# Matematyka — zadanie 16 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/16 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Planimetria ## Treść Zadanie 16. (0-1) Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe A. 8 B. 12 C. 8 3 D. 16 Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe A. 8; B. 12; C. 8√3; D. 16 ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: A (pole = \(8\)) ## Sposób 1 - wzór na pole rombu przez kąt Romb ma wszystkie boki równe, a kąty przy wspólnym boku są **suplementarne** (sumują się do \(180°\)). Skoro kąt rozwarty wynosi \(150°\), to kąt ostry wynosi: \[180° - 150° = 30°\] Pole rombu wyraża się wzorem: \[P = a^2 \cdot \sin\alpha\] gdzie \(a\) to bok, a \(\alpha\) to **dowolny** kąt rombu (wzór działa tak samo dla każdego z nich). Podstawiamy \(a = 4\) i \(\alpha = 150°\): \[P = 4^2 \cdot \sin 150° = 16 \cdot \frac{1}{2} = \mathbf{8}\] Wynik: \(\boxed{P = 8}\). ## Sposób 2 - przez wysokość rombu Romb możemy traktować jak równoległobok. Jego **wysokość** to odcinek prostopadły do podstawy. Z trójkąta prostokątnego przy boku rombu (kąt ostry \(= 30°\)): \[h = a \cdot \sin 30° = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\] Dlaczego \(\sin 30°\), a nie \(\sin 150°\)? Bo wysokość "opada" pod kątem ostrym. Oba sposoby dają ten sam wynik, bo \(\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}\). Pole rombu jako równoległoboku: \[P = a \cdot h = 4 \cdot 2 = \mathbf{8}\] **Weryfikacja przez przekątne:** Przekątne rombu wyznaczamy z twierdzenia cosinusów. Dla przekątnej przez kąt \(150°\): \[d_1^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos 150° = 32 + 16\sqrt{3}\] Dla przekątnej przez kąt \(30°\): \[d_2^2 = 32 - 16\sqrt{3}\] Pole przez przekątne: \[P = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2}\sqrt{(32+16\sqrt{3})(32-16\sqrt{3})} = \frac{1}{2}\sqrt{1024 - 768} = \frac{1}{2}\sqrt{256} = \frac{16}{2} = \mathbf{8}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole rombu: \[P = a^2 \sin\alpha\] Użyliśmy tego wzoru wprost w Sposobie 1. **Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartość \(\sin 150°\): \[\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha \implies \sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}\] Kluczowy krok - bez wzoru redukcyjnego można się tu pomylić. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi | | B (\(12\)) | Błędne obliczenie wysokości: \(h = 4 \cdot \sin 150° \cdot \cos 150°\) albo pomieszanie z innym wzorem; wynik nie wynika z żadnego naturalnego błędu - może być omyłka rachunkowa | | C (\(8\sqrt{3}\)) | Przyjęcie, że kąt ostry rombu wynosi \(60°\) (zamiast \(30°\)): \(16 \cdot \sin 60° = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}\). Błąd: \(180° - 150° = 30°\), nie \(60°\)! | | D (\(16\)) | Policzono \(a^2 = 16\) i zapomniano pomnożyć przez \(\sin\alpha\) - czyli założono kąt prosty (\(\sin 90° = 1\)) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** \(\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}\), **nie** \(\cos 30°\) ani \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). To najczęstszy błąd - mylenie wartości dla \(30°\) i \(60°\). > ⚠️ **Uwaga:** Do wzoru \(P = a^2 \sin\alpha\) można podstawić **każdy** z kątów rombu - wynik jest taki sam, bo \(\sin\alpha = \sin(180°-\alpha)\). Nie trzeba szukać kąta ostrego. > ⚠️ **Uwaga:** Romb **nie jest** prostokątem, więc jego pole **nie** wynosi \(a^2\). Wzór \(a^2\) to tylko pole kwadratu (gdy \(\alpha = 90°\)). **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1 - Wzór \(P = a^2\sin\alpha\) Romb o boku \(a = 4\), kąt \(= 150^\circ\) (lub równoważnie \(30^\circ\), bo \(\sin 150^\circ = \sin 30^\circ\)): \[P = a^2\sin 30^\circ = 16\cdot\dfrac{1}{2} = 8.