# Matematyka — zadanie 6

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/6
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Funkcje

## Treść

Zadanie 6. (0-1)
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem
. Liczby
1x ,
2x są
różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem
A.
1
2
8
x
x
B.
1
2
2
x
x
C.
1
2
2
x
x
D.
1
2
8
x
x
( )
(
)(
)
2
3
5
f x
x
x

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

MMA_1P
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem f(x) = -2(x+3)(x-5). Liczby x_1, x_2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Zatem A. x_1 + x_2 = -8, B. x_1 + x_2 = -2, C. x_1 + x_2 = 2, D. x_1 + x_2 = 8.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C

\(x_1 + x_2 = 2\)

## Sposób 1 - Bezpośredni odczyt miejsc zerowych z postaci iloczynowej

Funkcja jest dana w **postaci iloczynowej**:
\[f(x) = -2(x+3)(x-5)\]

Miejsca zerowe to rozwiązania równania \(f(x) = 0\):
\[-2(x+3)(x-5) = 0\]

Iloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem:
\[x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = -3\]
\[x - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 5\]

Zatem:
\[x_1 + x_2 = -3 + 5 = \mathbf{2}\]

## Sposób 2 - Wzory Viète'a

Rozwijamy postać iloczynową do postaci ogólnej:
\[f(x) = -2(x+3)(x-5) = -2(x^2 - 5x + 3x - 15) = -2(x^2 - 2x - 15)\]
\[f(x) = -2x^2 + 4x + 30\]

Mamy więc \(a = -2\), \(b = 4\), \(c = 30\).

Ze wzorów Viète'a:
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{-2} = \mathbf{2}\]

Wynik ten sam - **\(x_1 + x_2 = 2\)**.

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a:
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]
Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia sumy miejsc zerowych bez liczenia pierwiastków.

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:
\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\]
W Sposobie 1 skorzystaliśmy z faktu, że czynniki liniowe bezpośrednio dają miejsca zerowe.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | \(x_1 + x_2 = -8\) - uczeń dodał pierwiastki ze znakiem: \((-3) + (-5) = -8\), traktując \((x+3)(x-5)\) jakby obie liczby to były \(-3\) i \(-5\) |
| B | \(x_1 + x_2 = -2\) - uczeń pomylił sumę z różnicą: \(3 - 5 = -2\), czyli wziął wartości z nawiasów nie zmieniając znaków |
| D | \(x_1 + x_2 = 8\) - uczeń policzył \(3 + 5 = 8\), ignorując znaki przy wyznaczaniu miejsc zerowych z nawiasów |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Z czynnika \((x + 3)\) wynika miejsce zerowe \(x_1 = \mathbf{-3}\), nie \(+3\)! Musisz rozwiązać \(x + 3 = 0\). To najczęstszy błąd w tym typie zadań.

> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik \(-2\) z przodu **nie wpływa na miejsca zerowe** - iloczyn jest zerem niezależnie od tego, przez co go mnożymy (o ile mnożnik jest niezerowy). Nie wstawiaj go do obliczeń sumy.

> ⚠️ **Uwaga:** Stosując wzory Viète'a, pamiętaj odczytać \(a\), \(b\), \(c\) z **pełnej postaci ogólnej** - tutaj \(a = -2\), nie \(a = 2\). Pomyłka znaku przy \(a\) zmieni wynik.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Odczytanie miejsc zerowych z postaci iloczynowej
Funkcja dana jest w postaci iloczynowej \(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\). Z porównania:
\[-2(x+3)(x-5) = -2(x-(-3))(x-5)\]
widać, że \(x_1 = -3\), \(x_2 = 5\). Suma:
\[x_1 + x_2 = -3 + 5 = 2.\]

