𝐵𝐶𝐷. Przekątne 𝐴𝐻 i 𝐴𝐹 ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze 𝛼 takiej, że - [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (5 pkt) Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy w - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-4) Dany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 6. Punkt 𝑆 jest punktem przecięcia przekątnych 𝐴𝐻 i 𝐷𝐸 ściany bocznej 𝐴𝐷𝐻𝐸 (zobacz rysunek). Ob - [Zadanie 14](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/14) — Zadanie 14. (0-4) Dany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 6. Punkt 𝑆 jest punktem przecięcia przekątnych 𝐴𝐻 i 𝐷𝐸 ściany bocznej 𝐴𝐷𝐻𝐸 (zobacz rysunek). O _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_