# Matematyka — zadanie 23

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/23
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, odchylenie standardowe, statystyka

## Treść

Zadanie 23. (0-1)
W zestawie
liczb
liczb
2, 2, 2,
, 2,4, 4, 4,
, 4
m
m
 jest 2m liczb (
1)
m ≥
, w tym m liczb 2 i m liczb 4.
Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe
A. 2
B. 1
C.
1
2
D.
2
W zestawie 2,2,2, ,2,4,4,4, ,4. jest 2m liczb (m≥1), w tym m liczb 2 i m liczb 4. Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe A. 2; B. 1; C. 1/√2; D. √2.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B

Odchylenie standardowe tego zestawu wynosi \(\mathbf{1}\).

## Sposób 1 - Definicja odchylenia standardowego

**Krok 1: Wyznaczamy średnią arytmetyczną.**

W zestawie mamy \(m\) liczb równych \(2\) oraz \(m\) liczb równych \(4\), łącznie \(2m\) liczb:

\[\bar{a} = \frac{m \cdot 2 + m \cdot 4}{2m} = \frac{2m + 4m}{2m} = \frac{6m}{2m} = 3\]

**Krok 2: Obliczamy odchylenia każdej liczby od średniej.**

- Każda dwójka: \(2 - 3 = -1\), więc \((2 - 3)^2 = 1\)
- Każda czwórka: \(4 - 3 = 1\), więc \((4 - 3)^2 = 1\)

**Krok 3: Liczymy wariancję.**

Jest \(m\) dwójek i \(m\) czwórek - każda daje kwadrat odchylenia równy \(1\):

\[\sigma^2 = \frac{\underbrace{(2-3)^2 + \ldots + (2-3)^2}_{m \text{ razy}} + \underbrace{(4-3)^2 + \ldots + (4-3)^2}_{m \text{ razy}}}{2m} = \frac{m \cdot 1 + m \cdot 1}{2m} = \frac{2m}{2m} = 1\]

**Krok 4: Odchylenie standardowe.**

\[\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{1} = \mathbf{1}\]

**Kluczowa obserwacja:** wynik nie zależy od \(m\)! Niezależnie ile dwójek i czwórek mamy (byle po równo), odchylenie standardowe zawsze wynosi \(1\).

## Sposób 2 - Wzór skrócony (średnia kwadratów minus kwadrat średniej)

Wariancję można też policzyć ze wzoru:

\[\sigma^2 = \overline{a^2} - \bar{a}^2\]

**Średnia kwadratów wartości:**

\[\overline{a^2} = \frac{m \cdot 2^2 + m \cdot 4^2}{2m} = \frac{m \cdot 4 + m \cdot 16}{2m} = \frac{20m}{2m} = 10\]

**Kwadrat średniej** (z Kroku 1 wiemy, że \(\bar{a} = 3\)):

\[\bar{a}^2 = 3^2 = 9\]

**Wariancja:**

\[\sigma^2 = 10 - 9 = 1\]

**Odchylenie standardowe:**

\[\sigma = \sqrt{1} = \mathbf{1}\]

Oba sposoby dają ten sam wynik - odpowiedź **B**.

## Wzory z karty CKE

**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**

Wzór na wariancję:
\[\sigma^2 = \frac{(a_1 - \bar{a})^2 + (a_2 - \bar{a})^2 + \ldots + (a_n - \bar{a})^2}{n}\]

Wzór na odchylenie standardowe:
\[\sigma = \sqrt{\sigma^2}\]

Wzór na średnią arytmetyczną:
\[\bar{a} = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}\]

