# Matematyka — zadanie 26

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/26
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Rozwiąż nierówność \(2x^{2} - 3x > 5\).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź:

\[x \in \left(-\infty,\ -1\right) \cup \left(\frac{5}{2},\ +\infty\right)\]

## Sposób 1 - Sprowadzenie do zera i analiza znaku trójmianu

**Krok 1: Przenosimy 5 na lewą stronę**

\[2x^2 - 3x > 5\]
\[2x^2 - 3x - 5 > 0\]

**Krok 2: Szukamy miejsc zerowych trójmianu \(f(x) = 2x^2 - 3x - 5\)**

Wyznaczamy wyróżnik:
\[\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49\]
\[\sqrt{\Delta} = 7\]

Miejsca zerowe:
\[x_1 = \frac{3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1\]
\[x_2 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\]

**Krok 3: Analizujemy znak trójmianu**

Współczynnik \(a = 2 > 0\), więc parabola jest **skierowana ramionami w górę** - trójmian jest dodatni **na zewnątrz** pierwiastków.

Szkic znaku:

\[
\begin{array}{c|ccccc}
x & & -1 & & \frac{5}{2} & \\
\hline
f(x) & + & 0 & - & 0 & +
\end{array}
\]

**Krok 4: Odczytujemy rozwiązanie**

Szukamy \(f(x) > 0\), czyli wartości dodatnich:

\[\boxed{x \in \left(-\infty,\ -1\right) \cup \left(\frac{5}{2},\ +\infty\right)}\]

## Sposób 2 - Postać iloczynowa i analiza znaku

Po wyznaczeniu pierwiastków w Sposobie 1 zapisujemy trójmian w postaci iloczynowej:

\[f(x) = 2(x - (-1))\left(x - \frac{5}{2}\right) = 2(x+1)\left(x - \frac{5}{2}\right)\]

Nierówność \(f(x) > 0\) przyjmuje postać:

\[2(x+1)\left(x - \frac{5}{2}\right) > 0\]

Czynnik \(2 > 0\) nie zmienia znaku, więc analizujemy:

\[(x+1)\left(x - \frac{5}{2}\right) > 0\]

Iloczyn dwóch czynników jest **dodatni**, gdy **oba mają ten sam znak**:

**Przypadek I** - oba dodatnie:
\[x + 1 > 0 \quad \text{i} \quad x - \frac{5}{2} > 0\]
\[x > -1 \quad \text{i} \quad x > \frac{5}{2}\]
\[\Rightarrow x > \frac{5}{2}\]

**Przypadek II** - oba ujemne:
\[x + 1 < 0 \quad \text{i} \quad x - \frac{5}{2} < 0\]
\[x < -1 \quad \text{i} \quad x < \frac{5}{2}\]
\[\Rightarrow x < -1\]

Łącząc oba przypadki:

\[\boxed{x \in \left(-\infty,\ -1\right) \cup \left(\frac{5}{2},\ +\infty\right)}\]

Wynik zgodny z Podejściem 1. ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:
\[\Delta = b^2 - 4ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]
Użyliśmy do znalezienia pierwiastków trójmianu \(2x^2 - 3x - 5\).

**Dział 7 (s. 8)** - postać iloczynowa (Sposób 2):
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\]
Pozwala bezpośrednio analizować znak jako iloczyn dwóch czynników liniowych.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to brak przeniesienia 5 na lewą stronę przed wyznaczaniem wyróżnika - wyliczanie \(\Delta\) dla \(2x^2 - 3x\) zamiast \(2x^2 - 3x - 5\). To daje zupełnie inne pierwiastki!

> ⚠️ **Uwaga:** Przy nierówności z parabolą skierowaną **w górę** (\(a > 0\)) rozwiązaniem \(f(x) > 0\) jest zawsze **zewnętrze** pierwiastków. Błąd polega na wzięciu przedziału między pierwiastkami - to dałoby rozwiązanie \(f(x) < 0\).

> ⚠️ **Uwaga:** Granice przedziału (\(x = -1\) i \(x = \frac{5}{2}\)) **nie należą** do rozwiązania, bo nierówność jest **ostra** (\(>\), nie \(\geq\)). Używamy nawiasów okrągłych \((\,)\), nie ostrych \(\langle\,\rangle\).

**Rozwiązanie: \(x\in(-\infty, -1)\cup\left(\tfrac{5}{2}, +\infty\right)\)**

### Sposób 1 - Wzory na pierwiastki trójmianu (delta)
Przenosimy wszystko na lewą stronę:
\[2x^2 - 3x - 5 > 0.\]
Obliczamy wyróżnik:
\[\Delta = (-3)^2 - 4\cdot 2\cdot (-5) = 9 + 40 = 49, \quad \sqrt{\Delta} = 7.\]
Pierwiastki:
\[x_1 = \tfrac{3-7}{4} = -1, \qquad x_2 = \tfrac{3+7}{4} = \tfrac{5}{2}.\]
Ponieważ współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni (\(a=2>0\)), parabola jest skierowana "rogami w górę" - nierówność \(>0\) zachodzi **na zewnątrz** pierwiastków.
\[x\in(-\infty, -1)\cup\left(\tfrac{5}{2}, +\infty\right).\]

### Sposób 2 - Rozkład iloczynowy (wzory Viète'a)
Szukamy rozkładu \(2x^2 - 3x - 5 = (2x-5)(x+1)\). Sprawdzenie: \(2x^2 + 2x - 5x - 5 = 2x^2 - 3x - 5\) ✓.
Nierówność \((2x-5)(x+1) > 0\) zachodzi gdy oba czynniki mają ten sam znak:
- oba dodatnie: \(x > \tfrac{5}{2}\)
- oba ujemne: \(x < -1\)

### Sposób 3 - Szkic wykresu
Funkcja \(f(x) = 2x^2 - 3x - 5\) to parabola z ramionami w górę, miejscami zerowymi \(-1\) i \(\tfrac{5}{2}\). Dla wartości \(x\) "na zewnątrz" tych punktów, \(f(x) > 0\).

**Odpowiedź:** \(x\in(-\infty, -1)\cup\left(\tfrac{5}{2}, +\infty\right)\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/26)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F26)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr 
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-2) Rozwiąż nierówność 𝟑𝒙𝟐+ 𝟒𝒙≥𝟔𝒙+ 𝟖 Zapisz obliczenia. 10. 0-1-2 MMAP-P0_100 Rozwiąż nierówność 3x² + 4x ≥ 6x+8
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż równanie (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych. EMAP-P0_100
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż nierówność 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 EMAP-P0_100

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_