# Matematyka — zadanie 21 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/21 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Stereometria, planimetria ## Treść Zadanie 21. (0-1) Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α , jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy ° 45 (zobacz rysunek). Wysokość graniastosłupa jest równa A. 5 B. 2 3 C. 2 5 D. 5 3 3 Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt α, jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy 45° (zobacz rysunek). Wysokość graniastosłupa jest równa A. 5; B. 3√2; C. 5√2; D. 5√3/3. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A - wysokość wynosi \(5\) ## Sposób 1 - Przekątna podstawy + tangens kąta **Krok 1: Wyznaczamy przekątną podstawy.** Podstawą jest prostokąt o bokach \(3\) i \(4\). Przekątna podstawy (oznaczmy ją \(d\)): \[d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\] **Krok 2: Analizujemy przekątną graniastosłupa.** Przekątna graniastosłupa (nazwijmy ją \(e\)) biegnie od dolnego narożnika do górnego, naprzeciwległego. Tworzy ona trójkąt prostokątny z: - ramię poziome = przekątna podstawy \(d = 5\) - ramię pionowe = wysokość \(h\) - kąt \(\alpha = 45°\) między przekątną a **podstawą** (tzn. między \(e\) a \(d\)) **Krok 3: Korzystamy z tangensa.** \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{h}{d}\] \[\operatorname{tg}45° = \frac{h}{5}\] \[1 = \frac{h}{5}\] \[\boxed{h = 5}\] ## Sposób 2 - Weryfikacja przez długość przekątnej przestrzennej Skoro \(h = 5\) i \(d = 5\), obliczamy długość przekątnej graniastosłupa: \[e = \sqrt{d^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\] Sprawdzamy kąt: \[\cos\alpha = \frac{d}{e} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] Stąd \(\alpha = 45°\) - **zgadza się z warunkiem zadania.** ✓ ## Wzory z karty CKE **Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - graniastosłup prosty: > Własność graniastosłupa prostego: przekątna przestrzenna tworzy trójkąt prostokątny z przekątną podstawy i wysokością bryły. **Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - twierdzenie Pitagorasa: \[a^2 + b^2 = c^2\] Użyliśmy go do wyznaczenia przekątnej prostokąta \(d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\). **Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - tangens kąta: \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{przeciwległa}}{\text{przyległa}} = \frac{h}{d}\] Wartość \(\operatorname{tg}45° = 1\) - dostępna wprost w tabeli wartości. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi | | **B** \(3\sqrt{2}\) | Zamiast przekątnej prostokąta \(\sqrt{3^2+4^2}=5\) użyto błędnie \(\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\) (jakby podstawa była kwadratem \(3\times3\)). Potem \(\operatorname{tg}45°=1\) daje \(h = 3\sqrt{2}\). | | **C** \(5\sqrt{2}\) | Wynik \(5\sqrt{2}\) to **długość przekątnej przestrzennej** \(e\), nie wysokość! Uczeń myli przekątną bryły z szukaną wysokością. | | **D** \(\dfrac{5\sqrt{3}}{3}\) | Pomylono kąt \(45°\) z \(30°\). Dla \(\alpha=30°\) mamy \(\operatorname{tg}30° = \frac{1}{\sqrt{3}}\), skąd \(h = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\). | ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** Kąt \(\alpha\) tworzy przekątna **przestrzenna** z **podstawą** - to znaczy z przekątną podstawy, nie z bokiem prostokąta! Nie bierz samego boku \(3\) ani \(4\) jako "podstawy" trójkąta. > ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt \(3\)-\(4\)-\(5\) to słynna trójka pitagorejska - warto ją rozpoznać od razu. Bez kalkulatora: \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\). > ⚠️ **Uwaga:** Przy \(\operatorname{tg}45° = 1\) wysokość musi być **równa** przekątnej podstawy. To szybki sposób na sprawdzenie: jeśli \(h \neq 5\), coś poszło nie tak. **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1 - Przekątna podstawy + trójkąt prostokątny **Krok 1.** Przekątna prostokąta o bokach \(3\) i \(4\): \[d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.\] **Krok 2.** Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy \(d\) i wysokość \(H\) tworzą trójkąt prostokątny (kąt prosty między wysokością a podstawą). Kąt między przekątną graniastosłupa a podstawą wynosi \(45^\circ\): \[\tan 45^\circ = \tfrac{H}{d} \Rightarrow 1 = \tfrac{H}{5} \Rightarrow H = 5.\] ### Sposób 2 - Trójkąt 45-45-90 Trójkąt prostokątny z kątem \(45^\circ\) to trójkąt równoramienny prostokątny. Przyprostokątne są równe: \(H = d = 5\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **B. \(3\sqrt{2}\)** - ktoś pomylił bok z przekątną (\(3\sqrt{2}\) to przekątna kwadratu o boku 3). - **C. \(5\sqrt{2}\)** - to długość **przekątnej graniastosłupa**, a nie wysokości. - **D. \(\tfrac{5\sqrt{3}}{3}\)** - tak jakby kąt wynosił \(30^\circ\); błędne użycie \(\tan 30^\circ = \tfrac{1}{\sqrt{3}}\). **Kluczowe:** kąt między przekątną bryły a podstawą to kąt ostry w trójkącie prostokątnym wyznaczonym przez przekątną podstawy i wysokość. **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1: Obliczenie przekątnej i wysokości graniastosłupa 1. **Zrozumienie problemu:** Mamy prostokątny graniastosłup, w którym kąt między przekątną a podstawą wynosi 45 stopni. Musimy obliczyć wysokość graniastosłupa. 2. **Obliczenie przekątnej podstawy:** Z twierdzenia Pitagorowego dla prostokąta o bokach 3 i 4, przekątna podstawy (d) wynosi: \[d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\] 3. **Wykorzystanie kąta 45 stopni:** Kąt między przekątną (d) a podstawą (d) jest równy 45 stopni. To oznacza, że trójkąt utworzony przez przekątną, wysokość (h) i połowę przekątnej podstawy jest prostokątny z dwoma kątami po 45 stopni. Zatem, wysokość jest równa połowie przekątnej podstawy: \[h = \frac{d}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\] 📖 Karta wzorów: s.4, strona 3 - Twierdzenie Pitagorowe ### Sposób 2: Użycie trygonometrii 1. **Zrozumienie problemu:** Mamy prostokątny trójkąt, w którym kąt między przekątną a podstawą wynosi 45 stopni. Możemy użyć trygonometrii do obliczenia wysokości. 2. **Wykorzystanie funkcji tangens:** W trójkącie, gdzie przekątna to hipotenusa, a kąt między przekątną a podstawą to 45 stopni, tangens tego kąta jest równy stosunkowi przeciwległej strony (wysokości) do przyprostokątnej (przekątnej podstawy). \[tan(45^\circ) = \frac{h}{d} = \frac{h}{5}\] 3. **Obliczenie wysokości:** Wiemy, że tan(45°) = 1, więc: \[1 = \frac{h}{5} \implies h = 5\] **UWAGA:** W tym rozwiązaniu popełniono błąd. Kąt 45 stopni jest mierzony z przeciwległego boku podstawy, a nie z przekątnej. Poprawna interpretacja kąta i zastosowanie tangensa prowadzi do poprawnego wyniku. 📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 - tgα=sinα/cosα ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **B:** Wysokość graniastosłupa nie jest równa 3. * **C:** Wysokość graniastosłupa nie jest równa 4. * **D:** Wysokość graniastosłupa nie jest równa 5. Wysokość graniastosłupa jest równa 2.5. W pierwszym sposobie, obliczyliśmy przekątną podstawy, a następnie wykorzystując kąt 45 stopni i twierdzenie Pitagorowe, obliczyliśmy wysokość. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/21) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F21) ## Podobne zadania - [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/19) — Zadanie 19. (0-3) Powierzchnia kartonu ma kształt prostokąta o wymiarach 8 cm i 15 cm. W czterech rogach tego kartonu wycięto kwadraty o boku 2,5 cm. Z pozostał - [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/17) — Zadanie 17. (0-2) Na rysunku przedstawiono dwie różne ściany prostopadłościanu. Jedna jest kwadratem o boku 5 cm, a druga - prostokątem o bokach 3 cm i 5 cm. Ob - [Zadanie 14](https://matura.lol/question/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/14) — Zadanie 14. (0-1) Trzy jednakowe sześciany o krawędzi długości 5 ustawiono jeden na drugim i otrzymano prostopadłościan (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybier - [Zadanie 23](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/23) — Tworząca stożka ma długość 6 . Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(60^{\circ}\) . Wysokość tego stożka jest równa A. \(3\) B. \(2\sqrt{3}\) C. \(3\sqrt{3}\) D. _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_