# Matematyka — zadanie 11 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/11 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Ciągi, ciagi ## Treść Zadanie 11. (0-1) W ciągu arytmetycznym , określonym dla 1 n ≥, dane są dwa wyrazy: 1 7 a = i 8 49. a = - Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A. -168 B. -189 C. -21 D. -42 W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, dane są dwa wyrazy: a_1=7 i a_8=-49. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A. -168; B. -189; C. -21; D. -42. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A. \(-168\) ## Sposób 1 - wzór na wyraz ogólny + wzór na sumę **Krok 1: Wyznacz różnicę ciągu \(r\).** Znamy \(a_1 = 7\) i \(a_8 = -49\). Korzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz: \[a_n = a_1 + (n-1)r\] Podstawiamy dla \(n = 8\): \[a_8 = a_1 + 7r\] \[-49 = 7 + 7r\] \[7r = -56\] \[r = -8\] **Krok 2: Oblicz sumę 8 pierwszych wyrazów.** Korzystamy ze wzoru na sumę: \[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\] Podstawiamy \(n = 8\), \(a_1 = 7\), \(a_8 = -49\): \[S_8 = \frac{7 + (-49)}{2} \cdot 8 = \frac{-42}{2} \cdot 8 = (-21) \cdot 8 = \mathbf{-168}\] ## Sposób 2 - wzór z różnicą Używamy drugiej postaci wzoru na sumę: \[S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n\] Wiemy już, że \(r = -8\), \(a_1 = 7\), \(n = 8\): \[S_8 = \frac{2 \cdot 7 + 7 \cdot (-8)}{2} \cdot 8 = \frac{14 - 56}{2} \cdot 8 = \frac{-42}{2} \cdot 8 = (-21) \cdot 8 = \mathbf{-168}\] Wynik zgodny - odpowiedź **A**. ## Wzory z karty CKE **Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego: \[a_n = a_1 + (n-1)r\] Użyliśmy go do wyznaczenia różnicy \(r\) z warunku \(a_8 = -49\). Wzór na sumę \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego: \[S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\] Użyliśmy go bezpośrednio w Sposobie 1 - podstawiając od razu znane \(a_1\) i \(a_8\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Typowy błąd | | B. \(-189\) | Policzono \(S_9\) zamiast \(S_8\) - doliczono jeden wyraz za dużo | | C. \(-21\) | Obliczono tylko \(\frac{a_1 + a_8}{2} = \frac{7-49}{2} = -21\), ale zapomniano pomnożyć przez \(n = 8\) | | D. \(-42\) | Policzono \(a_1 + a_8 = 7 + (-49) = -42\), czyli samą sumę skrajnych wyrazów bez dzielenia przez 2 i mnożenia przez 8 | ## Typowe pułapki i uwaga > ⚠️ **Uwaga:** Wzór \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\) ma dwa mnożenia - przez \(\frac{1}{2}\) I przez \(n\). Najczęstszy błąd to zapomnienie jednego z nich (odpowiedź C lub D). > ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \(r\) ze wzoru \(a_8 = a_1 + 7r\) mamy \((8-1) = 7\), nie 8. Błąd o jeden w indeksie prowadzi do złego \(r\), a potem do złej sumy. > ⚠️ **Uwaga:** Ujemna różnica \(r = -8\) oznacza, że ciąg maleje - suma może być ujemna nawet gdy \(a_1 > 0\). To jest sytuacja normalna, nie błąd! **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1 - Wzór na sumę z krańcami \[S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n.\] Dla \(n = 8\): \[S_8 = \dfrac{7 + (-49)}{2}\cdot 8 = \dfrac{-42}{2}\cdot 8 = -21\cdot 8 = -168.\] ### Sposób 2 - Wyznaczenie \(r\) i \(S_8\) \(r = \tfrac{a_8 - a_1}{7} = \tfrac{-56}{7} = -8\). \(S_8 = \tfrac{2a_1 + 7r}{2}\cdot 8 = \tfrac{14 - 56}{2}\cdot 8 = -21\cdot 8 = -168\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **B. \(-189\)** - błąd w obliczeniach. - **C. \(-21\)** - to wartość \(\tfrac{a_1+a_8}{2}\), nie cała suma. - **D. \(-42\)** - to suma \(a_1 + a_8\), nie \(S_8\). **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1: Użycie wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego W ciągu arytmetycznym, suma n wyrazów (Sₙ) jest obliczana ze wzoru: \[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\] W naszym przypadku, n = 8, a₁ = 7, a a₈ = -49. Zatem: \[S_8 = \frac{8}{2}(7 + (-49)) = 4(7 - 49) = 4(-42) = -168\] 📖 Karta wzorów: s.9-10: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9 ### Sposób 2: Wyznaczenie różnicy i obliczenie sumy Możemy wykorzystać informacje o a₁ i a₈ do wyznaczenia różnicy (r) ciągu arytmetycznego. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to: \[a_n = a_1 + (n-1)r\] Dla n = 8: \[a_8 = a_1 + (8-1)r\] \[-49 = 7 + 7r\] \[-56 = 7r\] \[r = -8\] Teraz możemy obliczyć sumę ośmiu wyrazów używając wzoru: \[S_8 = \frac{8}{2}(2a_1 + (8-1)r) = 4(2(7) + 7(-8)) = 4(14 - 56) = 4(-42) = -168\] 📖 Karta wzorów: s.9-10: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9 ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **B. -189:** Wynik jest błędny, ponieważ nie spełnia on warunków zadania. * **C. -21:** Wynik jest błędny, ponieważ nie spełnia on warunków zadania. * **D. -42:** Wynik jest błędny, ponieważ nie spełnia on warunków zadania. Ponadto, obliczanie sumy na podstawie wyznaczonej różnicy i pierwszego wyrazu prowadzi do poprawnego wyniku. ## Odpowiedź **Odpowiedź:** A _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/11) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F11) ## Podobne zadania - [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Nieskończony ciąg liczbowy ( ) n a jest określony wzorem 1 2 n a n , 1, 2, 3, n a) Oblicz, ile wyrazów ciągu ( ) n a jest mniejszych od 1,975 - [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na , gdzie 1 n ≥. Wiadomo, że dla każdego 1 n ≥ suma n początkowych wyrazów 1 2 n n S a a a wyraża się wzorem - [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz - [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_