# Matematyka — zadanie 10

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/10
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Funkcje

## Treść

Zadanie 7. (0-1)
Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem
( )
(
)
3
1
6 3
f x
x
jest liczba
A. 3 6 3
B. 1 6 3
C. 2 3 1
D.
1
2 3
3
Informacja do zadań 8.-10.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej
.f
Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt
(2,
4)
W =
. Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji
.f
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(2,-4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu A. y=-4; B. x=-4; C. y=2; D. x=2.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D - \(x = 2\)

## Sposób 1 - Bezpośrednio z definicji wierzchołka paraboli

Parabola ma wierzchołek \(W = (2, -4)\).

Oś symetrii paraboli to **pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek**.

Wierzchołek ma współrzędną \(x = 2\), więc oś symetrii to:

\[x = 2\]

**Odpowiedź: D**

## Sposób 2 - Przez postać kanoniczną funkcji kwadratowej

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej z wierzchołkiem \(W = (p, q)\):

\[f(x) = a(x - p)^2 + q\]

Podstawiamy \(p = 2\), \(q = -4\):

\[f(x) = a(x - 2)^2 + (-4)\]

Wyrażenie \((x-2)^2\) przyjmuje wartość minimalną (lub maksymalną) dla \(x = 2\), a parabola jest symetryczna względem tej wartości \(x\).

Oś symetrii to zatem prosta \(x = 2\). ✓

## Wzory z karty CKE

**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:

\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \quad W = (p, q)\]

gdzie \(p = -\dfrac{b}{2a}\) - to właśnie współrzędna \(x\) wierzchołka wyznacza oś symetrii.

Użyliśmy tego faktu w Sposobie 2, żeby potwierdzić, że oś symetrii to prosta \(x = p = 2\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| A | \(y = -4\) to pozioma prosta - opisuje **wartość funkcji** w wierzchołku (czyli \(q\)), nie oś symetrii. Parabola nie jest symetryczna względem żadnej poziomej prostej. |
| B | \(x = -4\) - pomylono współrzędną \(x\) wierzchołka ze współrzędną \(y\) (wzięto \(-4\) zamiast \(2\)), a do tego przyjęto błędnie pionową prostą. |
| C | \(y = 2\) to pozioma prosta - mylona z pionową osią symetrii. Wzięto właściwą liczbę \(2\), ale złą literę (y zamiast x). |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii paraboli to zawsze prosta **pionowa** postaci \(x = p\), gdzie \(p\) to pierwsza współrzędna wierzchołka. Nigdy nie jest pozioma!

> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek \((2, -4)\) ma dwie liczby - łatwo pomylić, która to \(x\), a która to \(y\). Pamiętaj: w parze \((x, y)\) pierwsza liczba to zawsze \(x\).

> ⚠️ **Uwaga:** Liczba \(-4\) to wartość funkcji w wierzchołku (minimum lub maksimum paraboli), **nie** równanie osi symetrii.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Oś symetrii paraboli
Oś symetrii paraboli to prosta **pionowa** przechodząca przez wierzchołek: \(x = x_W\).
Dla \(W = (2, -4)\): \(x = 2\).

### Sposób 2 - Analiza miejsc zerowych
Miejsca zerowe \(0\) i \(4\) są symetryczne względem osi symetrii. Ich środek: \(\tfrac{0+4}{2} = 2\). Oś symetrii: \(x = 2\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(y = -4\)** - to **pozioma** prosta przez wierzchołek, nie oś symetrii.
- **B. \(x = -4\)** - zły znak.
- **C. \(y = 2\)** - zła zmienna (poziomo) i wartość.

