# Matematyka — zadanie 14 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/14 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Planimetria ## Treść Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC /matma-quiz/images/cke/2019-Matematyka-PP/z14.png . Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę \(\alpha\) . C . . E A . . B . D Zatem A. \(\alpha = 30^\circ\) B. \(\alpha < 30^\circ\) C. \(\alpha > 45^\circ\) D. \(\alpha = 45^\circ\) ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A \[\alpha = 30^\circ\] ## Sposób 1 - Kąt wpisany i miara łuku DB **Krok 1: Wyznaczamy położenie punktu D.** \(CD\) jest średnicą okręgu, więc \(D\) jest punktem **antypodycznym** do \(C\) - leży dokładnie po przeciwnej stronie okręgu. **Krok 2: Wyznaczamy miarę łuku DB.** Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny, więc każdy jego kąt wynosi \(60°\). Z twierdzenia o kącie wpisanym: \[\text{kąt środkowy} = 2 \cdot \text{kąt wpisany}\] Zatem łuk między każdą parą sąsiednich wierzchołków trójkąta ma miarę: \[2 \cdot 60° = 120°\] Czyli łuk \(AB\) (nie zawierający \(C\)) wynosi \(120°\). Punkt \(D\) jest antypodyczny do \(C\), a \(C\) leży naprzeciwko **środka** łuku \(AB\). Skoro środek kręgu \(O\) jest jednocześnie środkiem symetrii, punkt \(D\) jest **środkiem łuku \(AB\)** (łuku nie zawierającego \(C\)), co daje: \[\widehat{AD} = \widehat{DB} = \frac{120°}{2} = 60°\] **Krok 3: Stosujemy twierdzenie o kącie wpisanym.** Z rysunku \(E\) leży na łuku \(CA\) (czyli na **długim** łuku od \(D\) do \(B\), przechodzącym przez \(A\) i \(C\)). Kąt wpisany \(DEB\) jest oparty na **krótkim** łuku \(DB\) (nie zawierającym \(E\)): \[\alpha = \angle DEB = \frac{1}{2} \cdot \widehat{DB} = \frac{1}{2} \cdot 60° = \boxed{30°}\] > Kąt wpisany jest **niezależny** od tego, gdzie dokładnie leży \(E\) na łuku - każdy kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma tę samą miarę. ## Sposób 2 - Przez kąt wpisany w półokrąg i trójkąt prostokątny **Krok 1: Kąt oparty na średnicy.** Skoro \(CD\) jest średnicą, to każdy kąt wpisany oparty na \(CD\) wynosi \(90°\). W szczególności: \[\angle CBD = 90°\] **Krok 2: Wyznaczamy kąt \(\angle BCD\).** Kąt \(\angle BCD\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \(BD\) (nie zawierającym \(C\)). Wiemy (z Kroku 2 Sposobu 1), że ten łuk ma miarę \(60°\), zatem: \[\angle BCD = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°\] **Krok 3: Porównujemy kąty wpisane.** Zarówno \(E\) jak i \(C\) leżą na tym samym (długim) łuku od \(D\) do \(B\). Oba kąty \(\angle DEB\) i \(\angle DCB\) są kątami wpisanymi opartymi na **tym samym łuku** \(DB\). Zatem: \[\alpha = \angle DEB = \angle DCB = 30°\] ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Kąt wpisany i kąt środkowy: \[\text{kąt wpisany} = \frac{1}{2} \cdot \text{kąt środkowy (miara łuku)}\] Użyliśmy tego dwukrotnie: do wyznaczenia łuku \(DB = 60°\) (przez kąt trójkąta równobocznego) oraz do obliczenia kąta \(\angle DEB = 30°\). **Dział 10 (s. 19)** - Kąt wpisany w półokrąg: \[\text{kąt wpisany oparty na średnicy} = 90°\] Użyliśmy w Sposobie 2 do stwierdzenia, że \(\angle CBD = 90°\). **Dział 10 (s. 19)** - Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. Użyliśmy w Sposobie 2 do porównania \(\angle DEB = \angle DCB\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd | | B (\(\alpha < 30°\)) | Brak konkretnej wartości - uczeń myli wnioski; kąt wpisany ma dokładnie określoną miarę, niezależną od położenia \(E\) | | C (\(\alpha > 45°\)) | Błędnie wyliczony łuk \(DB\) (np. wzięcie łuku \(AB = 120°\) i podzielenie przez 2 zamiast przez 4) | | D (\(\alpha = 45°\)) | Pomylono łuk \(DB = 60°\) z łukiem \(90°\) - błąd przy wyznaczaniu środka łuku \(AB\); wynik \(45°\) dawałby łuk \(90°\), co nie jest zgodne z geometrią trójkąta równobocznego | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Punkt \(D\) leży na okręgu, nie jest środkiem. Łatwo pomylić "średnica \(CD\)" z "środek okręgu to \(D\)" - to