# Matematyka — zadanie 20 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/20 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej, planimetria ## Treść Zadanie 20. (0-1) Dane są punkty o współrzędnych ( ) 2, 5 A = - oraz ( ) 4, 1 B = . Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB jest równa A. 12 B. 6 C. 6 2 D. 2 6 Dane są punkty o współrzędnych A=(-2,5) oraz B=(4,-1). Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB jest równa A. 12; B. 6; C. 6√2; D. 2√6. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: C - \(6\sqrt{2}\) ## Sposób 1 - Długość odcinka AB jako bok kwadratu **Krok 1: Oblicz długość boku kwadratu.** Bok kwadratu to odcinek \(AB\), gdzie \(A = (-2, 5)\), \(B = (4, -1)\). \[|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\] \[|AB| = \sqrt{(4-(-2))^2 + (-1-5)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72}\] \[|AB| = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\] **Krok 2: Wyznacz średnicę okręgu wpisanego w kwadrat.** Okrąg wpisany w kwadrat dotyka każdego boku dokładnie w jego środku. Dlatego: - **promień** okręgu wpisanego \(= \frac{\text{bok}}{2}\) - **średnica** okręgu wpisanego \(= \text{bok kwadratu}\) \[\text{średnica} = |AB| = 6\sqrt{2}\] ## Sposób 2 - Wzór na składowe różnicy jako sygnał symetrii Obliczmy osobno rzuty odcinka \(AB\) na osie: \[\Delta x = x_B - x_A = 4 - (-2) = 6\] \[\Delta y = y_B - y_A = -1 - 5 = -6\] **Uwaga:** \(|\Delta x| = |\Delta y| = 6\), czyli odcinek \(AB\) jest nachylony pod kątem \(45°\) do osi \(OX\). To nie zmienia długości obliczonej wzorem na odległość: \[|AB| = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\] Okrąg wpisany w kwadrat o boku \(a\) ma średnicę równą \(a\), zatem: \[\text{średnica} = 6\sqrt{2}\] ## Wzory z karty CKE **Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka: \[|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\] Użyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia długości boku kwadratu. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd | | A: \(12\) | Uczeń policzył \(|\Delta x| + |\Delta y| = 6 + 6 = 12\) - dodał składowe zamiast użyć wzoru Pitagorasa. To nie jest długość odcinka. | | B: \(6\) | Uczeń wziął tylko jedną składową (\(\Delta x = 6\) lub \(|\Delta y| = 6\)) jako długość boku - zignorował drugą współrzędną. | | D: \(2\sqrt{6}\) | Błąd w obliczeniu \(\sqrt{72}\): uczeń rozkłada jako \(\sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18}\) i dalej myli \(\sqrt{18} = \sqrt{3 \cdot 6}\) zamiast \(\sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\). | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Długość odcinka to **nie** suma różnic współrzędnych, tylko pierwiastek z sumy ich kwadratów - zawsze Pitagoras! > ⚠️ **Uwaga:** Średnica okręgu **wpisanego** w kwadrat = bok kwadratu (nie przekątna!). Przekątna wyniosłaby \(6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 12\) - to odpowiedź A, typowa pułapka. > ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \(\sqrt{72}\) - rozkładaj na \(\sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\), nie szukaj innych rozkładów. **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1 - Długość \(AB\) + wzór na okrąg wpisany \(|AB| = \sqrt{(4-(-2))^2 + (-1-5)^2} = \sqrt{36+36} = 6\sqrt{2}\). Średnica okręgu wpisanego w kwadrat = bok kwadratu: \[d = |AB| = 6\sqrt{2}.\] ### Sposób 2 - Własność okręgu wpisanego w kwadrat W kwadracie o boku \(a\) okrąg wpisany ma promień \(\tfrac{a}{2}\), czyli średnicę \(a\). ### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne - **A. \(12\)** - być może pomylono z innym wymiarem. - **B. \(6\)** - bez pierwiastka. - **D. \(2\sqrt{6}\)** - błędnie wyciągnięta reszta z \(6\sqrt{2}\). **Kluczowe:** w kwadracie \(a\times a\): okrąg wpisany ma średnicę \(a\), okrąg opisany ma średnicę \(a\sqrt{2}\). **Poprawna odpowiedź: C** ### Sposób 1: Obliczenie długości odcinka AB i wykorzystanie wzoru na średnicę okręgu wpisanego w kwadrat. \[ AB = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \] Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB wynosi równa długości boku kwadratu. Zatem średnica okręgu wynosi \(6\sqrt{2}\). Ponieważ pole okręgu to \( \pi r^2 \) i w zadaniu pytamy o długość średnicy, to musimy obliczyć długość boku kwadratu. 📖 Karta wzorów: s.22-25, Geom.anal: |AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²), strona 22 ### Sposób 2: Obliczenie pola trójkąta ABC i wykorzystanie wzoru na pole trójkąta w okręgu. Trójkąt ABC ma wierzchołki A=(-2, 5), B=(4, -1) i środek okręgu wpisanego w kwadrat jest środkiem trójkąta ABC. Środek okręgu wpisanego w trójkąt o bokach a, b, c jest obliczany ze wzoru: \[ O = \frac{a \cdot A + b \cdot B + c \cdot C}{a+b+c} \] W naszym przypadku, a = AB = \(6\sqrt{2}\), b = BC, c = AC. Obliczenie długości BC i AC jest trudne, więc ten sposób jest mniej efektywny. Zamiast tego, zauważamy, że średnica okręgu wpisanego w kwadrat jest równa długości boku kwadratu. 📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², strona 15 - ten wzór jest użyteczny do obliczenia długości AC, ale nie jest to najprostszy sposób. ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? A. Długość AB wynosi \(6\sqrt{2}\), a średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB to \(6\sqrt{2}\). Zatem, to nie jest poprawna odpowiedź. B. Długość AB wynosi \(6\sqrt{2}\), ale średnica okręgu nie jest równa długości boku kwadratu. C. Długość AB wynosi \(6\sqrt{2}\), a średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB to \(6\sqrt{2}\). To jest poprawna odpowiedź. D. Długość AB wynosi \(6\sqrt{2}\), ale średnica okręgu nie jest równa długości boku kwadratu. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/20) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F20) ## Podobne zadania - [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (3 pkt) Dany jest wektor [ ] 4,3 → AB oraz punkt ( ) 2 ,1 - A Oblicz: a) współrzędne punktu B , b) współrzędne i długość wektora → → ⋅ AB v 2 2 Arkus - [Zadanie 29](https://matura.lol/question/matematyka-2012-maj-matura-podstawowa/zad/29) — Zadanie 29. (2 pkt) Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach   2 ,2   A i   10 ,2  B Odpowiedź: Wypełnia egzaminator Nr zadania 26. 27. 28. 29. Mak - [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19) — Zadanie 19. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Obwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy A. - [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20) — Zadanie 20. (0-1) W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, -4) oraz 𝐵= (2, 𝑦𝐵) leżą na prostej 𝑙. Współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 3. Liczba 𝑦 _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_