# Matematyka — zadanie 1 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/1 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Liczby rzeczywiste, logarytmy ## Treść Zadanie 1. (0-1) Liczba 2 log 2 jest równa A. 2 B. 4 C. D. Liczba log_√2 2 jest równa A. 2, B. 4, C. √2, D. 1/2. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A - \(\log_{\sqrt{2}} 2 = 2\) ## Sposób 1 - Zamiana podstawy na potęgę Kluczowa obserwacja: \(\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\), więc podstawa logarytmu to potęga dwójki. Możemy to wykorzystać bezpośrednio. Szukamy takiego wykładnika \(c\), że: \[\log_{\sqrt{2}} 2 = c \iff (\sqrt{2})^c = 2\] Zapisujemy \(\sqrt{2}\) jako potęgę: \[\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^c = 2^1\] Mnożymy wykładniki: \[2^{\frac{c}{2}} = 2^1\] Podstawy równe, więc wykładniki muszą być równe: \[\frac{c}{2} = 1 \implies \boxed{c = 2}\] **Odpowiedź: \(\log_{\sqrt{2}} 2 = 2\)** ## Sposób 2 - Wzór na zmianę podstawy logarytmu Stosujemy wzór zmiany podstawy, sprowadzając do logarytmu o podstawie \(2\): \[\log_{\sqrt{2}} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 \sqrt{2}}\] Licznik: \[\log_2 2 = 1\] Mianownik - \(\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\), więc: \[\log_2 \sqrt{2} = \log_2 2^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\] Całość: \[\log_{\sqrt{2}} 2 = \frac{1}{\frac{1}{2}} = \boxed{2}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** Definicja logarytmu: \[\log_a b = c \iff a^c = b\] Użyte w Sposobie 1 - bezpośrednio z definicji szukamy \(c\). Wzór na zmianę podstawy: \[\log_b c = \frac{\log_a c}{\log_a b}\] Użyte w Sposobie 2 - sprowadziliśmy podstawę \(\sqrt{2}\) do wygodniejszej podstawy \(2\). Własność potęgi logarytmu: \[\log_a x^r = r \cdot \log_a x\] Użyte przy obliczaniu \(\log_2 \sqrt{2} = \log_2 2^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd | | B - \(4\) | Uczeń myśli: „\(\sqrt{2}\) to połowa dwójki, więc odwracam i mnożę razy \(2\)". Albo myli \(\log_{\sqrt{2}} 4 = 4\) z \(\log_{\sqrt{2}} 2\). Faktycznie \(\log_{\sqrt{2}} 4 = 4\), ale tu pytamy o \(2\), nie o \(4\). | | C - \(\sqrt{2}\) | Uczeń „przenosi" podstawę bezpośrednio jako wynik - bez żadnego rachunku. Wynik nie może być irracjonalny, skoro \((\sqrt{2})^{\sqrt{2}}\) to nie jest \(2\). | | D - \(\frac{1}{2}\) | Odwrócenie: uczeń liczy \(\log_2 \sqrt{2} = \frac{1}{2}\) i podaje **to** jako odpowiedź, zamiast wynik \(\log_{\sqrt{2}} 2\), który jest odwrotnością: \(\frac{1}{\frac{1}{2}} = 2\). To bardzo częsty błąd - pomylenie logarytmu z jego odwrotnością. | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Logarytm \(\log_2 \sqrt{2} = \frac{1}{2}\) i \(\log_{\sqrt{2}} 2 = 2\) to **dwa różne logarytmy** - zamiana miejscami podstawy i liczby odwraca wynik (tu: \(\frac{1}{2}\) zamienia się w \(2\)). Zgodnie ze wzorem \(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\). > ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \(\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\) - to kluczowa zamiana, która upraszcza cały rachunek. Gdy podstawa logarytmu jest pierwiastkiem, zawsze warto ją zapisać jako potęgę ułamkową. > ⚠️ **Uwaga:** Sprawdzaj wynik! Jeśli \(\log_{\sqrt{2}} 2 = 2\), to \((\sqrt{2})^2 = 2\) ✓ - podstawienie z powrotem do definicji zajmuje 2 sekundy i eliminuje błędy. **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1 - Definicja logarytmu \(\log_{\sqrt{2}} 2 = x \iff (\sqrt{2})^x = 2\). Zamieniamy \(\sqrt{2} = 2^{1/2}\): \(2^{x/2} = 2^1\), czyli \(\tfrac{x}{2} = 1\), więc \(x = 2\). ### Sposób 2 - Zamiana podstawy \[\log_{\sqrt{2}} 2 = \dfrac{\log 2}{\log \sqrt{2}} = \dfrac{\log 2}{\tfrac{1}{2}\log 2} = 2.\] ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **B. \(4\)** - wynik kwadratu odpowiedzi A. - **C. \(\sqrt{2}\)** - pomylono podstawę i argument. - **D. \(\tfrac{1}{2}\)** - to \(\log_2\sqrt{2}\), nie \(\log_{\sqrt{2}} 2\). **Trik:** \(\log_a b\) i \(\log_b a\) to wzajemne odwrotności. **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1: Użycie wzoru na logarytm iloczynu Aby obliczyć log₅ 16, możemy skorzystać z własności logarytmów, które mówią, że logₙ(a*b) = logₙ(a) + logₙ(b). W naszym przypadku: log₅ 16 = log₅ (2⁵) Znowu korzystając z własności logarytmów: log₅ (2⁵) = 5 * log₅ 2 Wiemy, że log₅ 2 to wartość, która spełnia równanie 2 = 5^log₅ 2. Jednakże, w tym przypadku, log₅ 2 nie jest równy 1/2. Zamiast tego, możemy wykorzystać to, że 16 = 2^4. Zatem: log₅ 16 = log₅ (2⁴) = 4 * log₅ 2 Ponieważ log₅ 2 jest liczbą rzeczywistą, a 4 jest liczbą całkowitą, to log₅ 16 będzie liczbą całkowitą. Wartość log₅ 2 jest mniejsza niż 1, a 4 * log₅ 2 wynosi 2. 📖 Karta wzorów: log(xy)=logx+logy, strona 6 ### Sposób 2: Użycie definicji logarytmu i potęg Logarytm z liczby to potęga, do której należy podnieść bazę logarytmu, aby otrzymać tę liczbę. Zatem: log₅ 16 oznacza, że 5^x = 16. Musimy znaleźć wartość x, dla której to równanie jest spełnione. Możemy to zrobić, używając potęg z bazą 5: 5⁰ = 1 5¹ = 5 5² = 25 Zauważamy, że 16 nie jest potęgą 5. Jednakże, możemy wyrazić 16 jako 2^4, a następnie użyć własności logarytmów: log₅ 16 = log₅ (2⁴) = 4 * log₅ 2 Ponieważ 2 jest liczbą mniejszą od 5, log₅ 2 będzie liczbą ujemną. W tym przypadku, możemy zauważyć, że 5^2 = 25, a 5^1 = 5, więc log₅ 16 musi być mniejsze niż 2. Zatem, 4 * log₅ 2 wyniesie 2. 📖 Karta wzorów: log(xy)=logx+logy, strona 6 ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **B. 4:** 4 * log₅ 2 = 4 * (log₅ 2) nie jest równe 4, ponieważ log₅ 2 nie jest równe 1/2. * **C. 2:** 2 * log₅ 2 = 2 * (log₅ 2) nie jest równe 2, ponieważ log₅ 2 nie jest równe 1. * **D. 2:** 2 jest nieprawidłowe, ponieważ nie spełnia równania log₅ 16. W obu sposobach, log₅ 16 = 4 * log₅ 2, a ponieważ log₅ 2 jest liczbą ujemną, wynik log₅ 16 musi być liczbą całkowitą mniejszą od 2. Dlatego odpowiedź A (2) jest błędna. Prawidłowa odpowiedź to 4 * log₅ 2, co w przybliżeniu daje 1.609. Jednakże, w zadaniu pytano o log₅ 16, a nie o log₅ 2. Zatem, log₅ 16 = 4 * log₅ 2 wynosi 2. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** A _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/1) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F1) ## Podobne zadania - [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (0-1) Liczby 𝑥 oraz 𝑦 są całkowite i dodatnie. W wyniku dzielenia liczby 𝑥 przez liczbę 𝑦 otrzymano iloraz 20 i resztę 26. Dokończ zdanie. Wybierz wł - [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1) — Zadanie 1. (0-1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba √-64 3 + √27 3 √-32 5 jest równa A. (-2) B. (-1 2) C. 1 2 D. 2 Liczba ∛-64} - [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/2) — Zadanie 2. (0-1) Ola otwiera swoją szafkę za pomocą czterocyfrowego kodu 𝑌𝑋𝑋𝑌, gdzie 𝑋 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 18 i 27, a 𝑌 jest najmniejszą - [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3) — Zadanie 3. (0-1) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Iloczyn 2 ⋅log3 5 jest równ _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_