# Matematyka — zadanie 30 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/30 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: open - działy: Funkcje ## Treść Zadanie 30. (0-2) Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem ( ) x a x f (gdzie 0 > a i 1 a ≠), należy punkt ( ) 9 ,2 P . Oblicz a i zapisz zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem ( ) ( ) 2 g x f x Odpowiedź: MMA_1P Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x) =a^x (gdzie a>0 i a≠1), należy punkt P=(2,9). Oblicz a i zapisz zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem g(x)=f(x)-2. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: \(a = 3\), zbiór wartości funkcji \(g\) to \((-2, +\infty)\). ## Sposób 1 - podstawienie punktu do wzoru **Krok 1: Wyznacz \(a\).** Punkt \(P = (2, 9)\) należy do wykresu funkcji \(f(x) = a^x\), więc jego współrzędne spełniają równanie funkcji: \[f(2) = 9\] Podstawiamy: \[a^2 = 9\] Rozwiązujemy: \[a = 3 \quad \text{lub} \quad a = -3\] Ale z założenia \(a > 0\) i \(a \neq 1\), więc odrzucamy \(a = -3\). **Zatem \(a = 3\) i \(f(x) = 3^x\).** **Krok 2: Wyznacz zbiór wartości funkcji \(g(x) = f(x) - 2\).** Wiemy, że: \[g(x) = 3^x - 2\] Zacznijmy od zbioru wartości \(f(x) = 3^x\). Funkcja wykładnicza \(3^x\) dla \(a = 3 > 1\) przyjmuje wszystkie wartości **dodatnie**: \[f(x) = 3^x \in (0, +\infty) \quad \text{dla każdego } x \in \mathbb{R}\] Funkcja \(g\) to \(f\) przesunięta o \(2\) w dół: \[g(x) = 3^x - 2\] Każda wartość \(3^x\) zmniejsza się o \(2\), więc: \[\text{ZW}(g) = (0 - 2,\ +\infty) = (-2, +\infty)\] **Zbiór wartości funkcji \(g\) to \((-2, +\infty)\).** ## Sposób 2 - weryfikacja i podejście przez granice **Weryfikacja \(a = 3\):** \[f(2) = 3^2 = 9 \checkmark\] Punkt \(P = (2, 9)\) rzeczywiście leży na wykresie - wynik poprawny. **Zbiór wartości \(g\) - przez analizę asymptoty:** Wykres \(g(x) = 3^x - 2\) to wykres \(3^x\) przesunięty o \(2\) jednostki **w dół**. Asymptota pozioma \(f(x) = 3^x\) to prosta \(y = 0\) (oś \(OX\)). Po przesunięciu o \(2\) w dół asymptota pozioma \(g\) to: \[y = 0 - 2 = -2\] Ponieważ \(3^x > 0\) dla każdego \(x\), mamy \(g(x) = 3^x - 2 > -2\). Gdy \(x \to +\infty\): \(g(x) \to +\infty\). Gdy \(x \to -\infty\): \(g(x) \to -2\) (ale nigdy nie osiąga \(-2\)). Funkcja \(g\) jest ciągła i ściśle rosnąca, więc przyjmuje wszystkie wartości z przedziału: \[\boxed{\text{ZW}(g) = (-2, +\infty)}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własności potęg: \[a^2 = 9 \implies a = \sqrt{9} = 3\] Użyliśmy definicji potęgi przy wyznaczaniu podstawy \(a\). **Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - definicja funkcji wykładniczej jako odwrotności logarytmu: \[f(x) = a^x, \quad a > 0, \quad a \neq 1\] Własność kluczowa: \(a^x > 0\) dla każdego \(x \in \mathbb{R}\) - stąd wynika, że zbiór wartości \(f\) to \((0, +\infty)\), a po odjęciu \(2\) zbiór wartości \(g\) to \((-2, +\infty)\). ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \(a^2 = 9\) daje dwa rozwiązania: \(a = 3\) i \(a = -3\). Trzeba odrzucić \(a = -3\), bo podstawa funkcji wykładniczej **musi być dodatnia** (\(a > 0\)). Pominięcie tego warunku to częsty błąd! > ⚠️ **Uwaga:** Zbiór wartości \(g(x) = 3^x - 2\) to \((-2, +\infty)\) - przedział **otwarty** z lewej strony, bo \(g(x)\) nigdy nie osiąga \(-2\) (asymptota). Zapisanie \(\langle -2, +\infty)\) byłoby błędem. > ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie wykresu o \(2\) w dół **nie zmienia kształtu** funkcji ani faktu, że jest rosnąca - ale **zmienia asymptotę** i zbiór wartości. Nie pomyl z przesunięciem poziomym \(f(x-2)\), które przesuwa wykres w prawo. **Rozwiązanie: \(a = 3\), \(Z_g = (-2, +\infty)\)** ### Sposób 1 - Podstawienie punktu i analiza przesunięcia **Krok 1 - wyznaczenie \(a\).** Skoro \(P = (2, 9)\) należy do wykresu \(f\): \[f(2) = a^2 = 9 \Rightarrow a = 3 \text{ lub } a = -3.\] Z założenia \(a > 0\), zatem \(a = 3\). **Krok 2 - zbiór wartości \(g\).** Funkcja wykładnicza \(f(x) = 3^x\) ma zbiór wartości \((0, +\infty)\). Funkcja \(g(x) = f(x) - 2\) powstaje przez przesunięcie wykresu \(f\) o \(2\) jednostki w dół: \[y = f(x) \in (0, +\infty) \Rightarrow y - 2 = g(x) \in (-2, +\infty).\] ### Sposób 2 - Analiza granic wprost Dla \(f(x) = 3^x\): - Gdy \(x \to -\infty\): \(3^x \to 0^+\), więc \(g(x) = 3^x - 2 \to -2^+\) (ale nigdy \(-2\)). - Gdy \(x \to +\infty\): \(3^x \to +\infty\), więc \(g(x) \to +\infty\). Funkcja \(g\) jest ciągła i rosnąca, więc przyjmuje **wszystkie** wartości między \(-2\) (wyłącznie) a \(+\infty\). Zbiór wartości: \((-2, +\infty)\). **Odpowiedź:** \(a = 3\), zbiór wartości \(g\) to \((-2, +\infty)\). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/30) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F30) ## Podobne zadania - [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Dana jest prosta l o równaniu 2 2 3 x y oraz punkt ( ) 2 ,3 - A . Wykres funkcji liniowej f jest prostopadły do prostej l , punkt A należy do - [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-2) (28) Funkcja liniowa 𝑓 przyjmuje wartość 2 dla argumentu 0, a ponadto 𝑓(4) -𝑓(2) = 6. Wyznacz wzór funkcji 𝑓. Odpowiedź: EMAP-P0_100 Rozwiązan - [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-2) Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem ( ) 2 f x x bx c + jest parabola, na której leży punkt ( ) 0, 5 A = . Osią symetrii tej parab - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (𝑘+ 2)𝑥+ (𝑘-3), gdzie 𝑘 jest liczbą rzeczywistą. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybier _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_