# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 31. (0-2)
Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (
)
n
a
, określonego dla
1
n ≥, jest równy 30, a suma jego
dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

MMA_1P
Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla n≥1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(a_1 = -3\)

## Sposób 1 - wzór na sumę przez wyraz dwunasty

Mamy dane:
- \(a_{12} = 30\)
- \(S_{12} = 162\)

Korzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\]

Podstawiamy \(n = 12\), \(a_{12} = 30\), \(S_{12} = 162\):
\[162 = \frac{a_1 + 30}{2} \cdot 12\]

\[162 = 6(a_1 + 30)\]

\[a_1 + 30 = 27\]

\[\boxed{a_1 = -3}\]

## Sposób 2 - układ równań (wzór na \(a_n\) i wzór na \(S_n\))

Zapisujemy dwa równania z dwiema niewiadomymi \(a_1\) i \(r\):

**Równanie I** (wzór na wyraz ogólny):
\[a_{12} = a_1 + 11r = 30\]

**Równanie II** (wzór na sumę):
\[S_{12} = \frac{2a_1 + 11r}{2} \cdot 12 = 162\]

Upraszczamy równanie II:
\[6(2a_1 + 11r) = 162\]
\[2a_1 + 11r = 27\]

Mamy układ:
\[\begin{cases} a_1 + 11r = 30 \\ 2a_1 + 11r = 27 \end{cases}\]

Odejmujemy równanie I od równania II:
\[(2a_1 + 11r) - (a_1 + 11r) = 27 - 30\]
\[a_1 = -3\]

**Wyznaczamy \(r\) (do weryfikacji):**
\[r = \frac{30 - a_1}{11} = \frac{30 - (-3)}{11} = \frac{33}{11} = 3\]

**Weryfikacja:**
\[S_{12} = \frac{2 \cdot (-3) + 11 \cdot 3}{2} \cdot 12 = \frac{-6 + 33}{2} \cdot 12 = \frac{27}{2} \cdot 12 = 162 \checkmark\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzory dla ciągu arytmetycznego:

Wzór na \(n\)-ty wyraz:
\[a_n = a_1 + (n-1)r\]

Wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów:
\[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n\]

W Sposobie 1 korzystaliśmy z pierwszej postaci sumy \(\frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\) - szczególnie wygodnej, gdy znamy ostatni (tu: dwunasty) wyraz. W Sposobie 2 użyliśmy obu wzorów jednocześnie, tworząc układ równań.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\) łatwo zapomnieć pomnożyć przez \(n\) - wtedy dostajemy \(\frac{a_1 + 30}{2} = 162\), co daje błędny wynik \(a_1 = 294\).

> ⚠️ **Uwaga:** Przy układzie równań uważaj na odejmowanie - jeśli odejmiesz w złej kolejności, zmienisz znak i dostaniesz \(a_1 = 3\) zamiast \(a_1 = -3\).

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \(a_n = a_1 + (n-1)r\) ma \((n-1)r\), a nie \(n \cdot r\). Dla \(n=12\) to \(11r\), nie \(12r\) - klasyczna pułapka!

**Odpowiedź: \(a_1 = -3\)**

### Sposób 1 - Wzór na sumę z wyrazem brzegowym
Wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
\[S_n = \tfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n.\]
Dla \(n=12\):
\[162 = \tfrac{a_1 + a_{12}}{2}\cdot 12 = \tfrac{a_1 + 30}{2}\cdot 12 = 6(a_1 + 30).\]
Stąd:
\[162 = 6a_1 + 180\]
\[6a_1 = -18 \Rightarrow a_1 = -3.\]

### Sposób 2 - Układ dwóch równań (dla \(a_1\) i \(r\))
Stosujemy dwa wzory:
- \(a_{12} = a_1 + 11r\), czyli \(a_1 + 11r = 30\).
- \(S_{12} = \tfrac{2a_1 + 11r}{2}\cdot 12 = 6(2a_1 + 11r) = 162\), czyli \(2a_1 + 11r = 27\).

Odejmujemy pierwsze od drugiego:
\[(2a_1 + 11r) - (a_1 + 11r) = 27 - 30\]
\[a_1 = -3.\]

### Sposób 3 - Średnia ciągu arytmetycznego
Dla ciągu arytmetycznego średnia \(n\) początkowych wyrazów to \(\tfrac{a_1+a_n}{2}\) (równa średniej \(a_1\) i \(a_n\)).
\[\bar{a} = \tfrac{S_{12}}{12} = \tfrac{162}{12} = 13{,}5.\]
Z drugiej strony \(\bar{a} = \tfrac{a_1+a_{12}}{2} = \tfrac{a_1+30}{2}\).
\[13{,}5 = \tfrac{a_1+30}{2} \Rightarrow a_1 + 30 = 27 \Rightarrow a_1 = -3.\]

**Odpowiedź:** \(a_1 = -3\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Nieskończony ciąg liczbowy ( ) n a jest określony wzorem 1 2 n a n , 1, 2, 3, n a) Oblicz, ile wyrazów ciągu ( ) n a jest mniejszych od 1,975
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na , gdzie 1 n ≥. Wiadomo, że dla każdego 1 n ≥ suma n początkowych wyrazów 1 2 n n S a a a wyraża się wzorem
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_