Używamy tych wzorów bezpośrednio w Sposobie 1. W Sposobie 2 stosujemy równoważny wzór \(\sigma^2 = \overline{a^2} - \bar{a}^2\), który można z nich wyprowadzić.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| **A** (\(2\)) | Uczeń myli odchylenie standardowe z **rozstępem** danych: \(4 - 2 = 2\). Rozstęp to nie to samo co odchylenie! |
| **C** (\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)) | Uczeń poprawnie liczy wariancję \(\sigma^2 = 1\), ale zamiast wziąć pierwiastek, **dzieli** przez \(\sqrt{2}\) - błędne zastosowanie wzoru. Lub liczy \(\sigma = \frac{1}{\sqrt{2}}\) myląc wariancję z odchyleniem w jakimś skrócie myślowym. |
| **D** (\(\sqrt{2}\)) | Uczeń dzieli sumę kwadratów odchyleń przez \(m\) zamiast przez \(2m\): \(\sigma^2 = \frac{2m}{m} = 2\), stąd \(\sigma = \sqrt{2}\). Błąd polega na **zapomnieniu** o tym, że mamy \(2m\) liczb w mianowniku, nie \(m\). |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Odchylenie standardowe to **pierwiastek** z wariancji - wielu uczniów zatrzymuje się na wariancji i podaje \(\sigma^2 = 1\) jako wynik, co dałoby błędnie odpowiedź A lub C.

> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach ze zmiennym parametrem (\(m\)) odruchowo próbujemy wstawić konkretną wartość np. \(m = 1\). Tu to działa (dostajemy zestaw \(\{2, 4\}\), \(\sigma = 1\)), ale zawsze warto sprawdzić, czy wynik faktycznie nie zależy od \(m\) - tutaj słusznie nie zależy, bo \(m\) skraca się w liczniku i mianowniku.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl wariancji (\(\sigma^2\)) z odchyleniem standardowym (\(\sigma\)). Tu oba wynoszą \(1\), więc łatwo nie zauważyć błędu - ale w innych zadaniach ta pomyłka da zły wynik!

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Średnia + wariancja + pierwiastek
**Krok 1 - średnia:**
\[\bar{x} = \tfrac{m\cdot 2 + m\cdot 4}{2m} = \tfrac{6m}{2m} = 3.\]

**Krok 2 - wariancja (średnia kwadratów odchyleń):**
\[\sigma^2 = \tfrac{m(2-3)^2 + m(4-3)^2}{2m} = \tfrac{m\cdot 1 + m\cdot 1}{2m} = \tfrac{2m}{2m} = 1.\]

**Krok 3 - odchylenie standardowe:**
\[\sigma = \sqrt{1} = 1.\]

### Sposób 2 - Symetria zestawu
Zestaw jest symetryczny względem średniej: połowa liczb to \(2\), druga połowa to \(4\). Średnia \(= 3\), każda liczba jest odległa od \(3\) o \(1\). Więc **wszystkie** odchylenia w kwadracie to \(1\), wariancja \(= 1\), odchylenie standardowe \(= 1\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(2\)** - ktoś wziął rozstęp zamiast odchylenia standardowego (\(4-2=2\)).
- **C. \(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\)** - błąd przy wzorze na wariancję, np. dzielenie przez \(4m\) zamiast \(2m\).
- **D. \(\sqrt{2}\)** - ktoś pomylił wariancję z odchyleniem standardowym, albo policzył sumę odchyleń kwadratowych bez uśrednienia.

**Spostrzeżenie:** odpowiedź **nie zależy od \(m\)** - dodanie/odjęcie identycznych liczb nie zmienia odchylenia standardowego tej kompozycji.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1: Obliczenie średniej i wariancji
Ten sposób polega na obliczeniu średniej i wariancji zestawu liczb, a następnie wykorzystaniu tych wartości do określenia odchylenia standardowego.

