# Matematyka — zadanie 22 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/22 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Stereometria, równania i nierówności ## Treść Objętość tej bryły jest równa /matma-quiz/images/cke/2018-Matematyka-PP/z22.png przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca. r r r Objętość tej bryły jest równa A. \(\tfrac{5}{3}\pi r^3\) B. \(\tfrac{4}{3}\pi r^3\) C. \(\tfrac{2}{3}\pi r^3\) D. \(\tfrac{1}{3}\pi r^3\) ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A - \(\dfrac{5}{3}\pi r^3\) ## Sposób 1 - Suma objętości walca i półkuli Bryła składa się z dwóch części: walca i półkuli. Obliczamy objętość każdej z nich osobno, a następnie dodajemy. **Dane:** wszystkie trzy wymiary są równe \(r\): - promień podstawy walca = \(r\) - wysokość walca = \(r\) - promień półkuli = \(r\) **Objętość walca:** \[V_{\text{walca}} = \pi r^2 h = \pi r^2 \cdot r = \pi r^3\] **Objętość półkuli** (to połowa objętości kuli o promieniu \(r\)): \[V_{\text{półkuli}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3\] **Objętość całej bryły:** \[V = V_{\text{walca}} + V_{\text{półkuli}} = \pi r^3 + \frac{2}{3}\pi r^3\] Sprowadzamy do wspólnego mianownika: \[V = \frac{3}{3}\pi r^3 + \frac{2}{3}\pi r^3 = \boxed{\frac{5}{3}\pi r^3}\] ## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnej wartości Podstawiamy \(r = 1\), żeby sprawdzić, czy wynik daje \(\dfrac{5}{3}\pi\). **Walec** (\(r=1\), \(h=1\)): \[V_{\text{walca}} = \pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \pi\] **Półkula** (\(r=1\)): \[V_{\text{półkuli}} = \frac{2}{3}\pi \cdot 1^3 = \frac{2}{3}\pi\] **Suma:** \[V = \pi + \frac{2}{3}\pi = \frac{3}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi = \frac{5}{3}\pi\] Dla \(r=1\) wynik wynosi \(\frac{5}{3}\pi\), co przy podstawieniu do odpowiedzi A daje \(\frac{5}{3}\pi \cdot 1^3 = \frac{5}{3}\pi\). ✓ Żadna inna odpowiedź nie pasuje: B daje \(\frac{4}{3}\pi\), C daje \(\frac{2}{3}\pi\), D daje \(\frac{1}{3}\pi\). ## Wzory z karty CKE **Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** Objętość walca: \[V_{\text{walca}} = \pi r^2 h\] Użyliśmy z \(h = r\), co dało \(\pi r^3\). Objętość kuli: \[V_{\text{kuli}} = \frac{4}{3}\pi r^3\] Objętość półkuli to połowa tej wartości: \(\dfrac{2}{3}\pi r^3\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | B \(\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)\) | Uczeń dodaje objętość walca \(\pi r^3\) i pełnej kuli \(\frac{4}{3}\pi r^3\) zamiast **półkuli** - zapomina podzielić przez 2 | | C \(\left(\frac{2}{3}\pi r^3\right)\) | Uczeń liczy tylko objętość półkuli, zapominając o walcu | | D \(\left(\frac{1}{3}\pi r^3\right)\) | Uczeń stosuje wzór na objętość **stożka** \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\) zamiast walca, i pomija półkulę lub myli bryły | ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** Półkula to **połowa kuli** - objętość wynosi \(\dfrac{2}{3}\pi r^3\), nie \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu. > ⚠️ **Uwaga:** W tym zadaniu wszystkie trzy wymiary (\(r\) walca, \(h\) walca, \(r\) półkuli) są **takie same i równe \(r\)**. Warto to wyraźnie zapisać na początku rozwiązania, żeby nie pogubić się w obliczeniach. > ⚠️ **Uwaga:** Bryła jest **złożona** - nie ma wzoru na jej objętość wprost. Zawsze rozkładaj takie bryły na znane składowe i sumuj ich objętości. **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1 - Sumowanie objętości Wzory z karty wzorów (Stereometria, bryły obrotowe): - Walec: \(V_w = \pi r^2 H\) - Kula: \(V_k = \tfrac{4}{3}\pi r^3\), więc półkula: \(V_{pk} = \tfrac{2}{3}\pi r^3\) Dla tej bryły \(H = r\) (wysokość walca = promień): \[V_w = \pi r^2 \cdot r = \pi r^3\] \[V_{\text{bryły}} = V_w + V_{pk} = \pi r^3 + \tfrac{2}{3}\pi r^3 = \tfrac{3}{3}\pi r^3 + \tfrac{2}{3}\pi r^3 = \tfrac{5}{3}\pi r^3.