# Matematyka — zadanie 24

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/24
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Liczby rzeczywiste

## Treść

Zadanie 24. (0-1)
Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych
przez 5?
A. 402
B. 403
C. 203
D. 204
Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5? A. 402; B. 403; C. 203; D. 204.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D - \(204\)

## Sposób 1 - zakres i wzór na liczność ciągu arytmetycznego

**Określamy zakres poszukiwanych liczb.**

Czterocyfrowe liczby naturalne to liczby od \(1000\) do \(9999\). Ale szukamy tylko tych **mniejszych od \(2018\)**, więc nasz zakres to:
\[1000, \, 1001, \, \ldots, \, 2017\]

**Wyznaczamy skrajne liczby podzielne przez 5 w tym zakresie.**

Liczba podzielna przez \(5\) musi kończyć się cyfrą \(0\) lub \(5\).

- **Najmniejsza:** \(1000\) - kończy się na \(0\), więc \(1000 \div 5 = 200\) ✓
- **Największa mniejsza od \(2018\):** sprawdzamy od \(2017\) w dół:
- \(2017\) - kończy się na \(7\) ✗
- \(2016\) - kończy się na \(6\) ✗
- \(2015\) - kończy się na \(5\) ✓

Zatem szukamy wielokrotności \(5\) od \(1000\) do \(2015\):
\[1000, \; 1005, \; 1010, \; \ldots, \; 2015\]

To jest ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(a_1 = 1000\), ostatnim wyrazie \(a_n = 2015\) i różnicy \(r = 5\).

**Liczymy ilość wyrazów ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:**
\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\]
\[2015 = 1000 + (n-1) \cdot 5\]
\[1015 = (n-1) \cdot 5\]
\[n - 1 = 203\]
\[\boxed{n = 204}\]

## Sposób 2 - odejmowanie wielokrotności

Liczymy wielokrotności \(5\) w potrzebnym zakresie, korzystając z odejmowania.

**Wielokrotności \(5\) od \(1\) do \(2015\):**
\[\left\lfloor \frac{2015}{5} \right\rfloor = 403\]

**Wielokrotności \(5\) od \(1\) do \(999\)** (czyli co najwyżej trzycyfrowe):
\[\left\lfloor \frac{999}{5} \right\rfloor = 199\]

**Czterocyfrowe wielokrotności \(5\) mniejsze od \(2018\):**
\[403 - 199 = \boxed{204}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot r\]
Użyliśmy go w Sposobie 1, aby wyznaczyć liczbę wyrazów ciągu wielokrotności \(5\) między \(1000\) a \(2015\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A: \(402\) | Policzono wielokrotności \(5\) od \(1\) do \(2010\): \(\frac{2010}{5} = 402\) - wzięto złą górną granicę |
| B: \(403\) | Policzono **wszystkie** wielokrotności \(5\) od \(1\) do \(2015\): \(\frac{2015}{5} = 403\) - zapomniano odjąć liczby 1-3-cyfrowe |
| C: \(203\) | Policzono \(\frac{2015 - 1000}{5} = 203\) - zapomniano o błędzie "off by one" (nie dodano \(+1\), przez co pominięto pierwszy wyraz \(1000\)) |

## Typowe pułapki

> ⚠️ **Uwaga:** Największa poszukiwana liczba to **\(2015\)**, nie \(2018\) ani \(2020\). Zawsze znajdź samodzielnie ostatni wyraz spełniający warunki!

> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu wyrazów ciągu arytmetycznego wzorem \(\frac{a_n - a_1}{r}\) zawsze **dodaj \(+1\)**. Wynik \(203\) to liczba **kroków**, a nie wyrazów - wyrazów jest o jeden więcej.

> ⚠️ **Uwaga:** Warunek "czterocyfrowa" łatwo przeoczyć - jeśli nie odejmiesz jednocyfrowych, dwucyfrowych i trzycyfrowych wielokrotności \(5\), wyjdzie Ci za dużo (odpowiedź B).

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Ciąg arytmetyczny liczb podzielnych przez 5
Szukamy liczb \(1000 \le x \le 2017\) podzielnych przez \(5\).
- Pierwsza taka: \(1000\) (bo \(1000:5 = 200\)).
- Ostatnia: największa \(\le 2017\) i podzielna przez \(5\), czyli \(2015\).
- Różnica: \(r = 5\).
Liczba wyrazów:
\[n = \tfrac{2015 - 1000}{5} + 1 = \tfrac{1015}{5} + 1 = 203 + 1 = 204.\]

### Sposób 2 - Zliczanie wielokrotności 5
Liczby podzielne przez 5 w zakresie \([1000, 2017]\) to te postaci \(5k\) gdzie \(200 \le k \le 403\) (bo \(5\cdot 200 = 1000\), \(5\cdot 403 = 2015\), a \(5\cdot 404 = 2020 > 2017\)).
Liczba wartości \(k\): \(403 - 200 + 1 = 204\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(402\)** - być może zliczono liczby podzielne przez 5 od 0 do 2017 (\(\lfloor 2017/5\rfloor = 403\)) i nie uwzględniono "czterocyfrowość".
- **B. \(403\)** - wynik \(\lfloor 2017/5\rfloor\) bez odjęcia trzycyfrowych wielokrotności pięciu.
- **C. \(203\)** - błąd o 1 w formule "fencepost": zapomniano dodać \(+1\) w liczbie wyrazów ciągu.

