# Matematyka — zadanie 32

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/32
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, planimetria

## Treść

Zadanie 32. (0-5)
W układzie współrzędnych punkty
(
)
3
,4
A
i
(
)
10,5
B =
są wierzchołkami trójkąta ABC.
Wierzchołek C leży na prostej o równaniu
3
2 +
x
y
. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego
kąt ABC jest prosty.

MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
32.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

MMA_1P
W układzie współrzędnych punkty A=(4,3) i B=(10,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=2x+3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(C = \left(\dfrac{32}{5},\ \dfrac{79}{5}\right)\)

## Sposób 1 - Warunek prostopadłości wektorów (iloczyn skalarny)

Kąt \(ABC\) jest prosty, gdy odcinki \(BA\) i \(BC\) są prostopadłe - czyli gdy wektory \(\overrightarrow{BA}\) i \(\overrightarrow{BC}\) mają zerowy iloczyn skalarny.

**Krok 1: Wyznaczamy wektor \(\overrightarrow{BA}\)**

\[
\overrightarrow{BA} = A - B = (4-10,\ 3-5) = (-6,\ -2)
\]

**Krok 2: Parametryzujemy punkt C**

Punkt \(C\) leży na prostej \(y = 2x + 3\), więc:
\[
C = (t,\ 2t+3) \quad \text{dla pewnego } t \in \mathbb{R}
\]

**Krok 3: Wyznaczamy wektor \(\overrightarrow{BC}\)**

\[
\overrightarrow{BC} = C - B = (t-10,\ 2t+3-5) = (t-10,\ 2t-2)
\]

**Krok 4: Warunek prostopadłości** \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0\)

\[
(-6)(t-10) + (-2)(2t-2) = 0
\]
\[
-6t + 60 - 4t + 4 = 0
\]
\[
-10t + 64 = 0
\]
\[
t = \frac{64}{10} = \frac{32}{5}
\]

**Krok 5: Obliczamy współrzędne C**

\[
x_C = \frac{32}{5}, \qquad y_C = 2 \cdot \frac{32}{5} + 3 = \frac{64}{5} + \frac{15}{5} = \frac{79}{5}
\]

**Wynik:**
\[
\boxed{C = \left(\frac{32}{5},\ \frac{79}{5}\right)}
\]

## Sposób 2 - Warunek prostopadłości prostych (współczynnik kierunkowy)

Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \(-1\).

**Krok 1: Wyznaczamy nachylenie prostej \(AB\)**

\[
a_{AB} = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \frac{3 - 5}{4 - 10} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}
\]

**Krok 2: Nachylenie prostej BC musi być prostopadłe do AB**

\[
a_{BC} \cdot a_{AB} = -1 \implies a_{BC} = \frac{-1}{\frac{1}{3}} = -3
\]

**Krok 3: Równanie prostej BC** (przez \(B = (10, 5)\) z nachyleniem \(-3\))

\[
y - 5 = -3(x - 10) \implies y = -3x + 35
\]

**Krok 4: Przecięcie prostej BC z prostą \(y = 2x + 3\)**

\[
-3x + 35 = 2x + 3
\]
\[
32 = 5x \implies x = \frac{32}{5}
\]
\[
y = 2 \cdot \frac{32}{5} + 3 = \frac{79}{5}
\]

Wynik identyczny: \(C = \left(\dfrac{32}{5},\ \dfrac{79}{5}\right)\).

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**

Proste prostopadłe - warunek na współczynniki kierunkowe:
\[
a_1 \cdot a_2 = -1
\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia nachylenia prostej \(BC\).

Wektor między dwoma punktami:
\[
\overrightarrow{AB} = [x_B - x_A,\ y_B - y_A]
\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 do obliczenia \(\overrightarrow{BA}\) i \(\overrightarrow{BC}\).

Warunek prostopadłości wektorów (iloczyn skalarny = 0):
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0
\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 jako główny warunek zadania.

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \(ABC\) to kąt **przy wierzchołku B**, więc prostopadłość dotyczy odcinków **BA** i **BC** - nie AB i AC! Łatwo tu pomylić wektory i wziąć np. \(\overrightarrow{AB}\) zamiast \(\overrightarrow{BA}\) - na szczęście iloczyn skalarny daje ten sam wynik (bo \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-1)^2 \cdot \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}\)), ale przy metodzie współczynników kierunkowych już nie można pomylić, czego nachylenie wyznaczamy.