Kroki:
1. **Zidentyfikuj liczby w zestawie:** Zestaw zawiera liczby 2, 2, 2, , 2, 4, 4, 4, , 4. Nie wiemy, ile jest liczb 2 i ile liczb 4. Oznaczmy liczbę 2 przez *m* i liczbę 4 przez *m*. Zatem mamy *m* liczb 2 i *m* liczb 4.
2. **Oblicz sumę liczb:** Suma liczb wynosi *m* * 2 + *m* * 4 = 2*m + 4*m = 6*m.
3. **Oblicz liczbę wszystkich elementów:** Liczba wszystkich elementów w zestawie wynosi *m* + *m* = 2*m.
4. **Oblicz średnią:** Średnia (x̄) wynosi (6*m) / (2*m) = 3.
5. **Oblicz wariancję:** Wariancja σ² wynosi suma kwadratów różnic od średniej, podzielona przez liczbę elementów.
* Suma kwadratów różnic od średniej: (m * (2-3)²) + (m * (4-3)²) = m * (-1)² + m * (1)² = m + m = 2*m
* Wariancja: σ² = (2*m) / (2*m) = 1.
6. **Oblicz odchylenie standardowe:** Odchylenie standardowe (σ) wynosi pierwiastek z wariancji: σ = √1 = 1.

📖 Karta wzorów: s.32 - Pochodna, strona 32 (Pochodna: (x^r)'=rx^(r-1)), wzór na średnią (średnia x̄=Σxᵢ/n) oraz wzór na wariancję (wariancja σ²=Σ(xᵢ-x̄)²/n)

### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na odchylenie standardowe
Ten sposób bezpośrednio stosuje wzór na odchylenie standardowe.

Kroki:
1. **Zidentyfikuj liczby w zestawie:** Tak jak w sposobie 1, mamy *m* liczb 2 i *m* liczb 4.
2. **Zapisz wzór na odchylenie standardowe:** Odchylenie standardowe (σ) jest zdefiniowane jako pierwiastek z wariancji: σ = √[Σ(xᵢ - x̄)² / n], gdzie xᵢ to poszczególne wartości w zestawie, x̄ to średnia, a n to liczba elementów w zestawie.
3. **Podstaw wartości:**
* x̄ = 3
* Σ(xᵢ - 3)² = (m * (2-3)²) + (m * (4-3)²) = 2*m
* n = 2*m
* σ = √[ (2*m) / (2*m) ] = √1 = 1

📖 Karta wzorów: s.32 - Pochodna, strona 32 (Pochodna: (x^r)'=rx^(r-1)), wzór na odchylenie standardowe (σ²=Σ(xᵢ-x̄)²/n)

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **A:** Ta odpowiedź nie odzwierciedla obliczeń średniej i odchylenia standardowego. Wartość średniej jest równa 3, a odchylenie standardowe wynosi 1.
* **C:** Ta odpowiedź nie ma związku z obliczeniami dotyczącymi średniej i odchylenia standardowego.
* **D:** Ta odpowiedź również nie ma związku z obliczeniami dotyczącymi średniej i odchylenia standardowego.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/23)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F23)

## Podobne zadania

- [Zadanie 28](https://matura.lol/question/matematyka-2021-marzec-probna-podstawowa/zad/28) — Zadanie 28. (0-1) Liczba 𝑥 jest dodatnia. Mediana zestawu czterech liczb: 1 + 𝑥, 1 + 2𝑥, 4 + 3𝑥, 1, jest równa 10. Wtedy A. 𝑥= 6 B. 𝑥= 5,5 C. 𝑥= 2,5 D. 𝑥= 1 EMA
- [Zadanie 23](https://matura.lol/question/matematyka-2020-kwiecien-probna-podstawowa/zad/23) — Zadanie 23. (0-1) Średnia arytmetyczna zestawu ośmiu danych: x, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 jest równa 9. Wtedy mediana tego zestawu danych jest równa A. 8 B. 9 C. 1
- [Zadanie 23](https://matura.lol/question/matematyka-2018-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23) — Zadanie 23. (1 pkt) W zestawie liczb liczb 2, 2, 2, , 2,4, 4, 4, , 4 m m  jest 2m liczb ( 1) m ≥ , w tym m liczb 2 i m liczb 4. Odchylenie standardowe
- [Zadanie 25](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-podstawowa/zad/25) — Zadanie 25. (1 pkt) Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31, 16, 25, 29, 27, x, jest równa 2 x . Mediana tych liczb jest równa A. 26 B. 27 C. 28 D. 2

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_