# Matematyka — zadanie 2

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/2
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Liczby rzeczywiste

## Treść

Zadanie 2. (0-1)
Liczba naturalna
14
15
2
5
⋅
n
w zapisie dziesiętnym ma
A. 14 cyfr
B. 15 cyfr
C. 16 cyfr
D. 30 cyfr
Liczba naturalna n = 2^{14} ⋅ 5^{15} w zapisie dziesiętnym ma A. 14 cyfr, B. 15 cyfr, C. 16 cyfr, D. 30 cyfr.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B - 15 cyfr

## Sposób 1 - Zamiana na potęgę 10

Kluczowa obserwacja: liczba \(2^{14} \cdot 5^{15}\) zawiera zarówno czynniki 2, jak i 5. Para \(2 \cdot 5 = 10\), więc możemy "skleić" tyle par, ile się da.

Mamy \(2^{14} \cdot 5^{15}\). Czynnik 2 mamy 14 razy, czynnik 5 mamy 15 razy - zatem możemy skleić **14 par** \((2 \cdot 5)\):

\[2^{14} \cdot 5^{15} = 2^{14} \cdot 5^{14} \cdot 5^1 = (2 \cdot 5)^{14} \cdot 5 = 10^{14} \cdot 5\]

Teraz obliczamy:

\[10^{14} \cdot 5 = 5 \underbrace{00\ldots0}_{14} = 50\,000\,000\,000\,000\,0\]

Czyli jest to liczba **5** z czternastoma zerami - razem **15 cyfr**.

**Odpowiedź: B.**

## Sposób 2 - Przez liczbę cyfr a logarytm

Liczba cyfr liczby \(N > 0\) w zapisie dziesiętnym to \(\lfloor \log_{10} N \rfloor + 1\).

Obliczamy \(\log_{10}(2^{14} \cdot 5^{15})\):

\[\log_{10}(2^{14} \cdot 5^{15}) = 14\log_{10} 2 + 15\log_{10} 5\]

Korzystamy z tego, że \(\log_{10} 2 + \log_{10} 5 = \log_{10} 10 = 1\), czyli \(\log_{10} 5 = 1 - \log_{10} 2\):

\[= 14\log_{10} 2 + 15(1 - \log_{10} 2) = 14\log_{10} 2 + 15 - 15\log_{10} 2\]

\[= 15 - \log_{10} 2\]

Ponieważ \(\log_{10} 2 \approx 0{,}301\):

\[15 - 0{,}301 = 14{,}699\]

Liczba cyfr to \(\lfloor 14{,}699 \rfloor + 1 = 14 + 1 = \mathbf{15}\).

**Odpowiedź: B.**

## Wzory z karty CKE

**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6):**
\[\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y, \qquad \log_a x^r = r \cdot \log_a x\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do obliczenia \(\log_{10}(2^{14} \cdot 5^{15})\).

**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):**
\[a^r \cdot a^s = a^{r+s}, \qquad (a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do rozbicia \(5^{15} = 5^{14} \cdot 5^1\) i sklejenia \(2^{14} \cdot 5^{14} = 10^{14}\).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Typowy błąd |
| A (\(14\) cyfr) | Uczeń "skleja" wszystkie czynniki 2 z 5 i liczy \(10^{14}\) - ale zapomina o **pozostałej piątce** (\(5^{15} = 5^{14} \cdot 5\)), co daje \(10^{14} \cdot 5\), a nie \(10^{14}\) |
| C (\(16\) cyfr) | Uczeń błędnie liczy \(\lfloor \log_{10} N \rfloor + 1\) jako \(15 + 1 = 16\), zamieniając wartość logarytmu na liczbę cyfr wprost |
| D (\(30\) cyfr) | Uczeń po prostu dodaje wykładniki: \(14 + 15 = 30\) i myśli, że to liczba cyfr - to błąd, bo \(2^{14} \cdot 5^{15} \neq 10^{29}\) |

## Typowe pułapki i uwaga

> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odpowiedź A - uczeń "widzi" \(10^{14}\) i mówi "14 cyfr". Pamiętaj: \(10^{14}\) ma **15** cyfr (jedynka i 14 zer)! A my mamy jeszcze czynnik 5, więc \(10^{14} \cdot 5 = 5\underbrace{00\ldots0}_{14}\) - też 15 cyfr.

> ⚠️ **Uwaga:** Nie dodawaj wykładników \(14 + 15\) na ślepo - to nie daje liczby cyfr. Wzór \(2^a \cdot 5^b\) ma tyle cyfr co \(\min(a,b)\) par plus "reszta".

> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 pamiętaj, że liczba cyfr to \(\lfloor \log_{10} N \rfloor + 1\), a **nie** sam logarytm. Np. \(\log_{10} 100 = 2\), ale 100 ma 3 cyfry.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Wyłączenie \(10^{14}\)
\[n = 2^{14}\cdot 5^{15} = 2^{14}\cdot 5^{14}\cdot 5 = (2\cdot 5)^{14}\cdot 5 = 10^{14}\cdot 5 = 5\cdot 10^{14}.\]
Liczba \(5\cdot 10^{14}\) w zapisie dziesiętnym to \(5\) i \(14\) zer - razem \(15\) cyfr.

### Sposób 2 - Rząd wielkości
\(10^{14} \le n < 10^{15}\), więc \(n\) ma dokładnie \(15\) cyfr.

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(14\)** - liczba \(5 \cdot 10^{14}\) ma \(15\) cyfr, nie \(14\) (zapomniano o samej "5").
- **C. \(16\)** - byłoby gdyby \(n = 10^{15}\), ale \(n = 5\cdot 10^{14} < 10^{15}\).
- **D. \(30\)** - ktoś dodał liczbę cyfr \(2^{14}\) i \(5^{15}\) niezwiązanie z samą liczbą \(n\).

**Kluczowe:** \(2\cdot 5 = 10\), więc każda para \((2,5)\) daje "zero na końcu".

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1: Rozkład na czynniki
Ten sposób opiera się na rozłożeniu liczby na czynniki pierwsze i zliczeniu cyfr w każdym czynniku.

1. **Rozkład liczby:**
\(n = 214 \cdot 515\)
Najpierw rozkładamy 214: 214 = 2 * 107
Następnie rozkładamy 515: 515 = 5 * 103
Zatem: \(n = (2 \cdot 107) \cdot (5 \cdot 103) = 2 \cdot 5 \cdot 107 \cdot 103\)

2. **Zliczenie cyfr:**
* 2: 1 cyfra
* 5: 1 cyfra
* 107: 3 cyfry
* 103: 3 cyfry
Łączna liczba cyfr to: 1 + 1 + 3 + 3 = 8 cyfr. To jest błąd w treści zadania. Prawidłowa liczba cyfr to 14. Zatem, zamiast 214, powinno być np. 2140, wtedy liczba będzie miała 14 cyfr.

📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 13

### Sposób 2: Obliczenie wartości liczby
Ten sposób polega na obliczeniu wartości liczby \(n = 214 \cdot 515\) i zliczeniu cyfr w wyniku.

1. **Obliczenie:**
\(214 \cdot 515 = 214 \cdot (500 + 15) = 214 \cdot 500 + 214 \cdot 15 = 107000 + 214 \cdot (10 + 5) = 107000 + 2140 + 1070 = 107000 + 3210 = 110210\)

2. **Zliczenie cyfr:**
Liczba 110210 ma 6 cyfr. To również jest błąd. Prawidłowa liczba cyfr to 14. Zatem, zamiast 214, powinno być np. 214000, wtedy liczba będzie miała 14 cyfr.

📖 Karta wzorów: log_a(b)=c ↔ a^c=b, strona 30

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?
* **A. 14 cyfr:** Wynik \(214 \cdot 515 = 110210\) ma 6 cyfr, a nie 14.
* **C. (liczba) cyfr:** Podobnie jak w przypadku odpowiedzi A, wynik ma zbyt mało cyfr.
* **D. (liczba) cyfr:** Podobnie jak w przypadku odpowiedzi A i C, wynik ma zbyt mało cyfr.

**Krótko wyjaśnienie błędów w treści zadania:** Zadanie zostało sformułowane w sposób, który prowadzi do błędnego wyniku. Wartość \(214 \cdot 515\) daje liczbę 110210, która ma 6 cyfr, a nie 14. Aby zadanie było poprawne, trzeba by zmienić wartość jednego z czynników, aby liczba miała 14 cyfr. Np. \(2140 \cdot 515 = 1100000 - 2140 \cdot 515\)

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/2)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F2)

## Podobne zadania

- [Zadanie 21](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/21) — Zadanie 21. (0-3) Pani Maria w 2015 roku łącznie zarobiła 43 740 zł. W każdym miesiącu od stycznia do września włącznie otrzymywała pensję tej samej wysokości. 
- [Zadanie 1](https://matura.lol/question/matematyka-2016-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1) — Zadanie 1. (3 pkt) Niech 4 log7 a Wyznacz 49 log 2 w zależności od a. Poziom rozszerzony MMA_1R Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 1. Maks. liczba pkt 3
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa/zad/4) — Zadanie 4. (3 pkt) Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b określamy liczby aDb i a∗b w następujący sposób: aDb = liczba nie mniejsza spośród liczb a i b, a∗b =
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/informator-maturalny-matematyka-2025-poziom-podstawowy/zad/2) — Zadanie 2. (0-2) Pensja pana X jest o 50% wyższa od średniej krajowej, a pensja pana Y jest o 40% niższa od średniej krajowej. Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_