**Klasyczny błąd:** przy liczeniu w ciągu arytmetycznym zawsze pamiętaj \(\tfrac{a_n - a_1}{r} + 1\). Bez \(+1\) dostajesz liczbę **odstępów**, a nie liczbę **elementów**.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1: Analiza warunków podzielności i zakresu liczb
Ten sposób polega na bezpośrednim policzeniu liczb spełniających warunki. Liczba czterocyfrowa musi być mniejsza od 2018. Ponieważ liczba musi być podzielna przez 5, jej cyfra jedności musi być 0 lub 5.

* **Przypadek 1: Cyfra jedności to 0.**
Wtedy mamy 9 możliwości dla pierwszej cyfry (nie może być 0, ponieważ liczba musi być czterocyfrowa), 9 możliwości dla drugiej cyfry, 9 możliwości dla trzeciej cyfry i 1 możliwość dla czwartej cyfry (0). Zatem liczba takich liczb wynosi 9 * 9 * 9 * 1 = 729.

* **Przypadek 2: Cyfra jedności to 5.**
Podobnie, mamy 9 możliwości dla pierwszej cyfry, 9 możliwości dla drugiej cyfry, 9 możliwości dla trzeciej cyfry i 1 możliwość dla czwartej cyfry (5). Zatem liczba takich liczb wynosi 9 * 9 * 9 * 1 = 729.

* **Suma:** Łączna liczba liczb to 729 + 729 = 1458. To jest błąd w zadaniu, ponieważ liczba możliwych liczb ma być mniejsza od 2018. Zatem musimy zmodyfikować podejście.

Zamiast liczyć bezpośrednio, możemy znaleźć liczbę czterocyfrowych liczb mniejszych od 2018, które są podzielne przez 5. Oznacza to, że liczba musi kończyć się na 0 lub 5.

* Liczby od 1000 do 1999: Liczby kończące się na 0: 1000, 1005, 1010, , 1990. To jest 1000 - 1005 + 1 = 1000 - 1005 + 1 = 999 / 5 = 199. Liczby kończące się na 5: 1005, 1015, 1025, , 1995. To jest 199 - 1005 + 1 = 199 - 1005 + 1 = 999 / 5 = 199.
* Liczba od 2000 do 2017: 2000, 2005, 2010, 2015. To daje 4 liczby.

Łącznie: 199 + 199 + 4 = 402.

📖 Karta wzorów: s.28 (Kombinatoryka), strona 28

### Sposób 2: Obliczenie ilorazu
Chcemy znaleźć liczbę czterocyfrowych liczb mniejszych od 2018, które są podzielne przez 5. Zauważmy, że 2018 / 5 = 403.6. Zatem szukamy liczb podzielnych przez 5, które są mniejsze niż 2018. Oznacza to, że szukamy liczb z zakresu od 1000 do 2017, które są podzielne przez 5.

Najmniejsza liczba czterocyfrowa podzielna przez 5 to 1000. Największa liczba czterocyfrowa mniejsza od 2018, która jest podzielna przez 5 to 2015.

Liczba liczb podzielnych przez 5 w tym zakresie to (2015 - 1000) / 5 + 1 = 1015 / 5 + 1 = 203 + 1 = 204.

📖 Karta wzorów: s.28 (Kombinatoryka), strona 28

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **A. 402:** Jak wyliczyliśmy w sposobie 1, jest to liczba liczb kończących się na 0 lub 5 w przedziale 1000-1999, ale nie uwzględnia zakresu 2000-2017.
* **B. 403:** Podobnie jak A, nie uwzględnia zakresu 2000-2017.
* **C. 203:** To jest liczba liczb kończących się na 5 w przedziale 1000-1999, ale nie uwzględnia zakresu 2000-2017.
* **D. 204:** Jak wyliczyliśmy w sposobie 2, jest to prawidłowa liczba liczb czterocyfrowych mniejszych od 2018, które są podzielne przez 5.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/24)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F24)

## Podobne zadania

- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/21) — Zadanie 21. (0-3) Pani Maria w 2015 roku łącznie zarobiła 43 740 zł. W każdym miesiącu od stycznia do września włącznie otrzymywała pensję tej samej wysokości. 
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Niech 4 log7 a Wyznacz 49 log 2 w zależności od a. Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 3
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b określamy liczby aDb i a∗b w następujący sposób: aDb = liczba nie mniejsza spośród liczb a i b, a∗b =
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/2) — Zadanie 2. (0-2) Pensja pana X jest o 50% wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o 40% niższa od średniej krajowej. Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_