# Matematyka — zadanie 24

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/24
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- działy: Kombinatoryka

## Treść

Zadanie 24. (0-1)
Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest
A. 12
B. 36
C. 162
D. 243
Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest A. 12; B. 36; C. 162; 243.

## Rozwiązanie — maturazai.pl (AI)

## Poprawna odpowiedź: C - **162**

## Sposób 1 - zliczanie wyboru cyfr na każdej pozycji

Szukamy liczb **pięciocyfrowych**, w których **każda cyfra należy do zbioru \(\{0, 2, 5\}\)**.

Kluczowe ograniczenie: **liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od 0** (bo byłaby co najwyżej czterocyfrowa).

Analizujemy pozycje od lewej:

| Pozycja | Dostępne cyfry | Liczba wyborów |
| 1. (pierwsza) | \(2\) lub \(5\) (nie \(0\)!) | \(2\) |
| 2. | \(0, 2\) lub \(5\) | \(3\) |
| 3. | \(0, 2\) lub \(5\) | \(3\) |
| 4. | \(0, 2\) lub \(5\) | \(3\) |
| 5. | \(0, 2\) lub \(5\) | \(3\) |

Wybory są **niezależne**, więc mnożymy:

\[N = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = \mathbf{162}\]

## Sposób 2 - wszystkie ciągi minus te z zerem na początku

Policzmy **wszystkie** 5-elementowe ciągi z cyfr \(\{0, 2, 5\}\) (bez ograniczenia na pierwszą cyfrę):

\[\text{Wszystkich ciągów: } 3^5 = 243\]

Teraz odejmujemy ciągi **zaczynające się od 0** - wówczas pierwsze miejsce jest ustalone (cyfra \(0\)), a pozostałe 4 miejsca mają po 3 wybory:

\[\text{Ciągów z 0 na początku: } 1 \cdot 3^4 = 81\]

Zatem liczb pięciocyfrowych:

\[N = 243 - 81 = \mathbf{162}\]

## Wzory z karty CKE

**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - wariacje z powtórzeniami:

\[\text{Liczba ciągów } k\text{-elementowych z } n\text{-elementowego zbioru} = n^k\]

Użyliśmy tego w Sposobie 2: \(3^5 = 243\) i \(3^4 = 81\). W Sposobie 1 zastosowaliśmy **regułę mnożenia** (każda pozycja niezależna od pozostałych).

## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

| Odp. | Błąd |
| **A** (\(12\)) | Przyjęcie, że cyfry **nie mogą się powtarzać** - wtedy dla 5-cyfrowej liczby zabrakłoby cyfr (mamy tylko 3 różne), co prowadzi do bezsensownego liczenia; albo pomylenie z liczbami **trzy**cyfrowymi: \(2 \cdot 3 \cdot 2 = 12\) |
| **B** (\(36\)) | Błędne wykluczenie zera **z drugiej pozycji** też (jakby dwie pierwsze cyfry nie mogły być \(0\)): \(2 \cdot 2 \cdot 3^2 = 36\) |
| **D** (\(243\)) | Policzenie \(3^5 = 243\) - **zapomniano**, że liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od \(0\). To wynik dla ciągów, nie dla liczb! |

## Typowe pułapki i uwagi

> ⚠️ **Uwaga:** Pierwsza cyfra liczby pięciocyfrowej **nigdy nie może być zerem** - to najczęstszy błąd w zadaniach o liczeniu liczb wielocyfrowych. Sprawdź zawsze, czy zero jest dozwolone na pierwszej pozycji!

> ⚠️ **Uwaga:** "Cyfry \(0, 2, 5\) **występują**" nie oznacza, że każda musi wystąpić - oznacza jedynie, że każda cyfra w liczbie musi należeć do tego zbioru. Powtórzenia są jak najbardziej dozwolone (np. \(22225\) jest poprawne).

> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **kombinacji** z **wariacjami z powtórzeniami** - tutaj kolejność cyfr ma znaczenie (\(25000 \neq 52000\)), więc liczymy wariacje, nie kombinacje.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1 - Reguła mnożenia
Liczba pięciocyfrowa: pierwsza cyfra \(\ne 0\) (bo wtedy byłaby czterocyfrowa).
- **Pierwsza cyfra:** \(\{2, 5\}\) → 2 możliwości.
- **Pozostałe 4 cyfry:** \(\{0, 2, 5\}\) → 3 możliwości każda.

Łącznie: \(2\cdot 3^4 = 2\cdot 81 = 162\).

### Sposób 2 - Wszystkie ciągi \(-\) zaczynające się od 0
- Wszystkie ciągi 5-cyfrowe z \(\{0,2,5\}\): \(3^5 = 243\).
- Zaczynające się od 0 (= czterocyfrowe z dodanym 0 na początku): \(3^4 = 81\).
- Pięciocyfrowe: \(243 - 81 = 162\).

### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
- **A. \(12\)** - za mało; być może permutacje.
- **B. \(36\)** - niewłaściwe liczenie.
- **D. \(243\)** - wszystkie ciągi 5-elementowe, bez warunku pięciocyfrowości.

**Pułapka:** pierwsza cyfra liczby wielocyfrowej **musi** być różna od zera.

**Poprawna odpowiedź: C**

### Sposób 1: Metoda liczenia kombinatorycznego

1. **Zrozumienie zadania:** Musimy policzyć liczbę pięciocyfrowych liczb, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, i 5. Każda cyfra może pojawić się dowolną ilość razy, ale pierwsze cyfra nie może być zerem.

2. **Analiza możliwości dla każdej pozycji:**
* Pierwsza cyfra: Może być 2 lub 5 (2 możliwości).
* Pozostałe 4 cyfry: Każda z cyfr 0, 2, i 5 może pojawić się dowolną liczbę razy. Zatem dla każdej z tych 4 pozycji mamy 3 możliwości wyboru cyfry.

3. **Obliczenie:** Liczba możliwych liczb pięciocyfrowych to: 2 * 3<sup>4</sup> = 2 * 81 = 162.

📖 Karta wzorów: Kombinatoryka: (n nad k), strona 28

### Sposób 2: Rozważenie przypadków dla każdej cyfry

1. **Przypadek 1: Wszystkie cyfry to 2 i 5.**
Wtedy mamy 2 możliwości dla pierwszej cyfry (2 lub 5), a dla pozostałych 4 cyfr tylko 1 możliwość (2 lub 5). Liczba takich liczb to 2<sup>5</sup> = 32.

2. **Przypadek 2: Występuje zero razy cyfra 2 i zero razy cyfra 5.**
Wtedy mamy tylko cyfrę 0. To nie spełnia warunku, że występują wyłącznie cyfry 0, 2 i 5.

3. **Przypadek 3: Występuje 1 cyfra 2 i 0 cyfr 5.**
Wtedy mamy 4 pozycje, na których możemy umieścić cyfrę 2. Pozostałe 3 pozycje muszą być wypełnione zerami. Liczba takich liczb to 4.

4. **Przypadek 4: Występuje 0 cyfr 2 i 1 cyfr 5.**
Wtedy mamy 4 pozycje, na których możemy umieścić cyfrę 5. Liczba takich liczb to 4.

5. **Przypadek 5: Występuje 2 cyfry 2 i 0 cyfr 5.**
Wtedy mamy 4 pozycje, na których możemy umieścić cyfrę 2. Wybieramy 2 pozycje z 4, czyli \( \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = 6 \)
Liczba takich liczb to 6.

6. **Przypadek 6: Występuje 0 cyfr 2 i 2 cyfry 5.**
Wtedy mamy 4 pozycje, na których możemy umieścić cyfrę 5. Wybieramy 2 pozycje z 4, czyli \( \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = 6 \)
Liczba takich liczb to 6.

7. **Suma:** 32 + 4 + 4 + 6 + 6 = 52. To jest błędne. Musimy to zrobić inaczej.

8. **Poprawne rozwiązanie:** Zauważmy, że każda z 5 pozycji może przyjąć jedną z 3 wartości: 0, 2, lub 5. Zatem liczba wszystkich możliwych liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2 i 5, wynosi \(3^5 = 243\). Jednakże, pierwsza cyfra nie może być zerem. Jeśli pierwsza cyfra to 0, to pozostałe 4 cyfry mogą przyjmować dowolne wartości z zbioru {0, 2, 5}. Zatem liczba takich liczb, w których pierwsza cyfra to 0, wynosi \(3^4 = 81\). Oznacza to, że liczba pięciocyfrowych liczb, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2 i 5, wynosi \(3^5 - 3^4 = 243 - 81 = 162\).

📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 13

### Dlaczego nie inne odpowiedzi?

* **A i B:** Te odpowiedzi sugerują użycie silni lub kombinacji, które nie są odpowiednie do tego problemu. Problem dotyczy liczenia liczb, a nie liczenia kombinacji.
* **D:** Ta odpowiedź sugeruje użycie wzoru na permutacje, co nie jest konieczne i prowadzi do niepotrzebnego skomplikowania. W tym przypadku liczymy liczbę wystąpień cyfr, a nie permutacje.

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp/zad/24)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=maturazai-matematyka-2019-matematyka-pp%2Fzad%2F24)

## Podobne zadania

- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13) — Zadanie 13. (0-4) Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwi
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2011-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (4 pkt) Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują dwie dwójki i występują trzy trójki. Odpowie
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (0-3) Rozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące warunki: na pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra 2 cy
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (0-3) Wśród 𝑛 osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te 𝑛 osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest 12 razy

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_