# Matematyka — zadanie 34

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/34
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: open
- działy: Stereometria

## Treść

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny

/matma-quiz/images/cke/2018-Matematyka-PP/z34.png

. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 45 3 . Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa. \(MMA_{1}P\) 34. 4 --- --- | Nr zadania || 4 | |

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: \(V = \dfrac{81}{2}\)

## Sposób 1 - Układ równań z warunków zadania

**Oznaczenia:**
- \(a\) - bok trójkąta równobocznego (podstawy)
- \(h\) - wysokość graniastosłupa

**Krok 1: Wyrażamy pola.**

Pole podstawy (trójkąt równoboczny):
\[P_\text{podst} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]

Pole jednej ściany bocznej (prostokąt):
\[P_\text{boczna} = a \cdot h\]

**Krok 2: Korzystamy z warunku \(P_\text{podst} = P_\text{boczna}\).**
\[\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a \cdot h\]
\[h = \frac{a\sqrt{3}}{4}\]

**Krok 3: Obliczamy pole powierzchni całkowitej.**

Graniastosłup trójkątny ma: 2 podstawy + 3 ściany boczne.

Skoro \(P_\text{podst} = P_\text{boczna}\), możemy napisać:
\[P_c = 2 \cdot P_\text{podst} + 3 \cdot P_\text{boczna} = 2 \cdot P_\text{podst} + 3 \cdot P_\text{podst} = 5 \cdot P_\text{podst}\]

Zatem:
\[5 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 45\sqrt{3}\]
\[\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\]
\[\frac{a^2}{4} = 9\]
\[a^2 = 36 \implies \mathbf{a = 6}\]

**Krok 4: Wyznaczamy wysokość graniastosłupa.**
\[h = \frac{6\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\]

**Krok 5: Obliczamy objętość.**
\[V = P_\text{podst} \cdot h = \frac{6^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9 \cdot 3 \cdot 3}{2} = \boxed{\frac{81}{2}}\]

## Sposób 2 - Weryfikacja i bezpośrednie podstawienie

Sprawdzamy, czy wynik \(a = 6\), \(h = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) spełnia oba warunki zadania.

**Sprawdzenie warunku 1:** \(P_\text{podst} = P_\text{boczna}\)
\[P_\text{podst} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\]
\[P_\text{boczna} = 6 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \quad \checkmark\]

**Sprawdzenie warunku 2:** \(P_c = 45\sqrt{3}\)
\[P_c = 2 \cdot 9\sqrt{3} + 3 \cdot 9\sqrt{3} = 18\sqrt{3} + 27\sqrt{3} = 45\sqrt{3} \quad \checkmark\]

**Obliczenie objętości:**
\[V = P_\text{podst} \cdot h = 9\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{27 \cdot 3}{2} = \frac{81}{2}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28):**

Graniastosłup prosty - objętość i pole powierzchni bocznej:
\[V = P_p \cdot h, \qquad P_b = O_b \cdot h\]
Użyliśmy wzoru \(V = P_p \cdot h\) do obliczenia objętości.

**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21):**

Pole trójkąta równobocznego o boku \(a\):
\[P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]
Użyliśmy tego wzoru do obliczenia pola podstawy graniastosłupa.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa **trójkątnego** to 2 podstawy + **3** ściany boczne, nie 4. Łatwo pomylić z czworokątnym!

> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \(P_\text{podst} = P_\text{boczna}\), bardzo wygodnie napisać \(P_c = 5 \cdot P_\text{podst}\) - to upraszcza obliczenia i eliminuje jedną niewiadomą od razu.

> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\) - to częste miejsce błędu przy końcowym mnożeniu. Upewnij się, że wymnażasz przez \(3\), a nie zostawiasz \(\sqrt{3}\).

**Odpowiedź: \(V = \tfrac{81}{2}\)**

### Sposób 1 - Wszystkie 5 ścian ma to samo pole
Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma **5 ścian**: 2 podstawy (trójkąty równoboczne) + 3 ściany boczne (prostokąty). Z warunku zadania pola podstawy i ściany bocznej są równe, więc **wszystkie 5 ścian ma to samo pole**.
\[P_\text{ściany} = \tfrac{45\sqrt{3}}{5} = 9\sqrt{3}.\]

**Krok 1 - długość krawędzi podstawy \(a\).**
Pole trójkąta równobocznego:
\[\tfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \Rightarrow a^2 = 36 \Rightarrow a = 6.\]

**Krok 2 - wysokość graniastosłupa \(h\).**
Pole ściany bocznej (prostokąta \(a\times h\)):
\[a\cdot h = 9\sqrt{3} \Rightarrow 6h = 9\sqrt{3} \Rightarrow h = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}.\]

**Krok 3 - objętość.**
\[V = P_\text{podst}\cdot h = 9\sqrt{3}\cdot\tfrac{3\sqrt{3}}{2} = \tfrac{27\cdot 3}{2} = \tfrac{81}{2}.\]

### Sposób 2 - Układ równań z dwiema niewiadomymi
Oznaczmy \(a\) - długość krawędzi podstawy, \(h\) - wysokość graniastosłupa.

Warunek 1 (równość pól podstawy i ściany bocznej):
\[\tfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = ah \Rightarrow h = \tfrac{a\sqrt{3}}{4}.\]

Warunek 2 (pole powierzchni całkowitej):
\[2\cdot\tfrac{a^2\sqrt{3}}{4} + 3ah = 45\sqrt{3}\]
\[\tfrac{a^2\sqrt{3}}{2} + 3a\cdot\tfrac{a\sqrt{3}}{4} = 45\sqrt{3}\]
\[\tfrac{2a^2\sqrt{3} + 3a^2\sqrt{3}}{4} = 45\sqrt{3}\]
\[\tfrac{5a^2\sqrt{3}}{4} = 45\sqrt{3} \Rightarrow a^2 = 36 \Rightarrow a = 6.\]
Stąd \(h = \tfrac{6\sqrt{3}}{4} = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\).

Objętość:
\[V = \tfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h = 9\sqrt{3}\cdot\tfrac{3\sqrt{3}}{2} = \tfrac{81}{2}.\]

**Odpowiedź:** \(V = \tfrac{81}{2} = 40{,}5\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/34)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F34)

## Podobne zadania

- [Zadanie 36](https://matura.lol/question/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/36) — Zadanie 36. (0-5) Podstawą graniastosłupa prostego 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 jest trójkąt równoramienny 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, |𝐴𝐵| = 8. Wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶, poprowadzona z 
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-5) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nac
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (5 pkt) Dany jest graniastosłup czworokątny prosty ABCDEFGH o podstawach ABCD i EFGH oraz krawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. Podstawa ABCD granias
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-4) Odcinek 𝐴𝐷 jest wysokością walca, a odcinek 𝐴𝐵 jest średnicą podstawy walca. Odcinek 𝐵𝐷 ma długość 4√3. Miara kąta 𝐴𝐵𝐷 jest równa 30° (zobacz 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_