# Matematyka — zadanie 21

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/21
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Stereometria

## Treść

Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 5 dm \(\times\) 3 dm \(\times\) 2 dm

/matma-quiz/images/cke/2019-Matematyka-PP/z21.png

. L 2 dm 3 dm K 5 dm Przekątna KL tego prostopadłościanu jest - z dokładnością do 0,01 dm - równa

A. \(5{,}83\,\text{dm}\)
B. \(6{,}16\,\text{dm}\)
C. \(3{,}61\,\text{dm}\)
D. \(5{,}39\,\text{dm}\)

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: B - \(6{,}16\,\text{dm}\)

## Sposób 1 - Wzór na przekątną prostopadłościanu

Prostopadłościan ma wymiary \(a = 5\,\text{dm}\), \(b = 3\,\text{dm}\), \(c = 2\,\text{dm}\).

**Krok 1: Wyznaczamy przekątną podstawy.**

Podstawa to prostokąt o bokach \(a = 5\) i \(b = 3\). Jej przekątna \(d_p\) (z twierdzenia Pitagorasa):
\[d_p^2 = a^2 + b^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34\]

**Krok 2: Stosujemy twierdzenie Pitagorasa jeszcze raz** - teraz w trójkącie prostokątnym o podstawie \(d_p\) i wysokości \(c = 2\):
\[|KL|^2 = d_p^2 + c^2 = 34 + 2^2 = 34 + 4 = 38\]

**Krok 3: Obliczamy długość przekątnej:**
\[|KL| = \sqrt{38} \approx 6{,}1644\ldots \approx \mathbf{6{,}16\,\text{dm}}\]

## Sposób 2 - Bezpośredni wzór na przekątną prostopadłościanu

Wzór wyprowadzamy od razu dla trzech wymiarów:
\[|KL| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\]

Podstawiamy \(a = 5\), \(b = 3\), \(c = 2\):
\[|KL| = \sqrt{5^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 9 + 4} = \sqrt{38}\]

Sprawdzamy na kalkulatorze (lub szacujemy: \(6^2 = 36\), \(6{,}2^2 = 38{,}44\), więc \(\sqrt{38}\) jest między 6 a 6,2 - bliżej 6,16):
\[\sqrt{38} \approx 6{,}1644 \approx \mathbf{6{,}16\,\text{dm}}\]

Oba sposoby dają ten sam wynik - **odpowiedź B**.

## Wzory z karty CKE

**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - prostopadłościan:

Karta podaje pole i objętość prostopadłościanu, ale **nie podaje wprost wzoru na przekątną**. Wyprowadzamy go sami z twierdzenia Pitagorasa (Dział 10, s. 15):
\[a^2 + b^2 = c^2 \quad \text{(trójkąt prostokątny)}\]

Stosujemy dwukrotnie:
1. Przekątna podstawy: \(d_p = \sqrt{a^2 + b^2}\)
2. Przekątna bryły: \(|KL| = \sqrt{d_p^2 + c^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Wynik | Typowy błąd |
| A | \(5{,}83\,\text{dm}\) | Policzono \(\sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34} \approx 5{,}83\) - zapomniano dodać trzeci wymiar \(c = 2\), czyli wzięto tylko przekątną podstawy |
| C | \(3{,}61\,\text{dm}\) | Policzono \(\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61\) - zapomniano o największym boku \(a = 5\) |
| D | \(5{,}39\,\text{dm}\) | Policzono \(\sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29} \approx 5{,}39\) - pominięto bok \(b = 3\) |

Każdy z błędów to **pominięcie jednego z wymiarów** w sumie pod pierwiastkiem.

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna prostopadłościanu to **nie** przekątna jednej ze ścian - należy zastosować Pitagorasa dwukrotnie (albo wzór \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) bezpośrednio). Pominięcie choćby jednego wymiaru to gotowa pułapka zastawiona przez twórców testu (odpowiedzi A, C, D).

> ⚠️ **Uwaga:** Przy zaokrąglaniu do \(0{,}01\) sprawdź trzecią cyfrę po przecinku: \(\sqrt{38} = 6{,}164 \) - trzecia cyfra to \(4 < 5\), więc zaokrąglamy w dół → \(6{,}16\), nie \(6{,}17\).