\] ### Sposób 2 - Przez wysokość Kąt ostry = \(30^\circ\). Wysokość \(h = a\sin 30^\circ = 4\cdot\tfrac{1}{2} = 2\). \[P = a\cdot h = 4\cdot 2 = 8.\] ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **B. \(12\)** - przypomina wartość \(a\cdot 3\); niewłaściwe obliczenie. - **C. \(8\sqrt{3}\)** - kąt wzięto jako \(60^\circ\) (\(\sin 60 = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\)). - **D. \(16\)** - to pole kwadratu o boku 4 (\(\sin = 1\), kąt \(90^\circ\)). **Pamiętaj:** \(\sin\) dla kąta i jego dopełnienia do \(180^\circ\) jest taki sam. **Poprawna odpowiedź: A** ### Sposób 1: Obliczenie pola rombu na podstawie długości boku i kąta rozwartego 1. **Zrozumienie wzoru na pole rombu:** Pole rombu oblicza się ze wzoru: \(P = \frac{d_1 d_2}{2}\), gdzie \(d_1\) i \(d_2\) to długości przekątnych. Można też obliczyć pole rombu, jeśli znamy długość boku i jeden z kątów. W tym przypadku mamy długość boku (a=4) i kąt rozwarty (150°). Użyjemy wzoru: \(P = a^2 \sin(\alpha)\), gdzie \(a\) to długość boku, a \(\alpha\) to kąt przy wierzchołku. 2. **Obliczenie pola:** \(P = 4^2 \sin(150^{\circ}) = 16 \cdot \sin(150^{\circ})\). Wiemy, że \(\sin(150^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}\). 3. **Ostateczne obliczenie:** \(P = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8\). 📖 Karta wzorów: s.20-21: Trapez P=(a+b)h/2, równoległobok P=ah, romb P=d₁d₂/2, strona 20 ### Sposób 2: Podział rombu na trójkąty i obliczenie pola 1. **Podział rombu:** Romb można podzielić na dwa identyczne trójkąty równoramienne o podstawie długości 4 i kątach przy podstawie 150° i 30°. 2. **Obliczenie wysokości trójkąta:** W trójkącie o kątach 30° i 60° i boku 4, wysokość (h) można obliczyć korzystając z funkcji trygonometrycznych. Wysokość to \(h = 4 \cdot \sin(30^{\circ}) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\). 3. **Obliczenie pola trójkąta:** Pole trójkąta to \(\frac{1}{2} \cdot \text{podstawa} \cdot \text{wysokość} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\). 4. **Obliczenie pola rombu:** Pola dwóch trójkątów sumują się, dając pole rombu: \(P = 2 \cdot 4 = 8\). 📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², tw.sinusów a/sinα=2R, strona 15 ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **B. 16:** Pamiętajmy, że pole rombu zależy od długości boku i kąta rozwartego. Użycie 16 zamiast 8 jest błędne. * **C. 4:** Pole rombu jest mniejsze niż 4, ponieważ kąt rozwarty wynosi 150 stopni, a nie 90 stopni. * **D. 8√3:** To pole kwadratu o boku 4√3, a nie rombu. Pole rombu nie jest związane z pierwiastkiem kwadratowym w ten sposób. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/16) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F16) ## Podobne zadania - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-4) Miara kąta wewnętrznego n- kąta foremnego jest o ° 2 mniejsza od miary kąta wewnętrznego ( ) 2 n - kąta foremnego. Oblicz n. Odpowiedź: MMA_1R - [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/18) — Zadanie 18. (0-3) W czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o polu 48 cm2 przekątna 𝐴𝐶 ma długość 8 cm i dzieli ten czworokąt na dwa trójkąty: 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 (zobacz rysunek). Wysokość tró - [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2012-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (2 pkt) Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu. Odpowiedź: Podsta - [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/10) — Zadanie 10. (0-1) Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 2 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jes _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_