# Matematyka — zadanie 28 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/28 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Równania i nierówności ## Treść Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} \geq \frac{2}{a+b}\). ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: Twierdzenie prawdziwe - dowód poniżej To zadanie otwarte. Należy udowodnić nierówność dla dowolnych \(a, b > 0\). ## Sposób 1 - Sprowadzenie do równoważnej nierówności (metoda algebraiczna) **Krok 1 - Upraszczamy lewą stronę.** Dodajemy ułamki, sprowadzając do wspólnego mianownika: \[\frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} = \frac{b}{2ab} + \frac{a}{2ab} = \frac{a+b}{2ab}\] Nierówność przyjmuje postać: \[\frac{a+b}{2ab} \ge \frac{2}{a+b}\] **Krok 2 - Pozbywamy się mianowników.** Ponieważ \(a, b > 0\), mamy \(2ab > 0\) oraz \(a+b > 0\), więc mnożymy obie strony przez \(2ab(a+b) > 0\) - **kierunek nierówności się nie zmienia**: \[(a+b)^2 \ge 4ab\] **Krok 3 - Rozwijamy lewą stronę:** \[a^2 + 2ab + b^2 \ge 4ab\] Przenosimy \(4ab\) na lewą stronę: \[a^2 - 2ab + b^2 \ge 0\] \[(a - b)^2 \ge 0\] **Krok 4 - Wniosek.** Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny - nierówność \((a-b)^2 \ge 0\) jest **zawsze prawdziwa**. Ponieważ każdy krok był równoważny (mnożyliśmy przez dodatnie wyrażenia), udowodniliśmy, że: \[\boxed{\frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} \ge \frac{2}{a+b}}\] dla dowolnych \(a, b > 0\). Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(a = b\). \(\square\) ## Sposób 2 - Dowód wprost (z nierówności \((a-b)^2 \ge 0\)) Zamiast redukować nierówność, budujemy dowód w drugą stronę - **od prawdy do tezy**. **Krok 1 - Zaczynamy od faktu oczywistego:** Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a, b\): \[(a-b)^2 \ge 0\] **Krok 2 - Rozwijamy:** \[a^2 - 2ab + b^2 \ge 0\] Dodajemy \(4ab\) do obu stron (co jest dozwolone, nie zmienia kierunku): \[a^2 + 2ab + b^2 \ge 4ab\] \[(a+b)^2 \ge 4ab\] **Krok 3 - Dzielimy przez \(2ab(a+b)\).** Ponieważ \(a, b > 0\), mamy \(2ab > 0\) i \(a+b > 0\), więc \(2ab(a+b) > 0\) - **kierunek nierówności niezmieniony**: \[\frac{(a+b)^2}{2ab(a+b)} \ge \frac{4ab}{2ab(a+b)}\] \[\frac{a+b}{2ab} \ge \frac{2}{a+b}\] **Krok 4 - Rozpisujemy lewą stronę:** \[\frac{a+b}{2ab} = \frac{a}{2ab} + \frac{b}{2ab} = \frac{1}{2b} + \frac{1}{2a}\] Stąd: \[\frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} \ge \frac{2}{a+b}\] co kończy dowód. Równość gdy \(a = b\). \(\square\) ## Wzory z karty CKE W tym zadaniu nie korzystamy bezpośrednio z wzorów z karty CKE. Dowód opiera się na **elementarnej własności kwadratów** \((a-b)^2 \ge 0\) oraz na **wzorze skróconego mnożenia** \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - jest to wzór ze szkoły podstawowej, ale można go znaleźć w: > **Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**: > \[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\] > Użyliśmy go w obu sposobach jako kluczowy element dowodu. **Kontekst matematyczny:** udowodniona nierówność wyraża relację między **średnią harmoniczną** a **średnią arytmetyczną** liczb \(a\) i \(b\): \[\underbrace{\frac{2ab}{a+b}}_{\text{śr. harmoniczna}} \le \underbrace{\frac{a+b}{2}}_{\text{śr. arytmetyczna}}\] co jest klasyczną nierównością \(H \le A\). ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Gdy redukujesz nierówność, mnożąc przez mianowniki, **sprawdź znak**. Tu \(2ab > 0\) i \(a+b > 0\), bo \(a, b > 0\) - gdyby mogły być ujemne, kierunek nierówności mógłby się odwrócić i dowód byłby błędny. > ⚠️ **Uwaga:** Nie możesz po prostu napisać „przekształcam i wychodzi \((a-b)^2 \ge 0\), więc prawda". Musisz wyraźnie zaznaczyć, że **każde przekształcenie jest równoważne** (lub napisać dowód w kierunku od \((a-b)^2 \ge 0\) do tezy, jak w Sposobie 2). > ⚠️ **Uwaga:** Warunek \(a, b > 0\) jest kluczowy - bez niego mianowniki mogłyby być zerowe lub ujemne, a nierówność mogłaby nie zachodzić. **Dowód.** ### Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnego mianownika i wzoru skróconego Ponieważ \(a,b > 0\), mamy \(a+b>0\) i \(2ab>0\). Lewa strona: \[\tfrac{1}{2a} + \tfrac{1}{2b} = \tfrac{b+a}{2ab} = \tfrac{a+b}{2ab}.\] Nierówność przyjmuje postać: \[\tfrac{a+b}{2ab} \ge \tfrac{2}{a+b}.\] Mnożymy obie strony przez \(2ab(a+b) > 0\) (znak bez zmiany): \[(a+b)^2 \ge 4ab.\] Przekształcamy: \[a^2 + 2ab + b^2 \ge 4ab\] \[a^2 - 2ab + b^2 \ge 0\] \[(a-b)^2 \ge 0.\] Ta nierówność jest **zawsze prawdziwa** dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a, b\) (kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny). Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(a=b\). \(\blacksquare\) ### Sposób 2 - Różnica stron i wspólny mianownik Pokazujemy, że \(L - P \ge 0\): \[\tfrac{a+b}{2ab} - \tfrac{2}{a+b} = \tfrac{(a+b)^2 - 4ab}{2ab(a+b)} = \tfrac{(a-b)^2}{2ab(a+b)}.\] Ponieważ \(a, b > 0\), mianownik jest dodatni, a licznik \((a-b)^2 \ge 0\). Zatem cały ułamek \(\ge 0\), czyli \(L \ge P\). \(\blacksquare\) ### Sposób 3 - Nierówność między średnimi (AM-HM) Dla liczb dodatnich \(a, b\): średnia arytmetyczna \(\ge\) średnia harmoniczna: \[\tfrac{a+b}{2} \ge \tfrac{2}{\tfrac{1}{a}+\tfrac{1}{b}}.\] Przekształcając (oba wyrażenia dodatnie): \[\tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b} \ge \tfrac{4}{a+b}\] Dzielimy obie strony przez \(2\): \[\tfrac{1}{2a} + \tfrac{1}{2b} \ge \tfrac{2}{a+b}. \quad \blacksquare\] **Uwaga:** Kluczowym krokiem w każdym sposobie jest rozpoznanie wzoru \((a-b)^2 \ge 0\) - uniwersalna "ratunkowa" tożsamość w dowodach nierówności. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/28) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F28) ## Podobne zadania - [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5) — Zadanie 5. (0-3) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝒂 prawdziwa jest nierówność 𝒂𝟐+ 𝟏𝟔 𝒂≥𝟏𝟐 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Wykaż, że dla każdej liczby - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-3) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝑎 prawdziwa jest nierówność 𝑎2 + 16 𝑎≥12 EMAP-R0_100 EMAP-R0_100 - [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że 2 2 2 x y , prawdziwa jest nierówność 2 x y ≤ MMA_1R Wypełnia egzaminato - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (3 pkt) Udowodnij, że jeżeli 0 a b   , to prawdziwa jest nierówność 3 3 2 2 a b a b ab    Poziom rozszerzony 13 Udowodnij, że jeżeli a+b >= 0, t _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_