# Matematyka — zadanie 29 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/29 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Planimetria ## Treść Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego /matma-quiz/images/cke/2018-Matematyka-PP/z29.png . Promień okręgu o środku A jest równy 2. A B Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od 2 -1. Nr zadania 29. --- --- | 2 | || ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: uzasadnienie (zadanie otwarte) Należy pokazać, że promień \(r\) okręgu o środku \(B\) spełnia \(r < \sqrt{2} - 1\). ## Sposób 1 - układ współrzędnych i wyznaczenie \(r\) **Ustawienie układu.** Wierzchołek kąta prostego umieszczamy w początku układu \(O = (0, 0)\), a ramiona wzdłuż dodatnich półosi \(OX\) i \(OY\). **Obserwacja kluczowa.** Jeśli okrąg jest styczny do obu półprostych (osi \(OX\) i \(OY\)), jego środek musi leżeć w odległości równej promieniowi od każdej osi. Zatem środek okręgu o promieniu \(\rho\) leży w punkcie \((\rho, \rho)\) - na dwusiecznej kąta prostego. Stąd: - **Okrąg A:** środek \(A = (2, 2)\), promień \(2\) - **Okrąg B:** środek \(B = (r, r)\), promień \(r\) - gdzie \(r < 2\) (B leży bliżej wierzchołka) **Warunek zewnętrznej styczności.** Odległość między środkami równa się sumie promieni: \[|AB| = 2 + r\] Obliczamy \(|AB|\): \[|AB| = \sqrt{(2 - r)^2 + (2 - r)^2} = (2 - r)\sqrt{2}\] (korzystamy z \(r < 2\), więc \(2 - r > 0\)) **Równanie:** \[(2 - r)\sqrt{2} = 2 + r\] \[2\sqrt{2} - r\sqrt{2} = 2 + r\] \[2\sqrt{2} - 2 = r\sqrt{2} + r = r(\sqrt{2} + 1)\] \[\boxed{r = \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2} + 1}}\] **Dowód nierówności.** Chcemy pokazać, że \(r < \sqrt{2} - 1\), czyli: \[\frac{2(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2} + 1} < \sqrt{2} - 1\] Ponieważ \(\sqrt{2} - 1 > 0\), dzielimy obie strony przez \(\sqrt{2} - 1\): \[\frac{2}{\sqrt{2} + 1} < 1\] \[2 < \sqrt{2} + 1\] \[1 < \sqrt{2}\] Ta ostatnia nierówność jest prawdziwa, ponieważ \(1^2 = 1 < 2\), a obie strony są dodatnie. **Zatem \(r < \sqrt{2} - 1\). \(\blacksquare\)** ## Sposób 2 - wyznaczenie jawnej wartości \(r\) i porównanie Z Sposobu 1 mamy \(r = \dfrac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}+1}\). Wymnożymy licznik i mianownik przez \((\sqrt{2} - 1)\): \[r = \frac{2(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2(\sqrt{2}-1)^2}{2 - 1} = 2(\sqrt{2}-1)^2\] Rozwijamy: \[r = 2(2 - 2\sqrt{2} + 1) = 2(3 - 2\sqrt{2}) = 6 - 4\sqrt{2}\] Teraz sprawdzamy nierówność \(6 - 4\sqrt{2} < \sqrt{2} - 1\): \[6 - 4\sqrt{2} < \sqrt{2} - 1\] \[7 < 5\sqrt{2}\] \[\frac{7}{5} < \sqrt{2}\] \[1{,}4 < \sqrt{2}\] Podnosimy do kwadratu (obie strony dodatnie): \[1{,}96 < 2 \quad \checkmark\] **Zatem \(r = 6 - 4\sqrt{2} < \sqrt{2} - 1\). \(\blacksquare\)** ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - własność okręgu wpisanego w kąt: okrąg styczny do obu ramion kąta ma środek na jego dwusiecznej w odległości \(r/\sin(\alpha/2)\) od wierzchołka (dla kąta prostego \(\alpha = 90°\) środek leży w odległości \(r\sqrt{2}\) od wierzchołka). **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - odległość między punktami: \[|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\] Użyliśmy tego wzoru do wyznaczenia \(|AB| = (2-r)\sqrt{2}\). **Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na pierwiastkach przy upraszczaniu \(\sqrt{2}\) i mnożeniu przez sprzężenie \((\sqrt{2}-1)\). ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie, że środek okręgu stycznego do obu ramion kąta leży na dwusiecznej tego kąta w odległości \(r\sqrt{2}\) od wierzchołka (nie w odległości \(r\)). Dla kąta prostego dwusieczna to prosta \(y = x\), więc środek to \((r, r)\). > ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \(|AB|\) trzeba uważać na znak: zakładamy, że \(r < 2\) (okrąg B leży bliżej wierzchołka niż A), więc \(2 - r > 0\) i można wyciągnąć bez wartości bezwzględnej. > ⚠️ **Uwaga:** Zadanie prosi o uzasadnienie nierówności \(r < \sqrt{2}-1\), a nie o obliczenie \(r\). Wystarczy doprowadzić do prostej prawdy \(1 < \sqrt{2}\) - nie trzeba liczyć wartości dziesiętnej. **Dowód.** ### Sposób 1 - Porównanie z odcinkiem SE (CKE I sposób) Oznaczmy \(S\) - wierzchołek kąta prostego, \(r\) - promień okręgu o środku \(B\), \(E\) - punkt styczności okręgów zewnętrznej. Dla okręgu stycznego do obu ramion kąta prostego (o promieniu \(R\)), środek leży na dwusiecznej kąta w odległości \(R\sqrt{2}\) od wierzchołka (bo odległości od boku = \(R\)). \[|SA| = 2\sqrt{2}, \qquad |SB| = r\sqrt{2}.\] Odcinek \(AB\) przechodzi przez punkt styczności okręgów \(E\), przy czym \(|AE| = 2\) (promień większego okręgu). Zatem: \[|SE| = |SA| - |AE| = 2\sqrt{2} - 2.\] Punkt \(B\) leży wewnątrz odcinka \(SE\), a **średnica** mniejszego okręgu \(2r\) leży w całości w odcinku \(SE\) (okrąg zawiera się między wierzchołkiem kąta a punktem \(E\)). Stąd: \[2r < |SE| = 2\sqrt{2} - 2 \Rightarrow r < \sqrt{2} - 1. \quad \blacksquare\] ### Sposób 2 - Bezpośrednie równanie na r (CKE II sposób) Wykorzystując \(|SA| = |SB| + |BE| + |EA|\) (punkty kolinearne na dwusiecznej): \[2\sqrt{2} = r\sqrt{2} + r + 2.\] Stąd: \[r(\sqrt{2}+1) = 2\sqrt{2} - 2 = 2(\sqrt{2}-1).\] \[r = \tfrac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}+1}.\] Usuwamy niewymierność z mianownika (mnożymy przez \(\sqrt{2}-1\)): \[r = \tfrac{2(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \tfrac{2(3-2\sqrt{2})}{1} = 2(3-2\sqrt{2}) = 6 - 4\sqrt{2}.\] Pokazujemy \(6 - 4\sqrt{2} < \sqrt{2}-1\): \[6 - 4\sqrt{2} < \sqrt{2} - 1 \iff 7 < 5\sqrt{2} \iff 49 < 50. \quad ✓\] Zatem \(r < \sqrt{2} - 1\). \(\blacksquare\) **Uwaga:** dla okręgu stycznego do obu ramion kąta prostego z wierzchołkiem \(S\), środek zawsze leży na dwusiecznej, a odległość od \(S\) to \(R\sqrt{2}\) (przekątna kwadratu utworzonego przez promienie do punktów styczności). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/29) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F29) ## Podobne zadania - [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2009-maj-matura-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (4 pkt) Dwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego (patrz rysune - [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (0-3) Punkty 𝐾 i 𝐿 są środkami - odpowiednio - boków 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 o boku długości 𝑎. Punkt 𝑀 jest takim punktem na boku 𝐵𝐶, że odcinki 𝐷𝐾 i - [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8) — Zadanie 8. (0-3) Punkty 𝐾 i 𝐿 są środkami - odpowiednio - boków 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 o boku długości 𝑎. Punkt 𝑀 jest takim punktem na boku 𝐵𝐶, że odcinki 𝐷𝐾 i - [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (0-3) Dany jest prostokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym |𝐴𝐵| = 2 ⋅|𝐴𝐷|. Na bokach 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 oraz 𝐷𝐴 tego prostokąta obrano punkty - odpowiednio - 𝐾, 𝐿, 𝑀 oraz 𝑁 (p _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_