# Matematyka — zadanie 23 > Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/23 > Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej. - arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa) - rok: 2019 - poziom: podstawowa - typ: closed - działy: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka, mediana, statystyka ## Treść Zadanie 23. (0-1) Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4, 8, 21, a, 16, 25, jest równa 14. Zatem A. 7 a = B. 12 a = C. 14 a = D. 20 a = Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4,8,21,a,16,25, jest równa 14. Zatem A. a=7; B. a=12; C. a=14; D. a=20. ## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI) ## Poprawna odpowiedź: B - \(a = 12\) ## Sposób 1 - Definicja mediany i układanie nierówności **Mediana** zbioru sześciu danych to średnia arytmetyczna **trzeciej i czwartej** wartości po posortowaniu rosnącym. Mamy dane: \(4, 8, 21, a, 16, 25\) i szukamy \(a\) takiego, żeby mediana wynosiła \(14\). **Krok 1:** Zastanówmy się, gdzie \(a\) trafi po posortowaniu. Znane wartości (bez \(a\)): \(4, 8, 16, 21, 25\). Liczba \(a\) musi wpaść gdzieś w tym ciągu. **Krok 2:** Skoro mediana \(= 14\), czyli średnia 3. i 4. wartości wynosi \(14\), to: \[\frac{x_3 + x_4}{2} = 14 \implies x_3 + x_4 = 28\] **Krok 3:** Sprawdzamy, przy jakim umiejscowieniu \(a\) suma 3. i 4. wyrazu wynosi 28. Jeśli \(8 \leq a \leq 16\), posortowany ciąg wygląda tak: \(4, 8, a, 16, 21, 25\). Wtedy \(x_3 = a\), \(x_4 = 16\), więc: \[a + 16 = 28 \implies a = 12\] **Krok 4:** Sprawdzamy, czy \(a = 12\) spełnia założenie \(8 \leq a \leq 16\): \[8 \leq 12 \leq 16 \checkmark\] Posortowany ciąg: \(4, 8, \mathbf{12}, \mathbf{16}, 21, 25\) Mediana \(= \frac{12 + 16}{2} = \frac{28}{2} = \mathbf{14}\) ✓ ## Sposób 2 - Próba wszystkich odpowiedzi (podstawianie) Można szybko sprawdzić każdą z odpowiedzi: **A.** \(a = 7\): posortowany ciąg: \(4, 7, 8, 16, 21, 25\) \[\text{mediana} = \frac{8 + 16}{2} = \frac{24}{2} = 12 \neq 14\] **B.** \(a = 12\): posortowany ciąg: \(4, 8, 12, 16, 21, 25\) \[\text{mediana} = \frac{12 + 16}{2} = \frac{28}{2} = 14 \checkmark\] Już znamy odpowiedź, ale dla porządku: **C.** \(a = 14\): posortowany ciąg: \(4, 8, 14, 16, 21, 25\) \[\text{mediana} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15 \neq 14\] **D.** \(a = 20\): posortowany ciąg: \(4, 8, 16, 20, 21, 25\) \[\text{mediana} = \frac{16 + 20}{2} = \frac{36}{2} = 18 \neq 14\] **Jedyna poprawna odpowiedź to B.** ## Wzory z karty CKE **Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - definicja mediany: > Mediana: środkowy wyraz (nieparzyste \(n\)) lub **średnia dwóch środkowych** wyrazów (parzyste \(n\)) Mamy \(n = 6\) (parzyste), więc mediana to: \[\text{Me} = \frac{x_3 + x_4}{2}\] gdzie \(x_3, x_4\) to 3. i 4. wyraz po posortowaniu rosnąco. ## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne | Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi | | A | \(a = 7\) trafia przed 8, więc ciąg to \(4,7,8,16,21,25\) - mediana wychodzi \(\frac{8+16}{2} = 12\), a nie 14. Uczeń mógł błędnie założyć miejsce \(a\) w ciągu. | | C | \(a = 14\) to sama wartość mediany - intuicja podpowiada "skoro mediana = 14, to a = 14", ale to pułapka. Mediana \(= \frac{14+16}{2} = 15\). | | D | \(a = 20\) trafia między 16 a 21, ciąg: \(4,8,16,20,21,25\) - mediana \(= \frac{16+20}{2} = 18\). | ## Typowe pułapki i uwagi > ⚠️ **Uwaga:** Dla parzystej liczby danych mediana to **średnia dwóch środkowych** - nie jeden środkowy wyraz! Dla 6 liczb bierzemy 3. i 4. wyraz po posortowaniu. > ⚠️ **Uwaga:** Zanim wyznaczysz 3. i 4. wyraz, musisz uwzględnić, **gdzie w posortowanym ciągu trafi \(a\)**. Różne zakresy \(a\) dają różne ciągi - sprawdź, czy Twoje założenie jest spójne! > ⚠️ **Uwaga:** Nie myśl, że "jeśli mediana = 14, to \(a\) musi być równe 14". Mediana zależy od 3. i 4. wyrazu - \(a\) może wpaść na inne miejsce w ciągu. **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1 - Mediana sześciu liczb Mediana 6 liczb (parzystej ilości) = średnia dwóch środkowych po posortowaniu. Sortujemy bez \(a\): \(4, 8, 16, 21, 25\). Wstawiamy \(a\) w odpowiednie miejsce: - Jeśli \(a \le 8\): sortowanie \((a, 4, 8, 16, 21, 25)\) (gdzie \(a\) idzie na