> ⚠️ **Uwaga:** Punkt C musi leżeć na danej prostej - to dodatkowy warunek. Samo wyznaczenie prostej prostopadłej do BA przez B nie wystarcza; trzeba jeszcze znaleźć przecięcie tej prostej z \(y = 2x + 3\).

> ⚠️ **Uwaga:** \(\frac{32}{5} = 6{,}4\) i \(\frac{79}{5} = 15{,}8\) - warto sprawdzić, czy punkt leży na prostej: \(2 \cdot 6{,}4 + 3 = 12{,}8 + 3 = 15{,}8\) ✓. Zawsze wykonaj tę prostą weryfikację!

**Odpowiedź: \(C = \left(\tfrac{32}{5},\ \tfrac{79}{5}\right)\)**

### Sposób 1 - Proste prostopadłe (współczynniki kierunkowe)
**Krok 1 - współczynnik kierunkowy prostej \(AB\):**
\[a_{AB} = \tfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \tfrac{5-3}{10-4} = \tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3}.\]

**Krok 2 - prosta \(BC\) prostopadła do \(AB\)** (kąt prosty przy \(B\)):
Współczynnik \(a_{BC} = -\tfrac{1}{a_{AB}} = -3\).
Przechodzi przez \(B=(10,5)\):
\[y - 5 = -3(x - 10) \Rightarrow y = -3x + 35.\]

**Krok 3 - punkt wspólny prostej \(BC\) i prostej \(y = 2x+3\):**
\[2x + 3 = -3x + 35 \Rightarrow 5x = 32 \Rightarrow x = \tfrac{32}{5}.\]
\[y = 2\cdot\tfrac{32}{5} + 3 = \tfrac{64}{5} + \tfrac{15}{5} = \tfrac{79}{5}.\]
\[C = \left(\tfrac{32}{5}, \tfrac{79}{5}\right).\]

### Sposób 2 - Iloczyn skalarny wektorów
Wektor \(\vec{BA} = (4-10, 3-5) = (-6, -2)\), \(\vec{BC} = (x_C - 10, y_C - 5)\).
Kąt prosty przy \(B\) oznacza \(\vec{BA}\circ\vec{BC} = 0\):
\[-6(x_C-10) + (-2)(y_C-5) = 0\]
\[-6x_C + 60 - 2y_C + 10 = 0\]
\[3x_C + y_C = 35.\]
Ponieważ \(C\) leży na \(y = 2x+3\), mamy \(y_C = 2x_C + 3\):
\[3x_C + 2x_C + 3 = 35 \Rightarrow 5x_C = 32 \Rightarrow x_C = \tfrac{32}{5}, \ y_C = \tfrac{79}{5}.\]

### Sposób 3 - Twierdzenie Pitagorasa
\(C = (x, 2x+3)\). Z Pitagorasa \(|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2\):
\[(x-4)^2 + (2x+3-3)^2 = (10-4)^2+(5-3)^2 + (x-10)^2+(2x+3-5)^2\]
Po uproszczeniu: \(20x = 128 \Rightarrow x = \tfrac{32}{5}\).

**Odpowiedź:** \(C = \left(\tfrac{32}{5}, \tfrac{79}{5}\right)\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/32)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F32)

## Podobne zadania

- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2009-styczen-probna-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (7 pkt) Środek okręgu przechodzącego przez punkty ( ) 1, 4 A = i ( ) 6, 3 B = - leży na osi Ox. a) Wyznacz równanie tego okręgu. b) Wyznacz równanie 
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Prosta 𝑘 o równaniu 𝑥+ 𝑦-9 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 1 4 𝑥2 -3 2 𝑥+ 1 4 w punktach 𝐴 oraz 𝐵. Pierwsza współrzędna punktu 𝐴 jest licz
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2010-maj-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (6 pkt) Punkt ( 2,5) A = - jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego , ABC w którym AC BC Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC jest zaw
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-5) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-4, -2) i 𝐵= (-2, 10) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzcho

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_