# Matematyka — zadanie 27

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/27
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Rozwiąż równanie (x² + 125)(x² - 64) = 0

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(x \in \{-8,\ -5,\ 8\}\)

Równanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste: \(x_1 = -8\), \(x_2 = -5\), \(x_3 = 8\).

## Sposób 1 - Własność iloczynu równego zero

**Kluczowa zasada:** Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero.

\[(x^3 + 125)(x^2 - 64) = 0\]

\[\Downarrow\]

\[x^3 + 125 = 0 \quad \text{lub} \quad x^2 - 64 = 0\]

**Czynnik I:** \(x^3 + 125 = 0\)

Rozpoznajemy sumę sześcianów: \(x^3 + 5^3\). Stosujemy wzór:

\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\]

\[x^3 + 125 = (x + 5)(x^2 - 5x + 25) = 0\]

- \(x + 5 = 0 \implies \mathbf{x_1 = -5}\)

- \(x^2 - 5x + 25 = 0\): liczymy wyróżnik:

\[\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 25 - 100 = -75 < 0\]

**Brak pierwiastków rzeczywistych** z tego czynnika.

**Czynnik II:** \(x^2 - 64 = 0\)

Rozpoznajemy różnicę kwadratów: \(x^2 - 8^2\). Stosujemy wzór:

\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\]

\[x^2 - 64 = (x-8)(x+8) = 0\]

\[x - 8 = 0 \implies \mathbf{x_2 = 8}\]
\[x + 8 = 0 \implies \mathbf{x_3 = -8}\]

**Odpowiedź:**

\[\boxed{x \in \{-8,\ -5,\ 8\}}\]

## Sposób 2 - Bezpośrednie wyznaczanie pierwiastków (bez rozkładu sumy sześcianów)

**Czynnik I:** \(x^3 + 125 = 0\)

\[x^3 = -125\]

\[x = \sqrt[3]{-125} = -\sqrt[3]{125} = \mathbf{-5}\]

(Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej jest ujemny - tylko jeden pierwiastek rzeczywisty.)

**Czynnik II:** \(x^2 - 64 = 0\)

\[x^2 = 64\]

\[x = \pm\sqrt{64} = \pm 8\]

Stąd: \(\mathbf{x = 8}\) lub \(\mathbf{x = -8}\).

**Weryfikacja** - podstawiamy każde rozwiązanie do oryginalnego równania:

- \(x = -5\): \(((-5)^3 + 125)((-5)^2 - 64) = (-125 + 125)(25 - 64) = 0 \cdot (-39) = 0\) ✓
- \(x = 8\): \((8^3 + 125)(8^2 - 64) = (512+125)(64-64) = 637 \cdot 0 = 0\) ✓
- \(x = -8\): \(((-8)^3 + 125)((-8)^2 - 64) = (-512+125)(64-64) = (-387) \cdot 0 = 0\) ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**

Suma sześcianów:
\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\]
Użyta przy rozkładzie \(x^3 + 125 = x^3 + 5^3\) w Sposobie 1.

Różnica kwadratów:
\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\]
Użyta przy rozkładzie \(x^2 - 64 = x^2 - 8^2\).

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)**

\[\Delta = b^2 - 4ac\]

Przy sprawdzaniu, czy trójmian \(x^2 - 5x + 25\) ma pierwiastki rzeczywiste - \(\Delta < 0\) oznacza brak rozwiązań rzeczywistych.

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** \(x^3 = -125\) ma **jeden** pierwiastek rzeczywisty: \(x = -5\). Nie pisz \(x = \pm 5\) - to błąd! Pierwiastek sześcienny (w odróżnieniu od kwadratowego) jest jednoznaczny i może być ujemny.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładzie sumy sześcianów dostajemy czynnik \(x^2 - 5x + 25\). Uczniowie często myślą, że \(x^2 - 5x + 25 = (x-5)^2\) - to **nieprawda**! \((x-5)^2 = x^2 - 10x + 25\). Zawsze sprawdź wyróżnik \(\Delta\).

> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o **obu** czynnikach - część uczniów rozwiązuje tylko jeden i gubi połowę odpowiedzi. Równanie stopnia 5 (po rozwinięciu) może mieć do 5 pierwiastków zespolonych; my szukamy tylko rzeczywistych.

**Rozwiązanie: \(x\in\{-8,\ -5,\ 8\}\)**

### Sposób 1 - Iloczyn = 0 ⇔ co najmniej jeden czynnik = 0
Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem:
\[x^3 + 125 = 0 \quad \text{lub}\quad x^2 - 64 = 0.\]

**Równanie 1:** \(x^3 = -125 \Rightarrow x = \sqrt[3]{-125} = -5\).

**Równanie 2:** \(x^2 = 64 \Rightarrow x = \pm 8\).

Zbiór rozwiązań: \(\{-8, -5, 8\}\).

### Sposób 2 - Wzory skróconego mnożenia
\(x^3 + 125 = x^3 + 5^3 = (x+5)(x^2 - 5x + 25)\). Drugi czynnik ma \(\Delta = 25 - 100 < 0\), więc nie ma pierwiastków rzeczywistych. Zostaje \(x = -5\).

\(x^2 - 64 = (x-8)(x+8)\), stąd \(x = 8\) lub \(x = -8\).

**Rozwiązania:** \(x = -8\), \(x = -5\), \(x = 8\).

### Sposób 3 - Szybkie zgadywanie pierwiastków
Zauważamy, że \(125 = 5^3\) i \(64 = 8^2\), więc pierwsze równanie to \(x^3 = -125\) (jedno rozwiązanie \(x=-5\)), a drugie to \(x^2 = 64\) (dwa rozwiązania \(\pm 8\)).

**Odpowiedź:** \(x\in\{-8,\ -5,\ 8\}\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/27)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F27)

## Podobne zadania

- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr 
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-2) Rozwiąż nierówność 𝟑𝒙𝟐+ 𝟒𝒙≥𝟔𝒙+ 𝟖 Zapisz obliczenia. 10. 0-1-2 MMAP-P0_100 Rozwiąż nierówność 3x² + 4x ≥ 6x+8
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż równanie (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych. EMAP-P0_100
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-2) Rozwiąż nierówność 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 EMAP-P0_100

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_