# Matematyka — zadanie 33

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/33
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, prawdopodobieństwo

## Treść

Zadanie 33. (0-4)
Dane są dwa zbiory:
{
}
100, 200, 300, 400, 500, 600, 700
A =
i
{
}
10,11,12,13,14,15,16
B =
Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego
na
tym,
że
suma
wylosowanych
liczb
będzie
podzielna
przez
3.
Obliczone
prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
33.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

MMA_1P
Dane są dwa zbiory A={100, 200, 300, 400, 500, 600, 700} i B={10,11, 12, 13,14,15, 16} Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(\dfrac{16}{49}\)

## Sposób 1 - Reszty z dzielenia przez 3 (metoda modulo)

**Kluczowe spostrzeżenie:** suma \(a + b\) jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma reszt \((a \bmod 3) + (b \bmod 3)\) jest podzielna przez 3.

**Krok 1. Podziel elementy zbioru A według reszt z dzielenia przez 3.**

| Reszta z ÷3 | Elementy z A |
|:-----------:|:-------------|
| 0 | 300, 600 → **2 liczby** |
| 1 | 100, 400, 700 → **3 liczby** |
| 2 | 200, 500 → **2 liczby** |

**Krok 2. Podziel elementy zbioru B według reszt z dzielenia przez 3.**

| Reszta z ÷3 | Elementy z B |
|:-----------:|:-------------|
| 0 | 12, 15 → **2 liczby** |
| 1 | 10, 13, 16 → **3 liczby** |
| 2 | 11, 14 → **2 liczby** |

**Krok 3. Ustal, które pary reszt dają sumę podzielną przez 3.**

Potrzebujemy \((r_A + r_B) \equiv 0 \pmod{3}\), czyli:

\[(r_A, r_B) \in \{(0,0),\; (1,2),\; (2,1)\}\]

**Krok 4. Policz sprzyjające pary.**

\[
\underbrace{2 \cdot 2}_{(0,0)} + \underbrace{3 \cdot 2}_{(1,2)} + \underbrace{2 \cdot 3}_{(2,1)} = 4 + 6 + 6 = 16
\]

**Krok 5. Policz wszystkie możliwe pary.**

\[|\Omega| = 7 \cdot 7 = 49\]

**Krok 6. Oblicz prawdopodobieństwo.**

\[P = \frac{16}{49}\]

Sprawdzamy skracalność: \(16 = 2^4\), \(49 = 7^2\) - brak wspólnych czynników, więc ułamek jest już nieskracalny.

\[\boxed{P = \frac{16}{49}}\]

## Sposób 2 - Weryfikacja przez bezpośrednie wyliczenie (sumowanie przypadków)

Wypisujemy wszystkie 49 par \((a, b)\) i sprawdzamy podzielność sumy przez 3. Zamiast pisać wszystkich 49, korzystamy z tabeli:

| \(b \backslash a\) | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| **10** | 110 | 210✓ | 310 | 410 | 510✓ | 610 | 710 |
| **11** | 111✓ | 211 | 311 | 411✓ | 511 | 611✓ | 711 |
| **12** | 112 | 212 | **312✓** | 412 | 512 | **612✓** | 712 |
| **13** | 113 | 213✓ | 313 | 413 | 513✓ | 613 | 713 |
| **14** | 114✓ | 214 | 314 | 414✓ | 514 | 614✓ | 714 |
| **15** | 115 | 215 | **315✓** | 415 | 515 | **615✓** | 715 |
| **16** | 116 | 216✓ | 316 | 416 | 516✓ | 616 | 716 |

Zaznaczone ✓ (podzielne przez 3): 210, 510, 111, 411, 611, 312, 612, 213, 513, 114, 414, 614, 315, 615, 216, 516

Liczymy: **16 przypadków** → \(P = \dfrac{16}{49}\) ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:
\[P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\]
gdzie \(|\Omega|\) to liczba wszystkich równie prawdopodobnych wyników, a \(|A|\) - liczba wyników sprzyjających. Użyliśmy tego w obu sposobach: \(|\Omega| = 49\), \(|A| = 16\).

