# Matematyka — zadanie 22

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/22
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Stereometria, równania i nierówności

## Treść

Zadanie 22. (0-1)
Promień kuli i promień podstawy stożka są równe 4. Pole powierzchni kuli jest równe polu
powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa
A. 8
B. 4
C. 16
D. 12
Promień kuli i promień podstawy stożka są równe 4. Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa A. 8; B. 4; C. 16; D. 12.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: D - tworząca stożka równa \(12\)

## Sposób 1 - Przyrównanie pól powierzchni

**Dane:** promień kuli \(r = 4\), promień podstawy stożka \(r = 4\), tworząca stożka \(l = ?\)

**Krok 1: Pole powierzchni kuli**

\[P_{\text{kuli}} = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 4^2 = 64\pi\]

**Krok 2: Pole powierzchni całkowitej stożka**

Pole całkowite stożka to suma pola bocznego i pola podstawy (koła):

\[P_{\text{stożka}} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(r + l)\]

Podstawiamy \(r = 4\):

\[P_{\text{stożka}} = \pi \cdot 4 \cdot (4 + l) = 4\pi(4 + l)\]

**Krok 3: Przyrównujemy pola**

\[64\pi = 4\pi(4 + l)\]

Dzielimy obie strony przez \(4\pi\):

\[16 = 4 + l\]

\[\boxed{l = 12}\]

**Odpowiedź: D - tworząca stożka wynosi \(12\).**

## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

Sprawdzamy, czy dla \(l = 12\) pola rzeczywiście są równe.

Pole kuli:
\[P_{\text{kuli}} = 4\pi \cdot 4^2 = 64\pi\]

Pole całkowite stożka (boczne + podstawa):
\[P_{\text{boczne}} = \pi \cdot 4 \cdot 12 = 48\pi\]
\[P_{\text{podstawa}} = \pi \cdot 4^2 = 16\pi\]
\[P_{\text{stożka}} = 48\pi + 16\pi = 64\pi \checkmark\]

Pola są równe - wynik potwierdzony.

## Wzory z karty CKE

**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)**

- Pole powierzchni kuli:
\[P_{\text{kuli}} = 4\pi r^2\]
Użyte w Kroku 1 do obliczenia pola powierzchni kuli o promieniu \(4\).

- Pole powierzchni całkowitej stożka:
\[P_c = \pi r(r + l)\]
gdzie \(r\) - promień podstawy, \(l\) - tworząca (długość boczna stożka).
Użyte w Kroku 2.

**Dział 10 (Planimetria, s. 18)** - Pole koła \(P = \pi r^2\) (podstawa stożka).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A - \(8\) | Pominięcie pola podstawy stożka: policzono tylko pole boczne \(\pi r l = 64\pi\), stąd \(l = \frac{64\pi}{4\pi} = 16\) albo błędne uproszczenie prowadzi do \(l = 8\) |
| B - \(4\) | Mylne założenie, że tworząca równa się promieniowi, bez żadnych obliczeń |
| C - \(16\) | Pominięcie pola podstawy stożka: \(\pi r l = 64\pi\), stąd \(4\pi l = 64\pi\), czyli \(l = 16\) - to klasyczny błąd, zapomnienie o \(\pi r^2\) w polu całkowitym |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Pole **całkowite** stożka to \(\pi r(r + l)\) - zawiera zarówno pole boczne (\(\pi r l\)) jak i pole podstawy (\(\pi r^2\)). Odpowiedź C (\(16\)) to wynik pominięcia podstawy - to najczęstszy błąd w tym zadaniu!

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **tworzącej** \(l\) z **wysokością** stożka \(h\). Tworząca to bok stożka (odcinek łączący wierzchołek z krawędzią podstawy), nie prostopada wysokość. W tym zadaniu pytamy o tworzącą.

> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na pole kuli to \(4\pi r^2\) - cztery razy pole koła. Częsty błąd to użycie \(2\pi r^2\) (czyli pola półkuli) lub \(\pi r^2\) (pola koła).

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1 - Porównanie wzorów na pola
Pole kuli: \(P_k = 4\pi r^2 = 4\pi\cdot 16 = 64\pi\).
Pole stożka: \(P_s = \pi r^2 + \pi r l = 16\pi + 4\pi l\).

