# Matematyka — zadanie 7 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/7 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa) - rok: 2018 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Równania i nierówności ## Treść Zadanie 6. (0-1) Równanie 0 1 2 1 x x A. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. B. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste. C. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. D. nie ma rozwiązań. Równanie x - 1 / 2x+1 = 0 A. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. B. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste. C. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. D. nie ma rozwiązań. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: D - \(x = 0\) ## Sposób 1 - Analiza dziedziny i licznika **Kluczowa zasada:** ułamek równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy **licznik = 0 i mianownik ≠ 0**. **Krok 1: Wyznacz dziedzinę (kiedy mianownik ≠ 0).** \[x^2 - 4 \neq 0\] \[(x-2)(x+2) \neq 0\] \[x \neq 2 \quad \text{i} \quad x \neq -2\] **Krok 2: Rozwiąż licznik = 0.** \[x^2 + 2x = 0\] \[x(x + 2) = 0\] \[x = 0 \quad \text{lub} \quad x = -2\] **Krok 3: Odrzuć rozwiązania spoza dziedziny.** - \(x = 0\) - sprawdzamy: \(0 \neq 2\) i \(0 \neq -2\) ✓ - **zostaje** - \(x = -2\) - sprawdzamy: \(-2 = -2\) - to wykluczone z dziedziny ✗ - **odrzucamy** **Wynik: równanie ma jedno rozwiązanie \(x = 0\).** ## Sposób 2 - Uproszczenie wyrażenia + weryfikacja **Krok 1: Faktoryzuj licznik i mianownik.** \[\frac{x^2 + 2x}{x^2 - 4} = \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}\] **Krok 2: Skróć wspólny czynnik \((x+2)\)**, pamiętając, że skrócenie jest dozwolone tylko gdy \(x + 2 \neq 0\), czyli \(x \neq -2\). \[\frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x}{x-2}, \quad x \neq -2, \quad x \neq 2\] **Krok 3: Rozwiąż \(\frac{x}{x-2} = 0\).** Ułamek = 0, gdy licznik = 0 i mianownik ≠ 0: \[x = 0, \quad x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2\] \(x = 0\) spełnia warunek. ✓ **Weryfikacja** - podstawiamy \(x = 0\) do oryginalnego równania: \[\frac{0^2 + 2 \cdot 0}{0^2 - 4} = \frac{0}{-4} = 0 \checkmark\] ## Wzory z karty CKE W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą: - wzory skróconego mnożenia (Dział 6, s. 7): \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) - do rozłożenia mianownika \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\), - oraz podstawowa własność ułamka algebraicznego (dziedzina, warunek = 0). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd | | A | Uczeń „rozwiązuje" licznik i mianownik osobno, bierze wszystkie miejsca zerowe obu: \(x = 0, -2\) z licznika i \(x = \pm 2\) z mianownika - błędne rozumowanie | | B | Uczeń poprawnie rozwiązuje licznik (\(x = 0\) i \(x = -2\)), ale **nie sprawdza dziedziny** i akceptuje \(x = -2\), nie zauważając, że zeruje też mianownik | | C | Uczeń myli równanie ułamkowe z iloczynem i bierze miejsca zerowe **mianownika** zamiast licznika | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** \(x = -2\) zeruje **jednocześnie** licznik i mianownik - to nie jest rozwiązanie! W tym punkcie wyrażenie jest **niezdefiniowane** (nie istnieje), a nie równe zero. > ⚠️ **Uwaga:** Skracanie \((x+2)\) w liczniku i mianowniku jest kuszące, ale pamiętaj - wolno to zrobić tylko po wcześniejszym zaznaczeniu warunku \(x \neq -2\). Bez tego zapisu możesz stracić punkt na maturze. > ⚠️ **Uwaga:** Zawsze najpierw wyznaczaj dziedzinę, potem szukaj rozwiązań - nigdy odwrotnie! **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1 - Dziedzina + zerowanie licznika **Krok 1.** Dziedzina: mianownik \(\ne 0\), czyli \(x^2-4\ne 0 \iff x\ne \pm 2\). **Krok 2.** Ułamek = 0 gdy licznik = 0: \[x^2 + 2x = 0 \iff x(x+2) = 0 \iff x=0 \text{ lub } x=-2.\] **Krok 3.** Sprawdzenie dziedziny: \(x=-2\) **wyklucza się** (mianownik zeruje się), \(x=0\) jest OK. Zostaje jedno rozwiązanie: \(x=0\). ### Sposób 2 - Skracanie ułamka \[\tfrac{x^2+2x}{x^2-4} = \tfrac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \tfrac{x}{x-2}, \qquad x\ne -2, x\ne 2.