# Matematyka — zadanie 8

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/8
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2018 (podstawowa)
- rok: 2018
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Funkcje

## Treść

Zadanie 8. (0-1)
Funkcja liniowa
f określona jest wzorem
1
3
1
)
(
x
x
f
, dla wszystkich liczb
rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe.
A. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie






3
1
,0
P
B. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie
(
)1
,0 -
P
C. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie






3
1
,0
P
D. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie
(
)1
,0 -
P
Funkcja liniowa f określona jest wzorem f(x) = 1/3x-1, dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe. A. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,1/3). B. Funkcja f jest malejąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,-1). C. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,1/3). D. Funkcja f jest rosnąca i jej wykres przecina oś Oy w punkcie P=(0,-1).

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D

Funkcja \(f\) jest **rosnąca** i jej wykres przecina oś \(Oy\) w punkcie \(P = (0, -1)\).

## Sposób 1 - Odczyt współczynników ze wzoru

Wzór funkcji liniowej ma postać ogólną:
\[f(x) = ax + b\]

gdzie \(a\) to **współczynnik kierunkowy** (decyduje o rosnącości/malejącości), a \(b\) to **wyraz wolny** (punkt przecięcia z osią \(Oy\)).

Mamy:
\[f(x) = \frac{1}{3}x - 1\]

**Krok 1: Odczytaj \(a\) i \(b\).**

\[a = \frac{1}{3}, \qquad b = -1\]

**Krok 2: Określ monotoniczność.**

Ponieważ \(a = \frac{1}{3} > 0\), funkcja jest **rosnąca**.

**Krok 3: Wyznacz punkt przecięcia z osią \(Oy\).**

Oś \(Oy\) przecinamy dla \(x = 0\):
\[f(0) = \frac{1}{3} \cdot 0 - 1 = -1\]

Zatem punkt przecięcia to \(P = (0, -1)\).

**Wniosek:** Funkcja jest rosnąca, przecina \(Oy\) w \((0, -1)\) → **odpowiedź D**.

## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie dwóch punktów

Sprawdzamy rosnącość, licząc wartości w dwóch punktach:

\[f(0) = \frac{1}{3} \cdot 0 - 1 = -1\]

\[f(3) = \frac{1}{3} \cdot 3 - 1 = 1 - 1 = 0\]

Skoro \(0 < 3\) i \(f(0) = -1 < 0 = f(3)\), to **gdy \(x\) rośnie, \(f(x)\) też rośnie** - funkcja jest rosnąca. ✓

Punkt przecięcia z \(Oy\): to wprost \(f(0) = -1\), czyli \(P = (0, -1)\). ✓

Wynik zgodny z odpowiedzią D.

## Wzory z karty CKE

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji funkcji liniowej i odczyt współczynników \(a\), \(b\) ze wzoru \(f(x) = ax + b\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | Dwa błędy naraz: uznano, że \(a < 0\) (malejąca) **oraz** pomylono \(a = \frac{1}{3}\) z wyrazem wolnym, biorąc \(\frac{1}{3}\) jako punkt przecięcia z \(Oy\) |
| B | Poprawny punkt przecięcia z \(Oy\), ale błędna monotoniczność - uznano \(\frac{1}{3} < 0\), co jest nieprawdą |
| C | Poprawna monotoniczność (rosnąca), ale błędny punkt - wzięto \(a = \frac{1}{3}\) zamiast \(b = -1\) jako przecięcie z \(Oy\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Punkt przecięcia z osią \(Oy\) to \((0, b)\), gdzie \(b\) to wyraz **wolny** - czyli liczba stojąca samotnie, bez \(x\). Tu \(b = -1\), nie \(\frac{1}{3}\)!

> ⚠️ **Uwaga:** O rosnącości/malejącości decyduje znak współczynnika \(a\) (przy \(x\)). Jeśli \(a > 0\) - rosnąca, jeśli \(a < 0\) - malejąca. Ułamek \(\frac{1}{3}\) jest dodatni, więc funkcja rośnie.

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \(a\) z \(b\) - szczególnie gdy wzór wygląda jak \(\frac{1}{3}x - 1\) i obie liczby są "widoczne". Zawsze pytaj: "która stoi przy \(x\), a która nie?"

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Dwie własności z postaci \(f(x) = ax+b\)
Dla \(f(x) = \tfrac{1}{3}x - 1\): \(a=\tfrac{1}{3}\), \(b=-1\).

**Monotoniczność:** \(a = \tfrac{1}{3} > 0\), więc funkcja jest **rosnąca**.

**Punkt przecięcia z osią \(Oy\):** podstawiamy \(x=0\):
\[f(0) = \tfrac{1}{3}\cdot 0 - 1 = -1.\]
Zatem \(P = (0, -1)\).

### Sposób 2 - Szybkie odrzucanie
Z postaci \(ax+b\) wyraz wolny to \(b=-1\), więc wykres przecina \(Oy\) w \(y=-1\). To od razu wyklucza A i C. Spośród B, D wybieramy według monotoniczności: \(a>0 \Rightarrow\) rosnąca \(\Rightarrow\) D.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A.** Dwa błędy: "malejąca" (bo \(a>0\), więc rosnąca) oraz \(y=\tfrac{1}{3}\) zamiast \(-1\) - ktoś wziął współczynnik kierunkowy jako wyraz wolny.
- **B.** Dobry punkt przecięcia, ale błędna monotoniczność.
- **C.** Dobra monotoniczność, ale zły punkt przecięcia.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1: Obliczenie wartości funkcji dla konkretnego x
1. **Znamy wzór funkcji:** \(f(x) = x - 1\)
2. **Wstawiamy x = 3:** \(f(3) = 3 - 1 = 2\)
3. **Sprawdzamy, czy wynik zgadza się z podaną odpowiedzią:** Wybór D (2) jest prawidłowy.

📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4

### Sposób 2: Wykorzystanie definicji funkcji liniowej
1. **Funkcja liniowa ma postać:** \(f(x) = ax + b\), gdzie a i b są stałymi.
2. **Znamy f(x) = x - 1, więc:** a = 1 i b = -1.
3. **Sprawdzamy, czy wartość f(3) zgadza się z podaną odpowiedzią:** \(f(3) = 1 * 3 + (-1) = 2\), czyli f(3) = 2. Wybór D (2) jest prawidłowy.

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A:** \(f(3) = 3 - 1 = 2\) - To jest poprawne, ale odpowiedź D jest bardziej precyzyjna.
* **B:** \(f(3) = - (3 - 1) = -2\) - To jest błędne, ponieważ funkcja jest zdefiniowana jako \(f(x) = x - 1\).
* **C:** \(f(0) = 0 - 1 = -1\) - To jest błędne, ponieważ zadanie mówi, że funkcja jest zdefiniowana dla *wszystkich* liczb rzeczywistych x, a nie tylko dla x=0. Wartość funkcji w punkcie 0 nie ma znaczenia w tym przypadku.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp/zad/8)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2018-matematyka-pp%2Fzad%2F8)

## Podobne zadania

- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2018-maj-matura-podstawowa/zad/8) — Zadanie 8. (0-1) Funkcja liniowa f określona jest wzorem 1 3 1 ) ( x x f , dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Wskaż zdanie prawdziwe. A. Funkcja f jest malej
- [Zadanie 8](https://matura.lol/question/matematyka-2015-maj-matura-stara-podstawowa/zad/8) — Zadanie 8. (1 pkt) Miejscem zerowym funkcji liniowej określonej wzorem 4 3 2 ) ( x x f jest A. 0 B. 6 C. 4 D. 6

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_