# Matematyka — zadanie 13

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/13
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Trygonometria

## Treść

Zadanie 13. (0-1)
Sinus kąta ostrego α jest równy 5
4 . Wtedy
A.
4
5
cos
α
B.
5
1
cos
α
C.
25
9
cos
α
D.
5
3
cos
α
Sinus kąta ostrego α jest równy 4/5. Wtedy A. cosα = 5/4; B. cosα = 1/5; C. cosα=9/25; D. cosα=3/5.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D

\(\cos\alpha = \dfrac{3}{5}\)

## Sposób 1 - jedynka trygonometryczna

Wiemy, że \(\sin\alpha = \dfrac{4}{5}\). Korzystamy z podstawowej tożsamości:

\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]

Podstawiamy:

\[\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1\]

\[\frac{16}{25} + \cos^2\alpha = 1\]

\[\cos^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\]

\[\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}\]

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem **ostrym** (czyli \(\alpha \in (0°, 90°)\)), cosinus jest dodatni:

\[\boxed{\cos\alpha = \frac{3}{5}}\]

## Sposób 2 - trójkąt prostokątny

Skoro \(\sin\alpha = \dfrac{4}{5}\), to z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:

\[\sin\alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwko}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{4}{5}\]

Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym:
- przeciwprostokątna \(c = 5\)
- przyprostokątna naprzeciwko \(\alpha\): \(a = 4\)
- brakująca przyprostokątna: \(b = ?\)

Z twierdzenia Pitagorasa:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

\[16 + b^2 = 25\]

\[b^2 = 9 \implies b = 3\]

Zatem:

\[\cos\alpha = \frac{b}{c} = \frac{3}{5}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:
\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]
Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do wyznaczenia \(\cos\alpha\) ze znajomości \(\sin\alpha\).

**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:
\[a^2 + b^2 = c^2\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do znalezienia trzeciego boku trójkąta.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A | \(\cos\alpha = \dfrac{5}{4}\) - odwrócono ułamek sinusa, a cosinus nigdy nie może być większy od 1 |
| B | \(\cos\alpha = \dfrac{1}{5}\) - odjęto liczniki zamiast kwadratów: \(\dfrac{4}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{1}{5}\) (błędne rozumowanie) |
| C | \(\cos\alpha = \dfrac{9}{25}\) - zatrzymano się o krok za wcześnie: \(\cos^2\alpha = \dfrac{9}{25}\) to wynik pośredni, ale szukamy \(\cos\alpha\), nie \(\cos^2\alpha\) |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C to najczęstszy błąd - uczeń poprawnie liczy \(\cos^2\alpha = \dfrac{9}{25}\), ale zapomina wyciągnąć pierwiastek. Zawsze sprawdź, czego szuka zadanie: \(\cos\alpha\) czy \(\cos^2\alpha\)!

> ⚠️ **Uwaga:** Gdy wyciągasz pierwiastek z \(\cos^2\alpha\), pamiętaj o znaku! Dla kąta ostrego cosinus jest zawsze **dodatni**. Dla kąta rozwartego - ujemny. Informacja „kąt ostry" w treści zadania to kluczowa wskazówka.

> ⚠️ **Uwaga:** Cosinus (ani sinus) nie może być większy od 1 dla żadnego kąta. Jeśli Twój wynik daje \(\cos\alpha > 1\), na pewno gdzieś popełniłeś błąd.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna
\[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\]
\[\cos^2\alpha = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}\]
\[\cos\alpha = \dfrac{3}{5}.\]
(Znak dodatni, bo \(\alpha\) ostry.)

### Sposób 2 - Trójkąt pitagorejski 3-4-5
\(\sin\alpha = \tfrac{4}{5}\) odpowiada trójkątowi prostokątnemu z przyprostokątnymi \(3, 4\) i przeciwprostokątną \(5\). Wtedy \(\cos\alpha = \tfrac{3}{5}\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(\tfrac{5}{4}\)** - większy od 1; niemożliwe dla cosinusa kąta ostrego.
- **B. \(\tfrac{1}{5}\)** - nieodpowiednia wartość.
- **C. \(\tfrac{9}{25}\)** - to \(\cos^2\alpha\), nie \(\cos\alpha\).

**Kluczowe:** \(|\cos\alpha| \le 1\) zawsze; dla kąta ostrego \(\cos > 0\).

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1: Użycie trygonometrii i wzoru na cosinus kąta
Znamy wartość sinusa kąta ostrego \(\alpha\), a chcemy znaleźć cosinus. Wiemy, że \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\). Zatem:

\[cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha\]

Podstawiamy podane \(sin \alpha = \frac{5}{13}\):

\[cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}\]

Stąd:

\[cos \alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}\]

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, cosinus jest dodatni.

📖 Karta wzorów: Logarytmy, strona 3

### Sposób 2: Użycie trójkąta prostokątnego
Wyobraźmy sobie trójkąt prostokątny, gdzie \(\alpha\) jest jednym z ostrych kątów. Znamy przeciwprostokątną (o długości 13) i jeden z przyprostokątnych (o długości 5). Z twierdzenia Pitagorowego:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

gdzie \(a = 5\), \(c = 13\). Szukamy długości drugiej przyprostokątnej \(b\).

\[5^2 + b^2 = 13^2\]
\[25 + b^2 = 169\]
\[b^2 = 169 - 25 = 144\]
\[b = 12\]

Zatem, sin(\(\alpha\)) = \(\frac{5}{13}\) i cos(\(\alpha\)) = \(\frac{12}{13}\).

📖 Karta wzorów: Wzory skrócone, (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. \(cos \alpha = \frac{5}{4}\)**: Jest to błędne, ponieważ \(cos^2 \alpha + sin^2 \alpha = (\frac{5}{4})^2 + (\frac{5}{13})^2 = \frac{25}{16} + \frac{25}{169} \neq 1\).
* **B. \(cos \alpha = \frac{1}{5}\)**: Jest to błędne, ponieważ \(cos^2 \alpha + sin^2 \alpha = (\frac{1}{5})^2 + (\frac{5}{13})^2 = \frac{1}{25} + \frac{25}{169} \neq 1\).
* **C. \(cos \alpha = \frac{9}{25}\)**: Jest to błędne, ponieważ \(cos^2 \alpha + sin^2 \alpha = (\frac{9}{25})^2 + (\frac{5}{13})^2 = \frac{81}{625} + \frac{25}{169} \neq 1\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/13)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F13)

## Podobne zadania

- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Rozwiąż równanie cos2 3cos 2 x x w przedziale 0, 2π . Odpowiedź: MMA_1R Rozwiąż równanie cos 2x + 3cos x = -2 w przedziale <0,2π>.
- [Zadanie 3](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-rozszerzona/zad/3) — Zadanie 3. (4 pkt) Rozwiąż równanie cos2 2 3cos x x   Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 2. 3. Maks. liczba pkt 4 4 Uzyskana liczba pkt Poziom rozszer
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/18) — Zadanie 18. (0-2) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono kąt o mierze 𝛼 taki, że tg 𝛼= -3 oraz 90° < 𝛼< 180° (zobacz rysunek). Uzupełnij zdani
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2013-maj-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Kąt jest ostry i 3 sin 2  . Oblicz wartość wyrażenia 2 2 sin 3cos    Odpowiedź: Nr zadania 26. 27. Maks. liczba pkt 2 2 Wypełnia egzam

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_