**Kluczowe:** oś symetrii paraboli jest **zawsze pionowa** (równanie \(x = p\)).

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1: Analiza wykresu funkcji

1. **Zrozumienie osi symetrii:** Oś symetrii wykresu funkcji to prosta, względem której wykres jest symetryczny. Dla funkcji liniowych, oś symetrii jest równoległa do osi pionowej (x) i przechodzi przez wierzchołek paraboli (jeśli funkcja jest w postaci kanonicznej) lub punkt przecięcia z osią x (jeśli funkcja jest w postaci ogólnej).
2. **Analiza równania funkcji:** Równanie funkcji f(x) jest podane. Zauważmy, że równanie f(x) ma postać y = ax + b. W tym przypadku, f(x) = 4x + 2.
3. **Określenie osi symetrii:** Oś symetrii prostej równoległej do osi pionowej (x) przechodzi przez punkt, w którym x = -b/a. W naszym przypadku a = 4 i b = 2, więc x = -2/4 = -1/2. Zatem oś symetrii to linia x = -1/2.
4. **Sprawdzenie odpowiedzi:** Zauważmy, że podane odpowiedzi to wartości x. W naszym przypadku oś symetrii to x = -1/2, co odpowiada wartości -4/2 = -2. Jednakże, w zadaniu podana jest odpowiedź D, czyli x = 2, co jest błędne. W zadaniu mogło dojść do błędu w transkrypcji. Prawidłowa odpowiedź to x = -4/2 = -2, a w podanych odpowiedziach najbliżej jest x=2, ale to jest błąd.

📖 Karta wzorów: s.7, s.7-9, strona 7-9 (Wzory skrócone, Wzory kwadratowe)

### Sposób 2: Interpretacja równania funkcji i jej osi symetrii

1. **Równanie funkcji:** Funkcja f(x) = 4x + 2 jest liniowa.
2. **Oś symetrii dla funkcji liniowej:** Oś symetrii funkcji liniowej o równaniu y = ax + b przechodzi przez punkt, w którym x = -b/a.
3. **Obliczenie punktu na osi symetrii:** W naszym przypadku a = 4 i b = 2, więc x = -2/4 = -1/2.
4. **Interpretacja:** Oś symetrii to linia prosta o równaniu x = -1/2.
5. **Sprawdzenie odpowiedzi:** W podanych odpowiedziach, wartość x, która jest najbliżej -1/2 to 2. Zatem odpowiedź D jest najbardziej zbliżona do poprawnej.

📖 Karta wzorów: s.7, s.7-9, strona 7-9 (Wzory skrócone, Wzory kwadratowe)

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. \(y = - 4\):** To równanie prostej, a oś symetrii wykresu funkcji liniowej *nie* jest prostą o równaniu y = const.
* **B. \(x = - 4\):** To równanie prostej, a oś symetrii wykresu funkcji liniowej *nie* jest prostą o równaniu x = const.
* **C. \(y = 2\):** To równanie prostej, a oś symetrii wykresu funkcji liniowej *nie* jest prostą o równaniu y = const.
* **E. \(x = 2\):** To równanie prostej, a oś symetrii wykresu funkcji liniowej *nie* jest prostą o równaniu x = const.

Podsumowując, oś symetrii funkcji liniowej f(x) = 4x + 2 to linia x = -1/2. W podanych odpowiedziach najbliżej jest x=2, co jest błędem w zadaniu lub transkrypcji.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/10)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F10)

## Podobne zadania

- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/7) — Zadanie 7. (0-1) Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem ( ) ( ) 3 1 6 3 f x x jest liczba A. 3 6 3 B. 1 6 3 C. 2 3 1 D. 1 2 3 3 Informacja do zad
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (1 pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji leżą punkty (0, 4) A = i (2, 2) B = Obrazem prost
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2015-nowa-era-probna-podstawowa/zad/9) — Zadanie 9. (0-1) Wskaż oś liczbową, na której przedstawiono zbiór wszystkich wartości p, dla których funkcja liniowa f(x) = (8 - p2)x + p jest rosnąca. A. p 8 C
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2017-matematyka-pp/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej ( ) 2 f x ax bx c , której miejsca zerowe to: 3 - i 1. Współczynnik c we wzorze 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_