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić podzielności każdej liczby z osobna - trzeba badać **pary** i ich sumę. Częsty błąd: "w A są 2 wielokrotności 3, w B są 2 wielokrotności 3, więc szukana liczba par to \(2 \times 2 = 4\)". To nieprawda - pomija się przypadki (1,2) i (2,1).

> ⚠️ **Uwaga:** Reszta z dzielenia przez 3 zależy tylko od cyfr składowych. Np. \(100 \bmod 3 = 1\) (bo \(1+0+0=1\)), \(700 \bmod 3 = 1\) (bo \(7+0+0 = 7\), a \(7 \bmod 3 = 1\)). To szybki sposób na unikanie obliczeń dzielenia.

> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, czy ułamek jest nieskracalny - treść zadania tego wymaga! Tu \(\gcd(16, 49) = 1\), więc \(\frac{16}{49}\) jest już w postaci nieskracalnej.

**Odpowiedź: \(P(A) = \tfrac{16}{49}\)**

### Sposób 1 - Reszty z dzielenia przez 3
**Krok 1 - \(|\Omega|\).** Losujemy jedną liczbę z każdego zbioru, każdy ma 7 elementów:
\[|\Omega| = 7\cdot 7 = 49.\]

**Krok 2 - klasyfikacja reszt mod 3:**

Liczby z \(A\) mod 3 (suma cyfr):
- reszta 0: \(\{300, 600\}\) → 2 liczby
- reszta 1: \(\{100, 400, 700\}\) → 3 liczby
- reszta 2: \(\{200, 500\}\) → 2 liczby

Liczby z \(B\) mod 3:
- reszta 0: \(\{12, 15\}\) → 2 liczby
- reszta 1: \(\{10, 13, 16\}\) → 3 liczby
- reszta 2: \(\{11, 14\}\) → 2 liczby

**Krok 3 - zdarzenie sprzyjające: \(a+b \equiv 0 \pmod{3}\)**
- \(a \equiv 0\) i \(b \equiv 0\): \(2 \cdot 2 = 4\)
- \(a \equiv 1\) i \(b \equiv 2\): \(3 \cdot 2 = 6\)
- \(a \equiv 2\) i \(b \equiv 1\): \(2 \cdot 3 = 6\)

Razem: \(|A| = 4 + 6 + 6 = 16\).

**Krok 4 - prawdopodobieństwo:**
\[P(A) = \tfrac{|A|}{|\Omega|} = \tfrac{16}{49}.\]
Gdzie \(\gcd(16, 49) = 1\) - ułamek jest nieskracalny.

### Sposób 2 - Drzewo prawdopodobieństwa
W pierwszym losowaniu (ze \(A\)): \(P(\equiv 0) = \tfrac{2}{7}\), \(P(\equiv 1) = \tfrac{3}{7}\), \(P(\equiv 2) = \tfrac{2}{7}\).
W drugim losowaniu (z \(B\)): takie same.
\[P(A) = \tfrac{2}{7}\cdot\tfrac{2}{7} + \tfrac{3}{7}\cdot\tfrac{2}{7} + \tfrac{2}{7}\cdot\tfrac{3}{7} = \tfrac{4+6+6}{49} = \tfrac{16}{49}.\]

### Sposób 3 - Tabela 7×7
Można narysować tabelę 7 kolumn × 7 wierszy, oznaczyć × w komórkach, gdzie suma podzielna przez 3. Zliczamy 16 komórek.

**Odpowiedź:** \(P = \tfrac{16}{49}\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/33)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F33)

## Podobne zadania

- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-rozszerzona-2/zad/11) — Zadanie 11. (5 pkt) Rzucamy trzykrotnie symetryczną kostką sześcienną do gry. Oblicz prawdopodobieństwa następujących zdarzeń: A - na każdej kostce wypadnie nie
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-4) Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: 𝒫1, 𝒫2, 𝒫3. Stosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: 𝒫1, 𝒫2, 𝒫3. Stosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarni
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-4) Egzamin składa się z 15 zadań zamkniętych. Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których tylko jedna okazuje się poprawna. Zdający za

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_