# Matematyka — zadanie 4

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/4
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Liczby rzeczywiste, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 4. (0-1)
Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował
A. 865,00 zł
B. 850,15 zł
C. 1000,00 zł
D. 977,50 zł
Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował A. 865,00 zł, B. 850,15 zł, C. 1000,00 zł, D. 977,50 zł.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C - 1000,00 zł

## Sposób 1 - równanie z jedną niewiadomą

Oznaczmy cenę roweru przed obniżką jako \(x\).

Obniżka o 15% oznacza, że zapłaciliśmy **85% ceny pierwotnej** (bo \(100\% - 15\% = 85\%\)).

Zapisujemy równanie:
\[x \cdot 85\% = 850\]
\[x \cdot \frac{85}{100} = 850\]
\[x = 850 \cdot \frac{100}{85}\]
\[x = 850 \cdot \frac{20}{17}\]
\[x = \frac{17000}{17} = \mathbf{1000 \text{ zł}}\]

**Cena przed obniżką wynosiła 1000 zł.**

## Sposób 2 - weryfikacja (sprawdzenie wyniku)

Sprawdzamy, czy 15% zniżka od 1000 zł daje 850 zł:

\[15\% \cdot 1000 = \frac{15}{100} \cdot 1000 = 150 \text{ zł}\]

Cena po obniżce:
\[1000 - 150 = 850 \text{ zł} \checkmark\]

Wynik się zgadza - odpowiedź C jest poprawna.

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania arytmetyczne (obliczanie procentu danej liczby, układanie prostego równania).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A - 865,00 zł | Dodanie 15 do 850 zamiast obliczenia ceny bazowej: \(850 + 15 = 865\). Całkowity bezsens - obniżka o 15 zł to nie 15%. |
| B - 850,15 zł | Dodanie 0,15 do 850: \(850 + 0{,}15 = 850{,}15\). Mylenie procenta z ułamkiem dziesiętnym. |
| D - 977,50 zł | **Najczęstszy błąd!** Dodanie 15% od ceny PO obniżce: \(850 + 15\% \cdot 850 = 850 + 127{,}5 = 977{,}5\). Uczeń liczy procent od złej podstawy - od ceny obniżonej, a nie pierwotnej. |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Największa pułapka to odpowiedź D. Wielu uczniów myśli „cena wzrosła o 15%, więc dodaję 15% do 850 zł". To błąd - 15% przed obniżką to **inna kwota** niż 15% po obniżce. Podstawa procentu jest różna!

> ⚠️ **Uwaga:** Cena po obniżce to **85%** ceny pierwotnej, **nie** 115%. Obniżka zmniejsza cenę, więc dzielimy przez 0,85 (lub mnożymy przez \(\frac{100}{85}\)), a nie przez 1,15.

> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź wynik - weź odpowiedź i oblicz, ile to 15% od tej kwoty. Jeśli wynik po odjęciu daje 850, masz rację.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Równanie na cenę początkową
Niech \(x\) - cena przed obniżką. Obniżka 15% oznacza, że zostaje \(85\%\) ceny:
\[0{,}85x = 850 \;\Longrightarrow\; x = \tfrac{850}{0{,}85} = 1000.\]

### Sposób 2 - Proporcja
\(850\) zł to \(85\%\) ceny początkowej, więc \(1\%\) to \(\tfrac{850}{85} = 10\) zł, a \(100\%\) to \(1000\) zł.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. 865 zł** - ktoś dodał 15 zł do 850 zł (zamiast 15%).
- **B. 850,15 zł** - ktoś zinterpretował "15%" jako "15 groszy".
- **D. 977,50 zł** - obliczono \(850 + 15\% \cdot 850 = 850 + 127{,}50 = 977{,}50\). Klasyczna pułapka! Dodanie 15% od **obniżonej** ceny daje inny wynik niż cena początkowa, bo \(15\%\) z 850 to nie to samo, co \(15\%\) z \(x\).

**Sprawdzenie:** \(1000 - 15\%\cdot 1000 = 1000 - 150 = 850\) zł ✓

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1: Obliczenie ceny przed obniżką
1. **Zrozumienie problemu:** Wiemy, że cena po obniżce (850 zł) stanowi 85% ceny początkowej. Musimy więc obliczyć 100% ceny początkowej.
2. **Ustawienie równania:** Niech x to cena przed obniżką. Zgodnie z treścią zadania:
\(x - 0.15x = 850\)
\(0.85x = 850\)
3. **Rozwiązanie równania:** Dzielimy obie strony przez 0.85:
\(x = \frac{850}{0.85} = 1000\)
Zatem cena przed obniżką wynosi 1000 zł.

📖 Karta wzorów: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b, strona 5

### Sposób 2: Wykorzystanie proporcji
1. **Zrozumienie problemu:** Obniżka o 15% oznacza, że 85% ceny początkowej to 850 zł.
2. **Ustawienie proporcji:**
\(\frac{850}{x} = \frac{85}{100}\) (gdzie x to cena początkowa)
3. **Rozwiązanie proporcji:** Przekształcamy proporcję:
\(85x = 850 \cdot 100\)
\(85x = 85000\)
\(x = \frac{85000}{85} = 1000\)
Zatem cena przed obniżką wynosi 1000 zł.

📖 Karta wzorów: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b, strona 5

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **A. 865,00 zł:** Jeśli cena początkowa wynosiłaby 865 zł, to po obniżce o 15% (865 * 0.15 = 129,75) cena wyniosłaby 865 - 129.75 = 735.25 zł, co nie zgadza się z podaną ceną po obniżce (850 zł).
* **B. 850,15 zł:** Podobnie jak w przypadku A, obliczenie obniżki (850,15 * 0.15 = 127,52) dałoby cenę przed obniżką 850,15 - 127.52 = 722.63 zł, co nie zgadza się z podaną ceną po obniżce.
* **D. 977,50 zł:** Obliczenie obniżki (977.50 * 0.15 = 146.63) dałoby cenę przed obniżką 977.50 - 146.63 = 830.87 zł, co również nie zgadza się z podaną ceną po obniżce.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/4)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F4)

## Podobne zadania

- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/21) — Zadanie 21. (0-3) Pani Maria w 2015 roku łącznie zarobiła 43 740 zł. W każdym miesiącu od stycznia do września włącznie otrzymywała pensję tej samej wysokości. 
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Niech 4 log7 a Wyznacz 49 log 2 w zależności od a. Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 3
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b określamy liczby aDb i a∗b w następujący sposób: aDb = liczba nie mniejsza spośród liczb a i b, a∗b =
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/2) — Zadanie 2. (0-2) Pensja pana X jest o 50% wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o 40% niższa od średniej krajowej. Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_