### Sposób 2 - Rozwinięcie do postaci ogólnej i wzór Viète'a
\[f(x) = -2(x+3)(x-5) = -2(x^2 - 2x - 15) = -2x^2 + 4x + 30.\]
Wzór Viète'a: \(x_1 + x_2 = -\tfrac{b}{a} = -\tfrac{4}{-2} = 2\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(-8\)** - ktoś odczytał miejsca zerowe jako \(-3\) i \(-5\) (błąd znaku w drugim nawiasie, \((x-5)\) to \(x=5\), nie \(x=-5\)).
- **B. \(-2\)** - jeden znak pomylony: \(3-5 = -2\); czyli oba miejsca wzięte z nawiasów bez zmiany znaku.
- **D. 8** - oba znaki pomylone: \(3+5=8\), gdyby miejsca wzięto jako \(3\) i \(5\).

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1: Obliczanie pierwiastków równania kwadratowego
1. **Zapisanie równania:** Funkcja f(x) jest określona wzorem f(x) = -2(x + 3)(x - 5). Pierwiastki funkcji kwadratowej to wartości x, dla których f(x) = 0. Zatem musimy rozwiązać równanie:
-2(x + 3)(x - 5) = 0
2. **Rozwiązanie równania:** Aby iloczyn był równy zero, co najmniej jeden z czynników musi być równy zero. Zatem:
* x + 3 = 0 => x₁ = -3
* x - 5 = 0 => x₂ = 5
3. **Sprawdzenie odpowiedzi:** Szukamy, które z podanych odpowiedzi dają sumę x₁ + x₂ = -8. W naszym przypadku x₁ + x₂ = -3 + 5 = 2. Zatem odpowiedź C jest poprawna.

📖 Karta wzorów: **Wzory skrócone** 7, strona **7** (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b))

### Sposób 2: Użycie wzoru na sumę pierwiastków równania kwadratowego
1. **Wzór na pierwiastki:** Dla równania kwadratowego w postaci ax² + bx + c = 0, suma pierwiastków (x₁ + x₂) wynosi -b/a.
2. **Identyfikacja współczynników:** W naszym przypadku f(x) = -2(x + 3)(x - 5) = -2(x² - 5x + 3x - 15) = -2(x² - 2x - 15) = -2x² + 4x + 30. Zatem a = -2, b = 4, c = 30.
3. **Obliczenie sumy:** x₁ + x₂ = -b/a = -4/(-2) = 2. Ponownie, otrzymujemy 2, co potwierdza, że odpowiedź C jest prawidłowa.

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. x₁ + x₂ = -8:** Obliczona suma pierwiastków (2) jest inna niż podana w odpowiedzi A (-8).
* **B. x₁ + x₂ = -2:** Obliczona suma pierwiastków (2) jest inna niż podana w odpowiedzi B (-2).
* **C. x₁ + x₂ = 2:** Obliczona suma pierwiastków (2) jest równa podanej w odpowiedzi C (2).

**Krótkie wyjaśnienie, dlaczego inne odpowiedzi są błędne:** Sposób, w jaki obliczamy sumę pierwiastków równania kwadratowego, jest poprawny i zgodny z wzorem na sumę pierwiastków. W naszym przypadku, -b/a = -4/(-2) = 2, a nie inne wartości.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/6)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F6)

## Podobne zadania

- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Dana jest prosta l o równaniu 2 2 3 x y oraz punkt ( ) 2 ,3 - A . Wykres funkcji liniowej f jest prostopadły do prostej l , punkt A należy do
- [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-2) (28) Funkcja liniowa 𝑓 przyjmuje wartość 2 dla argumentu 0, a ponadto 𝑓(4) -𝑓(2) = 6. Wyznacz wzór funkcji 𝑓. Odpowiedź: EMAP-P0_100 Rozwiązan
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2018-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-2) Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem ( ) 2 f x x bx c + jest parabola, na której leży punkt ( ) 0, 5 A = . Osią symetrii tej parab
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (𝑘+ 2)𝑥+ (𝑘-3), gdzie 𝑘 jest liczbą rzeczywistą. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybier

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_