# Matematyka — zadanie 17

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/17
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 17. (0-1)
Proste o równaniach
(2
2)
2019
y
m
x
oraz
(3
3)
2019
y
m
x
są równoległe, gdy
A.
1
m = -
B.
0
m =
C.
1
m =
D.
5
m =
Proste o równaniach y=(2m+2)x-2019 oraz y=(3m-3)x+2019 są równoległe, gdy A. m=-1; B. m=0; m=1; D. m=5.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D (\(m = 5\))

## Sposób 1 - Przyrównanie współczynników kierunkowych

Dwie proste w postaci kierunkowej \(y = a_1 x + b_1\) i \(y = a_2 x + b_2\) są **równoległe**, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne:
\[a_1 = a_2 \quad \text{oraz} \quad b_1 \neq b_2\]

Odczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:
\[a_1 = 2m + 2, \qquad a_2 = 3m - 3\]

Przyrównujemy:
\[2m + 2 = 3m - 3\]
\[2 + 3 = 3m - 2m\]
\[\boxed{m = 5}\]

**Sprawdzamy, czy proste nie są tożsame** (bo tożsame nie są równoległe - są tą samą prostą):
- Wyraz wolny prostej 1: \(-2019\)
- Wyraz wolny prostej 2: \(+2019\)

Są różne, więc proste są rzeczywiście **równoległe** (nie pokrywają się). ✓

## Sposób 2 - Weryfikacja podstawieniem \(m = 5\)

Wstawiamy \(m = 5\) do obu równań:
\[y = (2 \cdot 5 + 2)x - 2019 = 12x - 2019\]
\[y = (3 \cdot 5 - 3)x + 2019 = 12x + 2019\]

Obie proste mają **ten sam współczynnik kierunkowy** \(a = 12\) i **różne wyrazy wolne** (\(-2019\) i \(+2019\)), więc są równoległe. ✓

Możemy też sprawdzić graficznie - obie mają nachylenie \(12\) (strome, rosnące), ale przesunięte o \(4038\) jednostek w pionie.

## Wzory z karty CKE

**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**

Warunek równoległości prostych o równaniach kierunkowych:
\[y = a_1 x + b_1 \parallel y = a_2 x + b_2 \iff a_1 = a_2 \text{ i } b_1 \neq b_2\]

To bezpośrednio zastosowany warunek w Sposobie 1.

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Wartość \(m\) | Współczynnik prostej 1 | Współczynnik prostej 2 | Błąd |
| A | \(m = -1\) | \(2(-1)+2 = 0\) | \(3(-1)-3 = -6\) | Współczynniki różne (\(0 \neq -6\)), proste nie są równoległe |
| B | \(m = 0\) | \(2(0)+2 = 2\) | \(3(0)-3 = -3\) | Współczynniki różne (\(2 \neq -3\)), proste nie są równoległe |
| C | \(m = 1\) | \(2(1)+2 = 4\) | \(3(1)-3 = 0\) | Współczynniki różne (\(4 \neq 0\)), proste nie są równoległe |

Typowy błąd prowadzący do C: uczeń podstawia \(m=1\) do jednego z wyrażeń i dostaje ładną liczbę (0 lub 4), co wygląda "czysto" - ale to pułapka.

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Przyrównanie współczynników daje warunek na równoległość - ale trzeba też sprawdzić, czy proste się **nie pokrywają** (tożsame). Gdyby wyrazy wolne też były równe, proste byłyby tą samą prostą - a to nie jest równoległość!

> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić się przy upraszczaniu \(2m+2 = 3m-3\) i dostać \(m = -5\) zamiast \(m = 5\) (błąd znaku przy przenoszeniu). Zawsze przenoś wyrazy na jedną stronę ostrożnie.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić warunku równoległości (\(a_1 = a_2\)) z warunkiem prostopadłości (\(a_1 \cdot a_2 = -1\)). Obie formuły są w dziale 11 karty wzorów - sprawdź, którą stosujesz!

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Warunek równoległości
\(a_1 = a_2\):
\[2m + 2 = 3m - 3 \Rightarrow m = 5.\]
Sprawdzenie wyrazów wolnych: \(-2019 \ne 2019\) ✓ - proste różne, czyli równoległe (nie tożsame).

### Sposób 2 - Sprawdzanie odpowiedzi
Dla każdego \(m\) liczymy \(2m+2\) vs \(3m-3\):
- \(m = 5\): \(12 = 12\) ✓
- \(m = -1, 0, 1\) - różne współczynniki.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
Żaden inny \(m\) nie daje równych współczynników kierunkowych.

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1: Sprawdzanie nachylenia i przecięcia z osi układu współrzędnych

1. **Zrozumienie równania prostej:** Równanie prostej y = ax + b przedstawia prostą w układzie współrzędnych. `a` to współczynnik kierunkowy (nachylenie prostej), a `b` to punkt przecięcia prostej z osią y.

2. **Współczynnik kierunkowy:** Aby dwie proste były równoległe, muszą mieć ten sam współczynnik kierunkowy. Porównujemy współczynniki kierunkowe w danym równaniu:
* Prosta 1: y = (2m + 2)x - 2019 => współczynnik kierunkowy a₁ = 2m + 2
* Prosta 2: y = (3m - 3)x + 2019 => współczynnik kierunkowy a₂ = 3m - 3

3. **Równość współczynników:** Aby proste były równoległe, a₁ = a₂. Zatem:
2m + 2 = 3m - 3
m = 5

4. **Sprawdzenie:** Wartość m = 5 wstawiamy do równań prostych i sprawdzamy, czy otrzymujemy równoległe proste.

5. **Przecięcie z osią y:** Zauważmy, że obie proste przecinają oś y w punktach (0, -2019) i (0, 2019) odpowiednio. To jest istotne, ponieważ równoległe proste mają ten sam punkt przecięcia z osią y.

### Sposób 2: Użycie warunku równoległości

1. **Warunek równoległości:** Dwie proste są równoległe, jeśli mają ten sam współczynnik kierunkowy i różnią się tylko wyrazem wolnym (czyli punktem przecięcia z osią y).

2. **Porównanie współczynników kierunkowych:** Jak w sposobie 1, porównujemy współczynniki kierunkowe:
2m + 2 = 3m - 3

3. **Rozwiązanie równania:** Rozwiązujemy równanie względem m:
2m + 2 = 3m - 3
m = 5

4. **Wniosek:** Wartość m = 5 spełnia warunek równoległości.

📖 Karta wzorów: s.7, strona 17 (Wzory skrócone), (z powodu użycia równań i manipulacji algebraicznych)

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A, B, C:** Te odpowiedzi dotyczą różnych koncepcji (np. obliczania punktu przecięcia z osią y, użycia wzoru na odległość między punktami, obliczania współczynnika kierunkowego). Nie są one odpowiedziami na pytanie o równoległość prostych.
* **Błędne rozumienie:** Niektóre odpowiedzi mogą sugerować, że równoległość prostych zależy od wartości `x` lub `m`, co jest nieprawdziwe. Równoległość prostych zależy wyłącznie od współczynnika kierunkowego.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/17)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F17)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (3 pkt) Dany jest wektor [ ] 4,3 → AB oraz punkt ( ) 2 ,1 - A Oblicz: a) współrzędne punktu B , b) współrzędne i długość wektora → → ⋅ AB v 2 2 Arkus
- [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach   2 ,2   A i   10 ,2  B Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. 28. 29. Mak
- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy A. 
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, -4) oraz 𝐵= (2, 𝑦𝐵) leżą na prostej 𝑙. Współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 3. Liczba 𝑦

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_