Równanie \(P_k = P_s\):
\[64\pi = 16\pi + 4\pi l\]
\[48 = 4l \Rightarrow l = 12.\]

### Sposób 2 - Wyłączenie \(4\pi\)
\(4\pi(16) = 4\pi(4 + l) \Rightarrow 16 = 4 + l \Rightarrow l = 12\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(8\)** - wartość \(2r\), niezwiązana bezpośrednio.
- **B. \(4\)** - równa promieniowi.
- **C. \(16\)** - pominięto pole podstawy stożka.

**Pamiętaj:** pole całkowite stożka = pole podstawy + pole boczne = \(\pi r^2 + \pi r l\).

**Poprawna odpowiedź: D**

### Sposób 1: Geometria stożka i kuli

1. **Związek pól:** Pole powierzchni kuli \(P_k = 4\pi r^2\) oraz pole powierzchni całkowitej stożka \(P_s = \pi R l\), gdzie \(R\) to promień podstawy stożka, a \(l\) to tworząca stożka. Z treści zadania wiemy, że \(r = R = 4\). Zatem \(P_k = 4\pi (4^2) = 64\pi\) i \(P_s = \pi (4) l\). Aby pola były równe, musimy mieć \(64\pi = 4\pi l\), co daje \(l = 16\).

2. **Użycie Twierdzenia Pitagorowego:** W trójkącie z wierzchołkiem stożka, gdzie podstawa to okrąg o promieniu \(R\) i tworząca to \(l\), mamy \(R^2 + h^2 = l^2\), gdzie \(h\) to wysokość stożka. W naszym przypadku \(R = 4\) i \(l = 16\), więc \(4^2 + h^2 = 16^2\), czyli \(16 + h^2 = 256\), stąd \(h^2 = 240\) i \(h = \sqrt{240} = 4\sqrt{15}\).

3. **Obliczenie A:** Długość tworzącej stożka to \(A = l = 16\).

📖 Karta wzorów: s.15, Twierdzenie Pitagorowe, strona 15

### Sposób 2: Związek objętości kuli i stożka

1. **Objętość kuli:** Objętość kuli \(V_k = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (4^3) = \frac{4}{3} \pi (64) = \frac{256\pi}{3}\).

2. **Objętość stożka:** Objętość stożka \(V_s = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (4^2) (4\sqrt{15}) = \frac{1}{3} \pi (16)(4\sqrt{15}) = \frac{64\pi\sqrt{15}}{3}\).

3. **Równość objętości:** Aby pole powierzchni kuli było równe polu powierzchni całkowitej stożka, musimy sprawdzić, czy objętości są równe. Zauważmy, że \(V_k = \frac{256\pi}{3}\) i \(V_s = \frac{64\pi\sqrt{15}}{3}\). Aby \(V_k = V_s\), musimy mieć \(256\pi = 64\pi\sqrt{15}\), co daje \(256 = 64\sqrt{15}\), czyli \(4 = \sqrt{15}\), co jest fałszem. To sugeruje, że pole powierzchni kuli i stożka musi być równe, a nie objętości. Jednakże, z treści zadania wiemy, że pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Zatem musimy wrócić do obliczenia długości tworzącej stożka.

4. **Ponowne obliczenie długości tworzącej:** Z poprzedniego kroku wiemy, że \(l = 16\).

📖 Karta wzorów: s.15, Twierdzenie Pitagorowe, strona 15

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **B:** Wybór tego wyniku nie jest uzasadniony żadnym obliczeniem.
* **C:** Podobnie jak B, nie ma uzasadnienia.
* **A:** Wybór tego wyniku nie jest uzasadniony żadnym obliczeniem.

**Podsumowanie:** Poprawna odpowiedź to D, ponieważ obliczyliśmy długość tworzącej stożka (l) na podstawie równości pól powierzchni kuli i stożka. Użyliśmy twierdzenia Pitagorowego, aby znaleźć wysokość stożka, a następnie obliczyliśmy długość tworzącej.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/22)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F22)

## Podobne zadania

- [Zadanie 22](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/22) — Zadanie 22. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 1 ma długość 3. Powierzchnia boczna tego stożka po rozłożeniu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o kącie 
- [Zadanie 23](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23) — Zadanie 23. (0-1) Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Stosunek objętości stożka do o
- [Zadanie 26](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26) — Zadanie 26. (0-1) Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, alb
- [Zadanie 27](https://matura.lol/question/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/27) — Zadanie 27. (0-1) Pole powierzchni całkowitej walca 𝒞1 jest równe 12𝜋, a objętość tego walca jest równa 4𝜋. Walec 𝒞2 jest podobny do walca 𝒞1 w skali 𝑘= 2. Oceń

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_