\] ### Sposób 2 - Wspólny mianownik od razu \[V = \pi r^3\left(1 + \tfrac{2}{3}\right) = \pi r^3\cdot\tfrac{5}{3} = \tfrac{5}{3}\pi r^3.\] ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **B. \(\tfrac{4}{3}\pi r^3\)** - to objętość całej **kuli**, bez walca i tylko pełna kula. - **C. \(\tfrac{2}{3}\pi r^3\)** - to objętość samej **półkuli**, bez walca. - **D. \(\tfrac{1}{3}\pi r^3\)** - to objętość **stożka** o wysokości \(r\); pomyłka w rozpoznaniu bryły lub wzoru. **Pułapka:** walec ma objętość \(\pi r^2 H\) (nie \(\tfrac{1}{3}\pi r^2 H\) - to stożek!). **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1: Obliczenie objętości walca i półkuli, a następnie ich sumy. \[ \text{Objętość walca} = \pi r^2 h = \pi r^2 \cdot r = \pi r^3 \] \[ \text{Objętość półkuli} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3 \] \[ \text{Objętość bryły} = \pi r^3 + \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{3}{3} \pi r^3 + \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{5}{3} \pi r^3 \] 📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), strona 4 ### Sposób 2: Użycie wzoru na objętość bryły składającej się z walca i półkuli. Bryła składa się z walca o promieniu *r* i wysokości *r* oraz półkuli o promieniu *r*. Objętość walca to \( \pi r^2 h = \pi r^2 \cdot r = \pi r^3 \). Objętość półkuli to \( \frac{2}{3} \pi r^3 \). Całkowita objętość to \( \pi r^3 + \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{5}{3} \pi r^3 \). 📖 Karta wzorów: Wzory: a^r·a^s=a^(r+s), strona 4 ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **B. \(\frac{4}{3} \pi r^3\)**: Ta odpowiedź wynikałaby z obliczenia objętości pełnego walca o promieniu *r* i wysokości *r* (czyli \( \pi r^2 h = \pi r^2 \cdot r = \pi r^3 \)) i dodania do niej objętości półkuli o promieniu *r* (czyli \( \frac{2}{3} \pi r^3 \)). Ale to nie uwzględnia, że walec ma wysokość *r*, a półkula ma promień *r*. * **C. \(\frac{2}{3} \pi r^3\)**: Ta odpowiedź to tylko objętość półkuli, a nie cała bryły. * **D. \(\frac{1}{3} \pi r^3\)**: Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ nie odzwierciedla sumy objętości walca i półkuli. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** A _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/22) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F22) ## Podobne zadania - [Zadanie 14](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/14) — Zadanie 14. (0-1) Na rysunku przedstawiono siatkę pewnego sześcianu. Obwód tej siatki jest równy 70 cm. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podan - [Zadanie 30.1](https://matura.lol/question/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/30.1) — Zadanie 30.1. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Objętość 𝑉 ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑊 jest równa A. 243 B. 364,5 C. 489 D. 729 𝑊 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 - [Zadanie 25](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25) — Zadanie 25. (0-1) Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy 3:2. Objęt - [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/22) — Zadanie 22. (1 pkt) Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa r i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_