początek lub drugą pozycję). Środkowe to 8 i 16 - mediana \(= 12\). - Jeśli \(8 < a < 16\): sortowanie \((4, 8, a, 16, 21, 25)\). Środkowe: \(a\) i \(16\) - mediana \(= \tfrac{a+16}{2}\). - Jeśli \(a \ge 16\): środkowe 8 i 16 sortowanie \((4, 8, 16, a, 21, 25)\). Środkowe: 16 i \(a\)? Nie, zawsze środkowe to 3. i 4. miejsce. Dla \(a=20\): \((4,8,16,20,21,25)\), środkowe \(16, 20\), mediana \(18\). Warunek mediana \(=14\): - \(\tfrac{a+16}{2} = 14 \Rightarrow a = 12\) ✓ (i \(8<12<16\), pasuje). ### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi - \(a=12\): \((4,8,12,16,21,25)\), mediana \(= \tfrac{12+16}{2} = 14\) ✓ - \(a=7\): \((4,7,8,16,21,25)\), mediana \(= \tfrac{8+16}{2} = 12\) ✗ - \(a=14\): mediana = \(\tfrac{14+16}{2} = 15\) ✗ - \(a=20\): mediana = \(\tfrac{16+20}{2} = 18\) ✗ **Poprawna odpowiedź: B** ### Sposób 1: Uporządkowanie danych i znalezienie mediany 1. **Uporządkowanie danych:** Zaczynamy od posortowania podanych liczb w kolejności rosnącej: 4, 8, 16, 21, 25, a. 2. **Definicja mediany:** Mediana zestawu danych to wartość środkowa, czyli wartość, która dzieli zbiór danych na dwie równe części. W przypadku parzystej liczby elementów (w tym przypadku 6), mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości. 3. **Identyfikacja środkowych wartości:** W posortowanym zbiorze liczby 4, 8, 16, 21, 25, a, środkowymi wartościami są 16 i 21. 4. **Obliczenie mediany:** Mediana = (16 + 21) / 2 = 37 / 2 = 18.5. 5. **Błąd:** W zadaniu podano, że mediana wynosi 14. Zatem, liczba "a" musi być taka, aby mediana wynosiła 14. Zatem, (16 + a) / 2 = 14, 16 + a = 28, a = 12. ### Sposób 2: Użycie wzoru na medianę 1. **Zrozumienie definicji mediany:** Mediana to wartość środkowa w posortowanym zbiorze danych. 2. **Zbiór danych:** 4, 8, 21, a, 16, 25 3. **Posortowanie:** 4, 8, 16, 21, 25, a 4. **Obliczenie mediany:** Ponieważ mamy 6 elementów, mediana to element na pozycji (6+1)/2 = 3.5. Ponieważ nie możemy mieć ułamkowej mediany, musimy wziąć dwa środkowe elementy, czyli 16 i 21. 5. **Równanie:** (16 + 21) / 2 = 14 6. **Rozwiązanie:** 37 / 2 = 18.5. Zatem, liczba "a" musi być taka, aby mediana wynosiła 14. Zatem, (16 + a) / 2 = 14, 16 + a = 28, a = 12. 📖 Karta wzorów: s.32, strona 32 - Statystyka: mediana ### Dlaczego nie inne odpowiedzi? * **A. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź przedstawia wzór na wartość bezwzględną, który nie jest potrzebny do rozwiązania tego zadania. * **C. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź przedstawia wzór na logarytm, który również nie jest potrzebny do rozwiązania tego zadania. * **D. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź przedstawia wzór na kombinacje, który nie jest potrzebny do rozwiązania tego zadania. W obu sposobach, aby mediana wynosiła 14, liczba "a" musi być równa 12. Zatem, poprawna odpowiedź to B. ## Linki - [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/23) - [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F23) ## Podobne zadania - [Zadanie 7](https://matura.lol/question/matematyka-2016-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7) — Zadanie 7. (0-2) Dane są zdarzenia losowe , A B ⊂Ω takie, że ( ) 2 7 P A = i ( ) 3 5 P A B ∪ . Oblicz ( ) P B A , gdzie zdarzenie B A oznacza różnicę zdarzeń B - [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/9) — Zadanie 9. (0-1) Średnia arytmetyczna dwóch liczb 𝑥 i 𝑦 jest równa 4, a średnia arytmetyczna trzech liczb 𝑥, 𝑦, 𝑧 jest równa 5. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą - [Zadanie 25](https://matura.lol/question/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/25) — Zadanie 25. (0-1) Średnia arytmetyczna trzech liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, jest równa 2. Średnia arytmetyczna czterech liczb: 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, jest równa 5,5. Średnia arytmetyczn - [Zadanie 25](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/25) — Zadanie 25. (0-1) Średnia arytmetyczna trzech liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, jest równa 12. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 2𝑎, 3𝑎, 2𝑏, 3𝑏, 2𝑐, 3𝑐, jest równa A. 10 B. 12 _Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_