> ⚠️ **Uwaga:** Kalkulator na maturze pokazuje \(\sqrt{38} \approx 6{,}164\). Nie zgaduj - zawsze wylicz dokładnie i dopiero zaokrąglaj.

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1 - Wzór na przekątną prostopadłościanu
\[d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{25 + 9 + 4} = \sqrt{38} \approx 6{,}164\,\text{dm}.\]
Po zaokrągleniu: \(6{,}16\) dm.

### Sposób 2 - Dwustopniowe zastosowanie Pitagorasa
Przekątna podstawy \(5\times 3\): \(\sqrt{25+9} = \sqrt{34}\).
Przekątna prostopadłościanu: \(\sqrt{34 + 4} = \sqrt{38} \approx 6{,}16\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(5{,}83\)** - \(\sqrt{34} \approx 5{,}83\); to przekątna podstawy, nie całego prostopadłościanu.
- **C. \(3{,}61\)** - \(\sqrt{13} \approx 3{,}61\); dla wymiarów \(3\times 2\).
- **D. \(5{,}39\)** - \(\sqrt{29}\); dla wymiarów \(5\times 2\).

**Poprawna odpowiedź: B**

### Sposób 1: Obliczenie przekątnej prostopadłościanu za pomocą twierdzenia Pitagorasa

1. **Zrozumienie problemu:** Przekątna KL prostopadłościanu to najdłuższy odcinek w jego bryle. Możemy obliczyć ją, używając twierdzenia Pitagorasa na trójkącie prostokątnym, którego wierzchołkami są wierzchołki A, L i K.

2. **Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa:** W trójkącie AKL, gdzie AK = 5 dm, AL = 3 dm, a KL to przekątna, mamy:
\[KL² = AK² + AL²\]
\[KL² = 5² + 3²\]
\[KL² = 25 + 9\]
\[KL² = 34\]
\[KL = \sqrt{34} \approx 5.83 dm\]

📖 Karta wzorów: [Silnia, permutacje] strona [5]

### Sposób 2: Obliczenie przekątnej prostopadłościanu za pomocą twierdzenia Pitagorasa (z uwzględnieniem przekątnej ściany bocznej)

1. **Zrozumienie problemu:** Możemy również obliczyć przekątną KL, korzystając z przekątnej ściany bocznej, którą oznaczmy jako PL.

2. **Obliczenie długości przekątnej ściany bocznej (PL):** Używamy twierdzenia Pitagorasa na trójkącie prostokątnym P-L-K, gdzie PK = 2 dm, PL = √(3⁴ + 5²) = √(9 + 25) = √34, a KL to przekątna prostopadłościanu.
\[PL² = PK² + KL²\]
\[PL² = 2² + 34\]
\[PL = √(2² + 34) = √(4+34) = √38\]
\[KL = √(34)\]
\[KL = √(34) \approx 5.83 dm\]

📖 Karta wzorów: [Silnia, permutacje] strona [5]

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A. 5,83 dm:** Obliczenia w Sposobie 1 dają wynik około 5,83 dm, co jest zgodne z naszymi obliczeniami.
* **C. 3,61 dm:** To wynik jest zbyt mały, ponieważ nie uwzględnia pełnych wymiarów prostopadłościanu.
* **D. 5,39 dm:** To również wynik jest zbyt mały, ponieważ nie uwzględnia pełnych wymiarów prostopadłościanu.

**Podsumowanie:** Oba sposoby prowadzą do tej samej prawidłowej odpowiedzi, która jest 5,83 dm (z dokładnością do 0,01 dm).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/21)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F21)

## Podobne zadania

- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/22) — Zadanie 22. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 1 ma długość 3. Powierzchnia boczna tego stożka po rozłożeniu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o kącie 
- [Zadanie 23](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23) — Zadanie 23. (0-1) Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Stosunek objętości stożka do o
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, alb
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-1) Pole powierzchni całkowitej walca 𝒞1 jest równe 12𝜋, a objętość tego walca jest równa 4𝜋. Walec 𝒞2 jest podobny do walca 𝒞1 w skali 𝑘= 2. Oceń

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_