\] Równanie \(\tfrac{x}{x-2}=0\) daje \(x=0\) (mianownik dla \(x=0\) jest \(-2\ne 0\)). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A.** Ktoś wymienił miejsca zerowe licznika i mianownika, zapomniał o dziedzinie. - **B.** Policzył zera licznika \(x(x+2)=0\), ale nie sprawdził dziedziny (\(x=-2\) jest wykluczone). - **C.** Podał zera mianownika zamiast licznika - odwrócenie pojęć. **Pułapka:** łatwo zapomnieć, że \(x=-2\) musi być odrzucone, bo równocześnie zeruje mianownik. **Poprawna odpowiedź: D** ### Sposób 1: Rozwiązanie równania kwadratowego Rozwiążemy równanie \(x^2 + 2x = 0\) za pomocą metody rozkładu na czynniki. Krok 1: Wyciągamy x przed nawias: \[x(x + 2) = 0\] Krok 2: Zgodnie z własnością, iloczyn dwóch czynników jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Zatem: \[x = 0 \quad \text{lub} \quad x + 2 = 0\] Krok 3: Rozwiązujemy oba równania: \[x = 0 \quad \text{lub} \quad x = -2\] Zatem równanie ma dwa rozwiązania: \(x = 0\) i \(x = -2\). W zadaniu podano, że ma *dwa* rozwiązania. W oryginalnym równaniu, \(x^2 + 2x = 0\) zmieniło się na \(x^2 - 4 = 0\). Zatem musimy rozwiązać równanie \(x^2 - 4 = 0\). Krok 4: Rozwiązujemy równanie \(x^2 - 4 = 0\). Można to zrobić na kilka sposobów: * **Metoda pierwiastkowa:** \[x^2 = 4\] \[x = \pm \sqrt{4}\] \[x = \pm 2\] * **Rozkład na czynniki:** \[(x - 2)(x + 2) = 0\] \[x - 2 = 0 \quad \text{lub} \quad x + 2 = 0\] \[x = 2 \quad \text{lub} \quad x = -2\] Zatem równanie \(x^2 - 4 = 0\) ma dwa rozwiązania: \(x = 2\) i \(x = -2\). 📖 Karta wzorów: [s.7], strona [7] (Wzory skrócone: a²-b²=(a-b)(a+b)) ### Sposób 2: Rozwiązanie równania kwadratowego za pomocą wzoru na pierwiastki Rozwiążemy równanie \(x^2 - 4 = 0\) za pomocą wzoru na pierwiastki równania kwadratowego. Krok 1: Zapisujemy wzór na pierwiastki równania kwadratowego: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] Krok 2: Porównujemy nasze równanie \(x^2 - 4 = 0\) z ogólnym wzorem \(ax^2 + bx + c = 0\). Mamy: * \(a = 1\) * \(b = 0\) * \(c = -4\) Krok 3: Wstawiamy wartości do wzoru na pierwiastki: \[x = \frac{-0 \pm \sqrt{0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1}\] \[x = \frac{\pm \sqrt{16}}{2}\] \[x = \frac{\pm 4}{2}\] \[x = \pm 2\] Zatem równanie \(x^2 - 4 = 0\) ma dwa rozwiązania: \(x = 2\) i \(x = -2\). 📖 Karta wzorów: [s.7], strona [7] (Wzory skrócone: a²-b²=(a-b)(a+b)) oraz [s.7-9], strona [9] (Wzory na pierwiastki równania kwadratowego) ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **A. \(ma trzy rozwiązania: x = - 2 , x = 0 , x = 2\)** - Równanie ma tylko dwa rozwiązania, a nie trzy. * **B. \(ma dwa rozwiązania: x = 0 , x = - 2\)** - Równanie ma dwa rozwiązania, ale nie są to 0 i -2. * **C. \(ma dwa rozwiązania: x = - 2 , x = 2\)** - Równanie ma dwa rozwiązania, ale nie są to -2 i 2. * **D. \(ma jedno rozwiązanie: x = 0\)** - Równanie ma dwa rozwiązania, a nie jedno. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** D _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/7) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F7) ## Podobne zadania - [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 1 1 1 x   ≤     Odpowiedź: Poziom rozszerzony MMA_1R - [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż nierówność 1 5 10 2 x x x ≤ Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczb - [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2017-grudzien-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/22) — Zadanie 22. (0-4) W wypożyczalni Gierka za wypożyczenie gry planszowej trzeba zapłacić 8 zł za 3 dni i dodatkowo po 2,50 zł za każdy kolejny dzień wypożyczenia. - [Zadanie 31](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31) — Zadanie 31. (0-4) Janek, który chodzi ze średnią prędkością 4 , h km a biega ze średnią prędkością 6 , h km zauważył, że biegnąc na popołudniowy trening koszykó _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_