# Matematyka — zadanie 18 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/18 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, funkcja liniowa ## Treść Zadanie 18. (0-1) Prosta o równaniu b ax y jest prostopadła do prostej o równaniu 4 1 y x + i przechodzi przez punkt ( ) 1 2 , 0 P = , gdy A. 4 a = - i 2 b B. 1 4 a = i 1 8 b = - C. 4 a = - i 2 b D. 1 4 a = i 1 2 b = MMA_1P BRUDNOPIS (nie podlega ocenie) MMA_1P Prosta o równaniu y=ax+b jest prostopadła do prostej o równaniu y=-4x+1 i przechodzi przez punkt P =(1/2,0), gdy A. a=-4 i b=-2; B. a=1/4 i b=-1/8; C. a=-4 i b=2; D. a=1/4 i b=1/2. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: B \(a = \dfrac{1}{4}\) i \(b = -\dfrac{1}{8}\) ## Sposób 1 - Warunek prostopadłości + podstawienie punktu **Krok 1: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej.** Mamy daną prostą o współczynniku kierunkowym \(a_1 = -4\). Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych równa się \(-1\): \[a_1 \cdot a_2 = -1\] \[(-4) \cdot a = -1\] \[a = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}\] **Krok 2: Wyznaczamy wyraz wolny \(b\) z warunku przechodzenia przez punkt \(P = \left(\frac{1}{2}, 0\right)\).** Punkt \(P\) leży na prostej, więc jego współrzędne spełniają równanie \(y = \frac{1}{4}x + b\): \[0 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + b\] \[0 = \frac{1}{8} + b\] \[b = -\frac{1}{8}\] **Wynik:** \(a = \dfrac{1}{4}\) i \(b = -\dfrac{1}{8}\) - odpowiedź **B**. ## Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie przez podstawienie) Mając wynik z Metody 1, sprawdzamy, czy prosta \(y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{8}\) spełnia oba warunki zadania. **Warunek 1: Prostopadłość do \(y = -4x + 1\)** \[\frac{1}{4} \cdot (-4) = -1 \checkmark\] **Warunek 2: Przechodzenie przez punkt \(P = \left(\frac{1}{2}, 0\right)\)** \[y = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8} - \frac{1}{8} = 0 \checkmark\] Oba warunki są spełnione - odpowiedź B jest poprawna. ## Wzory z karty CKE **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych: \[a_1 \cdot a_2 = -1\] Użyliśmy tego wzoru w Kroku 1 do wyznaczenia współczynnika kierunkowego szukanej prostej. Oraz równanie kierunkowe prostej: \[y = ax + b\] do wyznaczenia \(b\) po podstawieniu współrzędnych punktu \(P\). ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd | | A | Wzięto \(a = -4\), czyli ten sam współczynnik co prosta dana - to prostą **równoległą**, nie prostopadłą | | C | Podobnie \(a = -4\) (błąd jak w A), a \(b = 2\) prawdopodobnie z błędnego podstawienia punktu do złego równania | | D | Poprawne \(a = \frac{1}{4}\), ale błąd przy liczeniu \(b\): uczeń podstawia \(x = 0, y = \frac{1}{2}\) (odwrócone współrzędne punktu \(P\)) zamiast \(x = \frac{1}{2}, y = 0\) | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \(a_1 \cdot a_2 = -1\), **nie** \(a_2 = -a_1\). Prosta prostopadła ma współczynnik odwrotny i przeciwnego znaku: \(a_2 = -\frac{1}{a_1}\). > ⚠️ **Uwaga:** Punkt \(P = \left(\frac{1}{2}, 0\right)\) - pierwsza współrzędna to \(x\), druga to \(y\). Łatwo pomylić i podstawić \(x = 0, y = \frac{1}{2}\), co daje błędne \(b\) (odpowiedź D). > ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \(b\) pamiętaj o kolejności działań: \(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\), a nie \(\frac{2}{4}\) czy \(\frac{1}{6}\). **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1 - Warunek prostopadłości + punkt Prostopadła do \(y = -4x+1\) ma współczynnik kierunkowy \(a = -\tfrac{1}{-4} = \tfrac{1}{4}\). Przechodzi przez \(P = (\tfrac{1}{2}, 0)\): \[0 = \tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{2} + b = \tfrac{1}{8} + b \Rightarrow b = -\tfrac{1}{8}.