bardzo częsty błąd. > ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany to **połowa** miary łuku, nie łuk równy kątowi. Łuk \(DB = 60°\), więc kąt wpisany \(= 30°\), nie \(60°\). > ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany oparty na tym samym łuku jest **taki sam dla każdego punktu** na łuku (po tej samej stronie cięciwy). Nie trzeba znać dokładnego położenia \(E\) - to jest sedno tego zadania! **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1 - Kąty wpisane na łuku \(DB\) W trójkącie równobocznym \(ABC\) wpisanym w okrąg, każdy łuk \(AB, BC, CA\) = \(120^\circ\). \(CD\) to średnica → łuk \(CD\) = \(180^\circ\) (półokrąg). Z rysunku \(D\) leży po stronie niezawierającej \(C\) (na przeciwnym łuku). Kąt wpisany \(\angle DEB\) opiera się na łuku \(DB\) (nie zawierającym \(E\)). Łuk \(DB\) = ? Zależy od położenia \(D\). Ponieważ \(CD\) to średnica: - \(D\) jest symetryczne do \(C\) względem środka okręgu. - Łuk \(CB = 120^\circ\) (z trójkąta równobocznego, kolejno od \(C\) do \(B\)). - Łuk \(CD = 180^\circ\) (średnica). \(\angle DEB = \tfrac{1}{2}\cdot\text{łuk } DB\) (tw. o kątach wpisanych). Łuk \(DB\) = \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\) (łuk od \(D\) do \(B\) przez stronę bez \(C\)). Zatem \(\alpha = \tfrac{60^\circ}{2} = 30^\circ\). ### Sposób 2 - Tw. Talesa + kąt wpisany Dla średnicy \(CD\): kąt \(\angle CBD = 90^\circ\) (kąt wpisany na średnicy). W trójkącie \(CBD\) (prostokątnym przy \(B\)): kąt \(\angle BCD = 60^\circ\) (bo \(\angle BCA = 60^\circ\) trójkąta równobocznego i \(D\) leży tak że \(\angle BCD = \angle BCA = 60^\circ\) - tu trzeba uważać). Wtedy \(\angle BDC = 30^\circ\). Kąt wpisany na tym samym łuku \(BC\) to \(\alpha\). **Odpowiedź:** \(\alpha = 30^\circ\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **B, C** - przedziały ze ścisłymi nierównościami. - **D. \(45^\circ\)** - nie pasuje do konfiguracji. **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1: Użycie kąta wpisanego i kąta środkowego 1. **Zrozumienie relacji między kątem wpisanym i kątem środkowym:** Kąt wpisany, który opiera się na łuku o mierze 60° (ponieważ trójkąt równoboczny ma kąty po 60°), jest równy połowie kąta środkowego opisanego na tym samym łuku. 2. **Obliczenie kąta DEB:** Kąt wpisany DEB ma miarę α. Kąt środkowy DEB, oparty na tym samym łuku, ma miarę 2α. 3. **Związek kątów:** Kąt środkowy jest równy sumie kątów wpisanych, które opierają się na tym samym łuku. Zatem 2α = 60° (ponieważ kąt wpisany DEB to α, a kąt środkowy DEB to 2α). 4. **Rozwiązanie:** 2α = 60° => α = 30° \[2\alpha = 60^{\circ}\] 📖 Karta wzorów: s.11-14, strona 30 ### Sposób 2: Użycie własności okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny i kąta wpisanego 1. **Własność okręgu wpisanego:** W trójkącie równobocznym okrąg wpisany ma takie własności, że kąt wpisany, który opiera się na łuku o mierze 60° (kąt środkowy), jest równy 60°. 2. **Kąt wpisany DEB:** Kąt wpisany DEB ma miarę α. 3. **Związek kątów:** Kąt wpisany DEB jest równy połowie kąta środkowego opisanego na tym samym łuku. Zatem α = 60° 4. **Rozwiązanie:** α = 60° \[\alpha = 60^{\circ}\] 📖 Karta wzorów: s.19, strona 19 ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **B. α < 30°:** Wyliczona miara kąta DEB (α) musi być większa niż 30° (bo jest równa 60°). * **C. α > 45°:** Wyliczona miara kąta DEB (α) musi być mniejsza niż 45° (bo jest równa 30°). * **D. α = 45°:** Wyliczona miara kąta DEB (α) musi być różna od 45° (bo jest równa 30°). ## Odpowiedź **Odpowiedź:** A _Rozwiązanie AI z maturazai.pl, weryfikowane z kluczem CKE — źródło nieoficjalne._ ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/14) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F14) ## Podobne zadania - [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30. - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o - [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu - [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_