# Matematyka — zadanie 5

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/5
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Zadanie 5. (0-1)
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1 2
1
2
3
x
>
jest przedział
A.
1
, 6


-∞




B.
2
, 3


-∞




C.
1 ,
6


+ ∞




D.
2 ,
3


+ ∞




Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1-2x/2 > 1/3 jest przedział A. (-∞,1/6), B. (-∞,2/3), C. (1/6, +\infty), D. (2/3,+∞).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A

Zbiorem rozwiązań jest przedział \(\left(-\infty, \dfrac{1}{6}\right)\).

## Sposób 1 - Mnożenie przez NWW mianowników

Mianowniki to \(2\) i \(3\), więc NWW = \(6\). Mnożymy obie strony przez \(6 > 0\) - **znak nierówności się nie zmienia**.

\[\frac{1-2x}{2} > \frac{1}{3}\]

\[6 \cdot \frac{1-2x}{2} > 6 \cdot \frac{1}{3}\]

\[3(1-2x) > 2\]

\[3 - 6x > 2\]

\[-6x > 2 - 3\]

\[-6x > -1\]

Dzielimy obie strony przez \(-6 < 0\) - **znak nierówności się odwraca!**

\[x < \frac{-1}{-6}\]

\[x < \frac{1}{6}\]

**Odpowiedź: \(x \in \left(-\infty, \dfrac{1}{6}\right)\)**

## Sposób 2 - Przenoszenie wyrazów (bez mnożenia przez NWW)

Przenosimy \(\dfrac{1}{3}\) na lewą stronę:

\[\frac{1-2x}{2} - \frac{1}{3} > 0\]

Sprowadzamy do wspólnego mianownika \(6\):

\[\frac{3(1-2x)}{6} - \frac{2}{6} > 0\]

\[\frac{3 - 6x - 2}{6} > 0\]

\[\frac{1 - 6x}{6} > 0\]

Ponieważ \(6 > 0\), dzielimy przez \(6\) bez zmiany znaku:

\[1 - 6x > 0\]

\[-6x > -1\]

\[x < \frac{1}{6}\]

**Wynik zgodny: \(x \in \left(-\infty, \dfrac{1}{6}\right)\)**

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą elementarne własności nierówności (mnożenie/dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak). To materiał z algebry podstawowej, nieujęty w karcie wzorów.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| B | Obliczono \(\dfrac{1-2x}{2} > \dfrac{1}{3}\) i otrzymano \(x < \dfrac{2}{3}\) - błąd przy upraszczaniu: zapomniano pomnożyć \(\dfrac{1}{3}\) przez \(3\) (wzięto \(1-2x > \dfrac{2}{3}\) zamiast \(3(1-2x) > 2\)) |
| C | Poprawnie wyznaczono \(\left|\dfrac{1}{6}\right|\), ale zapomniano odwrócić znak przy dzieleniu przez \(-6\) - uczeń wziął \(x > \dfrac{1}{6}\) zamiast \(x < \dfrac{1}{6}\) |
| D | Połączono oba błędy: zła wartość graniczna \(\dfrac{2}{3}\) i nieodwrócony znak nierówności |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Kiedy **dzielisz lub mnożysz nierówność przez liczbę ujemną**, musisz **odwrócić znak** (\(>\) staje się \(<\)). To najczęstszy błąd w tym zadaniu - podział przez \(-6\) zmienia kierunek nierówności!

> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc przez NWW, pamiętaj pomnożyć **obie strony w całości** - w tym zadaniu lewą stronę przez \(6\) (skraca się z \(2\), zostaje \(3\)), a prawą przez \(6\) (skraca się z \(3\), zostaje \(2\)). Błędem jest wzięcie samej liczby przed \(x\) bez reszty ułamka.

> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \(x < \dfrac{1}{6}\) zapisujemy jako przedział **otwarty** \(\left(-\infty, \dfrac{1}{6}\right)\) - bez nawiasu kwadratowego, bo \(x = \dfrac{1}{6}\) nie spełnia nierówności ostrej.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Mnożenie przez wspólny mianownik
Mnożymy obie strony przez \(6\) (liczba dodatnia, znak nierówności bez zmiany):
\[\tfrac{1-2x}{2} > \tfrac{1}{3} \;\Big|\cdot 6\]
\[3(1-2x) > 2\]
\[3 - 6x > 2\]
\[-6x > -1\]
Dzielimy przez \(-6\) (liczba ujemna - **zmiana znaku nierówności**):
\[x < \tfrac{1}{6}.\]
Zatem \(x\in\left(-\infty,\tfrac{1}{6}\right)\).

### Sposób 2 - Podstawienie kontrolne
- \(x = 0\): \(\tfrac{1}{2} > \tfrac{1}{3}\) ✓ - zatem 0 należy do zbioru, co eliminuje C i D.
- \(x = 1\): \(\tfrac{-1}{2} > \tfrac{1}{3}\) ✗ - więc 1 nie należy.
- \(x = \tfrac{1}{2}\): \(\tfrac{0}{2} = 0 > \tfrac{1}{3}\) ✗.
- \(x = \tfrac{1}{6}\): \(\tfrac{1-1/3}{2} = \tfrac{1}{3} > \tfrac{1}{3}\) ✗ (znak ostry).

Zbiór: \(\left(-\infty, \tfrac{1}{6}\right)\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B.** Ktoś pomylił stronę znaku przy mnożeniu mianowników lub mylnie ocenił \(x\).
- **C.** Ktoś zapomniał zmienić znak nierówności przy dzieleniu przez liczbę ujemną (pułapka!).
- **D.** Dwa błędy: zły punkt graniczny + zła strona przedziału.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1: Rozwiązanie nierówności za pomocą własności iloczynów
Rozważmy nierówność: \(1 - 2x > 1 - \frac{1}{3}\)
Przenosimy wyrazy na lewą stronę:
\(1 - 2x - 1 + \frac{1}{3} > 0\)
\(-2x + \frac{1}{3} > 0\)
Przenosimy \(2x\) na prawą stronę:
\(\frac{1}{3} - 2x > 0\)
Przenosimy \(2x\) na lewą stronę:
\(\frac{1}{3} > 2x\)
Dzielimy obie strony przez 2:
\(x < \frac{1}{6}\)
Zatem rozwiązaniem jest przedział \(\left(-\infty, \frac{1}{6}\right)\).

📖 Karta wzorów: Logarytmy, nierówności, strona 13

### Sposób 2: Rozwiązanie nierówności za pomocą przekształceń algebraicznych
Rozważmy nierówność: \(1 - 2x > 1 - \frac{1}{3}\)
Z prawej strony mamy: \(1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
Zatem nierówność to: \(1 - 2x > \frac{2}{3}\)
Odejmujemy 1 od obu stron:
\(-2x > \frac{2}{3} - 1\)
\(-2x > \frac{2}{3} - \frac{3}{3}\)
\(-2x > -\frac{1}{3}\)
Dzielimy obie strony przez -2 (pamiętając o zmianie znaku nierówności):
\(x < \frac{-\frac{1}{3}}{-2}\)
\(x < \frac{1}{6}\)
Zatem rozwiązaniem jest przedział \(\left(-\infty, \frac{1}{6}\right)\).

📖 Karta wzorów: Nierówności, strona 4

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **B.** \(-\infty, \frac{2}{3}\) - To rozwiązanie dla nierówności \(1 - 2x < \frac{2}{3}\), a nie \(1 - 2x > \frac{2}{3}\).
* **C.** \(\frac{1}{6}, +\infty\) - To rozwiązanie dla nierówności \(1 - 2x < \frac{1}{6}\), a nie \(1 - 2x > \frac{1}{6}\). Ponadto, \(\frac{1}{6} + \infty\) nie ma sensu w kontekście przedziału.
* **D.** \(-\infty, 0\) - To rozwiązanie dla nierówności \(1 - 2x < 0\), a nie \(1 - 2x > 0\). Ponadto, \(0\) nie jest przedziałem.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/5)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F5)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb
- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia.
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_