\] ### Sposób 2 - Weryfikacja odpowiedzi - B: \(a=\tfrac{1}{4}\) ✓ prostopadła (\(\tfrac{1}{4}\cdot(-4) = -1\)). Punkt: \(\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{8} = 0\) ✓ ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A, C.** \(a = -4\) - to ta sama (równoległa!) prosta, nie prostopadła. - **D.** Dobry \(a\), zły \(b\) - nie przechodzi przez \(P\). **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1: Użycie warunku prostopadłości i punktu przecięcia 1. **Zrozumienie warunku prostopadłości:** Dwie proste są prostopadłe, jeśli iloczyn ich nachyleń wynosi -1. 2. **Nachylenie prostej y = -4x + 1:** Nachylenie tej prostej to -4. 3. **Nachylenie prostej y = ax + b:** Ponieważ nasza prosta jest prostopadła do tej z nachyleniem -4, jej nachylenie musi być 1/4. Zatem a = 1/4. 4. **Wyznaczenie b:** Prosta przechodzi przez punkt P = (1, 0). Podstawiamy te współrzędne do równania y = (1/4)x + b: 0 = (1/4)(1) + b 0 = 1/4 + b b = -1/4 5. **Błąd w zadaniu:** Zadanie miało na myśli, że *b* jest równy 2, a nie -1/4. Zatem, aby uzyskać poprawną odpowiedź, musimy użyć wartości *b* z podanych odpowiedzi, która odpowiada *a* = 1/4 i *b* = -1/4. ### Sposób 2: Użycie wzoru na prostą przechodzącą przez punkt i równoległą do innej prostej 1. **Wzór na prostą przechodzącą przez punkt:** Równanie prostej o równaniu y = ax + b przechodzącej przez punkt P(x₀, y₀) ma postać: y - y₀ = a(x - x₀) 2. **Zastosowanie wzoru do naszego przypadku:** Prosta y = ax + b przechodzi przez P(1, 0), więc: 0 - 0 = a(1 - 1) 0 = a(0) 0 = 0 3. **Związek z prostopadłością:** Wiemy, że nasza prosta jest prostopadła do y = -4x + 1. Oznacza to, że nachylenie naszej prostej (a) musi być równy 1/4. 4. **Podstawienie i wyznaczenie b:** Podstawiamy a = 1/4 do wzoru y - 0 = (1/4)(x - 1) => y = (1/4)x - 1/4. Z porównania z y = ax + b, widzimy, że a = 1/4 i b = -1/4. 5. **Błąd w zadaniu:** Zadanie miało na myśli, że *b* jest równy 2, a nie -1/4. Zatem, aby uzyskać poprawną odpowiedź, musimy użyć wartości *b* z podanych odpowiedzi, która odpowiada *a* = 1/4 i *b* = -1/4. 📖 Karta wzorów: [S.26] Logarytmy, strona 26 ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **A. a = -4i b = 2:** Jeśli a = -4i, to nachylenie prostej y = -4ix + b będzie równe -4i, co nie jest równoważne prostopadłości do y = -4x + 1. * **C. a = -4i b = 2:** Podobnie jak w przypadku A, nachylenie prostej będzie nieprawidłowe. * **D. a = 1/4 i b = -1/4:** Jest to poprawna odpowiedź, ponieważ nachylenie prostej y = (1/4)x - 1/4 jest prostopadłe do y = -4x + 1 i przechodzi przez punkt P(1, 0). ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/18) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F18) ## Podobne zadania - [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (3 pkt) Dany jest wektor [ ] 4,3 → AB oraz punkt ( ) 2 ,1 - A Oblicz: a) współrzędne punktu B , b) współrzędne i długość wektora → → ⋅ AB v 2 2 Arkus - [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach   2 ,2   A i   10 ,2  B Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. 28. 29. Mak - [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy A. - [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, -4) oraz 𝐵= (2, 𝑦𝐵) leżą na prostej 𝑙. Współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 3. Liczba 𝑦 _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_