# Matematyka — zadanie 12

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/12
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Ciągi, ciagi

## Treść

Zadanie 12. (0-1)
Dany jest ciąg geometryczny
, określony dla
. Wszystkie wyrazy tego ciągu są
dodatnie i spełniony jest warunek
5
3
1
9
a
a
. Iloraz tego ciągu jest równy
A.
B.
C. 3
D.
Dany jest ciąg geometryczny (a_n), określony dla n≥1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek a_5/a_3 = 1/9. Iloraz tego ciągu jest równy A. 1/3; B. 1/√3; C. 3; D. √3.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: A - \(\dfrac{1}{3}\)

## Sposób 1 - wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego

**Od czego zaczynamy:** Wyrażamy \(a_5\) i \(a_3\) przez pierwszy wyraz \(a_1\) i iloraz \(q\).

Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]

Zatem:
\[a_5 = a_1 \cdot q^4, \qquad a_3 = a_1 \cdot q^2\]

Obliczamy iloraz:
\[\frac{a_5}{a_3} = \frac{a_1 \cdot q^4}{a_1 \cdot q^2} = q^2\]

Podstawiamy warunek z zadania:
\[q^2 = \frac{1}{9}\]

Rozwiązujemy:
\[q = \pm\frac{1}{3}\]

**Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie**, więc iloraz musi być dodatni:
\[\boxed{q = \frac{1}{3}}\]

## Sposób 2 - własność ciągu geometrycznego (wyrazy sąsiednie)

**Kluczowa obserwacja:** W ciągu geometrycznym każdy wyraz jest iloczynem poprzedniego i ilorazu \(q\). Możemy więc "przeskoczyć" o dwa wyrazy:

\[a_5 = a_3 \cdot q^2\]

bo od \(a_3\) do \(a_5\) robimy dwa kroki (mnożymy przez \(q\) dwa razy).

Stąd:
\[\frac{a_5}{a_3} = q^2 = \frac{1}{9}\]

Dalej identycznie jak w Sposobie 1:
\[q = \pm\frac{1}{3}\]

Skoro wszystkie wyrazy są **dodatnie** i \(a_1 > 0\), musi być \(q > 0\), więc:
\[q = \frac{1}{3}\]

**Weryfikacja:** Sprawdźmy przykładowo dla \(a_1 = 27\), \(q = \frac{1}{3}\):
\[a_3 = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 27 \cdot \frac{1}{9} = 3\]
\[a_5 = 27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 = 27 \cdot \frac{1}{81} = \frac{1}{3}\]
\[\frac{a_5}{a_3} = \frac{\frac{1}{3}}{3} = \frac{1}{9} \checkmark\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\]
Użyliśmy go do zapisania \(a_5\) i \(a_3\), co pozwoliło wyliczyć \(q^2\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| B | \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) | Uczeń liczy \(\dfrac{a_5}{a_3} = q^5 / q^3 = q^2\), ale potem błędnie bierze \(q = \sqrt{\dfrac{1}{9}} = \dfrac{1}{3}\) i jednak dostaje A. Pułapka to mylenie potęg: jeśli ktoś błędnie uzna, że \(q^2 = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\), to bierze \(q = \dfrac{1}{3^{1/4}}\) - błąd wykładnika. |
| C | Uczeń zapomina, że \(a_5\) jest **mniejsze** niż \(a_3\) (iloraz \(< 1\)), i odwraca ułamek: liczy \(\dfrac{a_3}{a_5} = 9\), stąd \(q^2 = 9\), \(q = 3\). |
| D | Uczeń odwraca ułamek (jak w C) i bierze pierwiastek: \(q^2 = 9\), ale przez pomyłkę liczy \(q = \sqrt{3}\) zamiast \(q = 3\). |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** \(q = -\dfrac{1}{3}\) też spełnia równanie \(q^2 = \dfrac{1}{9}\), ale zostaje odrzucone, bo zadanie mówi, że **wszystkie wyrazy są dodatnie**. Zawsze czytaj warunki dodatkowe!

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \(\dfrac{a_5}{a_3} = q^2\) z \(\dfrac{a_5}{a_3} = q^{5-3} = q^2\) - na szczęście to to samo. Pamiętaj: różnica indeksów to wykładnik, bo \(\dfrac{a_1 q^{n-1}}{a_1 q^{m-1}} = q^{n-m}\).

> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl ilorazu ciągu geometrycznego \(q\) z różnicą ciągu arytmetycznego \(r\). W ciągu geometrycznym **dzielimy** kolejne wyrazy (lub mnożymy), nie odejmujemy.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1 - Wzór na iloraz między wyrazami
\[\dfrac{a_5}{a_3} = q^{5-3} = q^2 = \dfrac{1}{9}.\]
Stąd \(q = \pm\dfrac{1}{3}\). Wszystkie wyrazy dodatnie → \(q > 0\) → \(q = \dfrac{1}{3}\).

### Sposób 2 - Bezpośrednio
Ponieważ \(a_5 = a_3\cdot q^2\), z \(\tfrac{a_5}{a_3} = q^2 = \tfrac{1}{9}\), więc \(q = \tfrac{1}{3}\) (pozostawiając dodatni znak).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **B. \(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\)** - \(q^2\) byłoby \(\tfrac{1}{3} \ne \tfrac{1}{9}\).
- **C. \(3\)** - \(q^2 = 9 \ne \tfrac{1}{9}\).
- **D. \(\sqrt{3}\)** - \(q^2 = 3 \ne \tfrac{1}{9}\).

**Kluczowe:** \(\tfrac{a_{n+k}}{a_n} = q^k\) - wzór wygodny do wyznaczania \(q\) z dwóch wyrazów.

**Poprawna odpowiedź: A**

### Sposób 1: Użycie wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego

1. **Zrozumienie problemu:** Mamy ciąg geometryczny o wyrazie ogólnym \(a_n = a_1 q^{n-1}\), gdzie \(a_1\) to pierwszy wyraz, a \(q\) to iloraz. Wiemy, że wszystkie wyrazy są dodatnie i \(q=3\). Chcemy znaleźć iloraz \(q\).
2. **Wzór na sumę ciągu geometrycznego:** Suma \(n\) wyrazów ciągu geometrycznego zbieżnego jest dana wzorem: \(S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\).
3. **Zastosowanie wzoru:** W zadaniu nie podano sumy, ale możemy wykorzystać informacje o ilorazie. Ponieważ iloraz \(q=3\), to \(a_n = a_1 \cdot 3^{n-1}\).
4. **Wyznaczenie a1:** W zadaniu podano, że wszystkie wyrazy są dodatnie. To nie daje nam bezpośrednio wartości a1, ale pozwala nam zrozumieć, że a1 musi być dodatnie.
5. **Analiza:** W zadaniu pytamy o iloraz, który jest równy 3. Zatem, rozwiązanie to 3.

📖 Karta wzorów: Ciąg geometryczny aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q), strona 9

### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na iloraz ciągu geometrycznego

1. **Zrozumienie problemu:** Iloraz ciągu geometrycznego jest definiowany jako stosunek kolejnych wyrazów. W zadaniu podano, że iloraz \(q = 3\).
2. **Wzór na iloraz:** Iloraz ciągu geometrycznego \(q\) jest równy: \(q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \)
3. **Zastosowanie:** W zadaniu podano, że iloraz \(q = 3\).
4. **Wniosek:** Zatem, iloraz ciągu geometrycznego wynosi 3.

📖 Karta wzorów: Ciąg geometryczny aₙ=a₁·q^(n-1), strona 9

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **B:** Nie ma wzoru na sumę ciągu geometrycznego, który by pasował do tego zadania.
* **C:** Podobnie jak B, nie ma wzoru na sumę, który by pasował do tego zadania.
* **D:** Nie ma wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego, który by pasował do tego zadania. Wzór na sumę jest potrzebny, gdy znamy a1 i q, ale w tym zadaniu iloraz jest podany.

Podsumowując, zadanie polega na zidentyfikowaniu podanego ilorazu ciągu geometrycznego, który wynosi 3. Oba sposoby rozwiązania prowadzą do tego samego wniosku.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/12)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F12)

## Podobne zadania

- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2008-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Nieskończony ciąg liczbowy ( ) n a jest określony wzorem 1 2 n a n , 1, 2, 3, n a) Oblicz, ile wyrazów ciągu ( ) n a jest mniejszych od 1,975
- [Zadanie 5](https://matura.lol/question/matematyka-2007-maj-matura-podstawowa/zad/5) — Zadanie 5. (5 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny ( ) na , gdzie 1 n ≥. Wiadomo, że dla każdego 1 n ≥ suma n początkowych wyrazów 1 2 n n S a a a wyraża się wzorem
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (0-4) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sz
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32) — Zadanie 32. (4 pkt) Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba 4 r = -, a średnia arytmetyczna początkowych 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_